CBS105U-COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL İSTATİSTİK
Ünite 7: Dairesel Veri
Giriş
Birçok farklı bilim dalında birbirinden ayrı biçimlerde karşımıza çıkan açısal olarak ölçümlenen verilerin anlaşılması için rüzgâr ya da akıntı yönleri, göçmen kuşların göç yönleri veya hayvanların verdiği yönsel tepkiler örnek olarak verilebilir. Verilen bu örnekler çerçevesinde yönlere ilişkin olarak elde edilen herhangi bir gözlem kümesine yönlü veri adı verilir. Yön terimi coğrafi bilgi sistemlerinde çok önemli olup tüm mekânsal ilişkilerde uzaklık kavramı ile birlikte incelenir. Bu ünitede coğrafi bilgi sistemlerinin doğal bir parçası olan dairesel veri kavramı açıklanarak dairesel veri için betimsel istatistiklerin hesaplanması anlatılacaktır.
Dairesel Veri Kavramı
Jeolojik bilginin önemli bir bölümünü oluşturan yönlü verilerin dairesel (veya küresel) doğasını yansıtan özel istatistiklerin kullanılması gerekir. Burada yer alan dairesel istatistik kavramı, birim çemberin çevresi üzerine yerleştirilen noktalarla gösterilebilen bir veri türüyle ilgilenen ve istatistikte yer alan özel bir bilim dalı olarak açıklanabilir. Birim çember üzerinde derece ya da radyan cinsinden ölçülen verilere ise dairesel veri adı verilir. Periyodik yapısı nedeniyle (0°= 360° ya da 0= 2π) temelinde doğrusal verilerden oldukça farklıdır. Dairesel veriler genellikle derece ya da bazen radyan cinsinden ölçülür.
Dairesel verilerle yakından ilişkili olan bir veri türü de eksensel veriler olup açıları ikiyle çarparak, yani θ değerlerini 2θ yaparak ve böylece yöndeki belirsizliği ortadan kaldırarak dairesel verilere dönüştürmek bilinen en iyi yol olmaktadır. Ayrıca üç-boyutlu yönlü verilere yani küresel verilere de ihtiyaç duyulmaktadır.
Dairesel istatistikte ölçümler için pusula, açı ölçer, rüzgâr gülü, teodolit ya da saat gibi belirli aletlerden yararlanılmaktadır. Bunlara örnek verecek olursak; rüzgâr yönü gibi ölçümler için pusula veya depremlerin gün içerisinde meydana geliş zamanları için saat kullanılmaktadır. Bu ve benzeri gözlemler, sıfır-yönü olarak adlandırılan bir başlangıç noktasından saat yönünde veya saat yönünün tersine doğru ölçümlenen ve de derece ya da radyan cinsinden belirtilen açılar biçiminde kaydedilir.
Gerçek sayı doğrusu üzerinde tanımlanan doğrusal veriler için başlangıç noktası 0’dır. 0’ın solundaki değerler negatif, sağındaki değerler ise pozitiftir. Dairesel veriler için her bir açı değeri, birim çemberin çevresi üzerinde bir nokta olarak tanımlanır. Doğrusal bir değişkenin mutlak değeri büyüdükçe, başlangıç noktasından uzaklaşır. Bu nedenle, gerçek sayı doğrusu üzerinde 360 değeri 355 değerine, başlangıç noktasından çok daha yakındır. Dairesel veriler için ise bu durum oldukça farklıdır. 355°’lik bir açı, birim çemberin çevresi üzerinde 360°’ye karşılık gelen noktaya yakın bir noktaya denk düşerken, 0° ve 360° açıları tam olarak aynı noktayı belirtir. Burada, doğrusal veriler için tasarlanan standart istatistiksel tekniklerin
kullanılamamasının nedeni, dairesel verilerin bu periyodik yapısıdır. Kitabınızın 194. sayfasındaki Şekil 7.1’i inceleyerek bu açıklamayı bir matematikçi ya da jeologun bakış açısıyla değerlendirebilirsiniz.
Dairesel Veri Türleri ve Dönüşümler
Derece cinsinden açı olarak ölçülen yön verileri için dairesel ölçek 0° ile 360° aralığında yer alır. Yönlü veriler, vektörel veri (tek-yönlü) ya da eksensel veri (çift-yönlü) olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Vektörel veriler, hareket yönü ya da herhangi bir kişinin baktığı yön gibi tek yönlü bir doğrudan oluşmaktadır. Eksensel veriler ise yönsüz bir çizgiden oluşmakla birlikte, doğrunun her iki ucu yön olarak alınabilir. Örneğin; bir fay hattındaki yatay bir kırılma, 90° veya 270° yönlü olarak yorumlanabilir. Bu iki tür verinin grafiksel gösterimleri farklıdır. Başka periyodik veya dairesel veri türleri de vardır. En sık kullanılan dairesel veri türleri arasında açılar ve eksensel veriler yanında aşağıdaki veri türleri yer almaktadır;
• Oransal dairesel veriler • Yüzdesel dairesel veriler • Pusula yönleri • Günün saatleri • Haftanın günleri • Yılın ayları • Yılın günleri • Yılın haftaları
Yukarıda belirtilen bu dairesel değişken türlerin arasında dönüşüm de mümkündür. Bunların özellikleri kitabınızın 196. ve 197. sayfalarında bulunan Şekil 7.1 ve Şekil 7.2’de ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.
Dairesel Verilerde Grafiksel Gösterimler
Elde edilen bir veri kümesinin analizine başlamadan önce sayılarla dolu bir tablo yerine grafiklerin çizilmesi, açıklayıcı bir veri analizinde sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Bu nedenle kullanışlı bir grafiksel görüntü oluşturmak gerekir. Bu amaçla gruplanmamış dairesel veriler, genellikle ham veri grafikleri adı altında birim çemberin çevresi üzerine yerleştirilen noktalarla ya da orijinden çemberin çevresine doğru çizilen vektörlerle gösterilir. Gruplanmış verilerde ise Dairesel Histogramlar, Doğrusal Histogramlar ve Gül Diyagramları sıklıkla tercih edilir. Ayrıca hazırlanan grafik üzerinde verilerin de görülmesi istendiği takdirde, Dal-Yaprak diyagramları çok uygun bir grafik türü olarak karşımıza çıkmaktadır.
Ham Veri Grafikleri
Ham veri grafikleri dairesel veriler için oluşturulabilecek en temel grafiksel teknik olmakla birlikte verilere ilişkin hatalı karar alıp yanlış yorumda bulunmamak açısından da tercih edilen bir grafik türüdür. Ham veri grafiklerinde, veri dağılımının tüm özelliklerini görmek mümkün iken, Histogram türündeki diğer veri gösterimlerinde, veri dağılımının küçük ama önemli ayrıntıları gözden kaçabilmektedir. Eksensel verilerde ise genellikle ya örneklemde yer alan eksenlerin her iki ucuna bir nokta
yerleştirilir ya da eksenler çap olarak çizilir. Ham veri grafiklerinin ilk gösterim türünde, her bir gözlem değeri birim çemberin çevresi üzerinde bir nokta veya başka bir sembol ile belirtilirken ikinci gösterim türünde çemberin çevresi üzerinde yer alan gözlem verileriyle orijinin birleştirilmesi sonucunda ortaya çıkan birim vektörleri yer almaktadır. Kitabınızın 199. sayfasındaki Örnek 7.1’i açıklayan ve kutup bölgesinde ölçümlenen buzul çiziklerinin yönlerine ilişkin ham veri grafiklerini içeren Şekil 7.3 (a) ve Şekil 7.3 (b)’yi inceleyiniz.
Histogramlar
Dairesel verilerde, (0°, 360°) aralığı belirlenen sayıda sınıf aralığına bölünebilir ve de her sınıfa karşılık gelen sıklıklar sayma yoluyla elde edilebilir. İşlemler sırasında doğrusal verilerde olduğu gibi Sturges kuralı yardımıyla çalışılmaktadır.
Gruplanmış türdeki dairesel verilerin şematik gösteriminde genel olarak üç Histogram türü kullanılır. Bunlar sırasıyla doğrusal Histogram, dairesel Histogram ve gül diyagramı olarak bilinmektedir.
Doğrusal Histogram
Dairesel verilerde de kullanılan Histogram oluşturulurken veriler dairesel değil de doğrusalmış gibi düşünülür. Bunun için grafik çiziminden önce bir başlangıç noktası seçilir. Örneğin, veriler (0°, 360°) aralığında kaydedilmişse 0° başlangıç noktası olarak alınır. Daha sonra da sınıf aralığı (örneğin 5°, 10°, 20° vb.) belirlenir ve de bilinen yolla doğrusal Histogram grafiği çizilir. Dolayısıyla, elde edilen Histogram grafiği 360° genişliğindeki bir kesite oturtulmuş olur. Dairesel veriler için çizilen bir doğrusal Histogram, birim çemberin çevresinde sarmal olacak şekilde tasarlandıktan sonra değerlendirilmelidir. Bu nedenle, birinci blok grup genişliğinin sonundan itibaren grafik tekrarlanabilmektedir. Kitabınızın 200. sayfasındaki Tablo 7.1’de yer alan “Meteoroloji istasyonunda ölçümlenen rüzgâr yönleri”ni gösteren örnek soruyu içeren doğrusal histogramı bir sonraki sayfada (201. sayfa) bulabilirsiniz.
Dairesel Histogram
Temel olarak bir çemberin etrafına doğrusal Histogramın sarılması yoluyla elde edilen bir Histogram türüdür. Grafikteki her sütun, kendi sınıf aralığının orta noktasına yerleştirilir ve de herhangi bir sütunun alanı, o sınıf aralığındaki gözlem sayısı ile orantılı olmaktadır. Kitabınızın 201.sayfasında yer alan Örnek 7.3’e ait rüzgâr yönlerine ait bir dairesel histogram Şekil 7.5’de gösterilmektedir.
Gül Diyagramı
Her sınıfın bir daire dilimi olarak görüntülendiği gül diyagramlarının dairesel Histogram’dan en önemli farkı, dairesel Histogram’da frekanslar grafikteki ilgili sütunun alanıyla orantılı iken, gül diyagramındaki her daire diliminin alanı, kendi sınıfının frekansıyla orantılıdır. Gül diyagramlarında dikkat edilmesi gereken en önemli husus, dikdörtgen sütunlu doğrusal Histogram grafiklerinin
aksine, daire dilimlerinin yarıçapı ile alanı arasında basit bir doğrusal ilişki bulunmamasıdır ve sınıf sayısı da önemlidir. Bu diyagram türüne ait uygulamalarda örneklem büyüklüğünün karekökü, uygun sayıda dilim için makul bir değer olarak kullanılır. Dairesel verilerde sıklıkla kullanılan dilim sayıları: 4, 8, 12, 16, 18, 32 ve 36’dır. Kitabınızdaki 202. sayfada yer alan Şekil 7.6’daki rüzgâr yönlerine ilişkin gül diyagramını inceleyiniz.
Dal-Yaprak Diyagramı
Doğrusal veriler için de sıklıkla kullanılan bu yarı-grafik gösterim biçimi ham veri değerlerini gösteren bir grafik türüdür. Histogram’dan ayrılan özelliği ise; gruplandırılmış frekans serisinde yer alan sınıf aralıklarının frekansını belirten sütunların yerine, ham veri değerlerini göstermesi ve nispeten daha küçük veri setleri için oluşturulmasıdır. Kitabınızın 203. sayfasında bulunan Şekil 7.8’de kutup bölgesinde ölçümlenmiş 10 adet buzul çiziğine ilişkin dairesel dal-yaprak diyagramını inceleyiniz. Verilen örnekte de görüldüğü gibi, grafikteki 10°’lik her bir aralık dal adını alırken, yapraklar bu aralıktaki gözlem değerlerinin birler basamağını oluşturur. Grafikte 50-60 aralığındaki dala bakıldığında, dalın değerinin “5” olduğu ortaya çıkar ve yapraklar “0”, “0” ve “7” değerlerini alır. Grafiğin dal kısmı, açısal gözlemin onlar ve yüzler basamağını, yaprak kısımları ise birler basamağını gösterdiği için, bu daldaki gözlem değerleri “50”, “50” ve “57” olacaktır. Bir sonraki dal değerinin “6” olduğu göz önüne alındığında, bu aralıktaki gözlem değerinin “67” olduğu görülür. Diğer dal ve yapraklar da aynı yol izlenerek oluşturulmaktadır.
Tanımlayıcı İstatistikler
Bu kısımda, dairesel veriler hakkında istatiksel çıkarımda bulunmak amacıyla kullanılan bazı temel ölçüler ve bunların hesaplanması ele alınacaktır. Bunun için, konum ölçülerinden ortalama yön, medyan yönü ve mod yönü, yoğunlaşma ve saçılım ölçülerinden, dairesel varyans, dairesel standart sapma, dairesel saçılım ve dairesel standart hata ile birlikte çarpıklık ve basıklık ölçüleri açıklanmaya çalışılacaktır.
Önceden de hatırlatıldığı üzere, dairesel bir gözlem değeri, açı ya da bir birim çemberin çevresi üzerindeki nokta ile temsil edilebilmekte olup çemberin yarıçapının (r) uzunluğunun ise herhangi bir önemi bulunmamaktadır. Dairesel veri analizinde vektörün uzunluğundan ziyade yönüyle ilgilenildiği için bu vektörler için r= 1 olarak alınır. Bu hesaplama ile yapılacak matematiksel işlemler kolaylaşmaktadır. Bu durumda, her bir dairesel gözlem, yarıçapı 1 uzunluğunda olan birim çemberin merkezinden, birim çember üzerindeki bir gözlem noktasına doğru çizilen birim vektörle tanımlanabilir. Alternatif olarak, bir birim çemberin çevresindeki bu nokta sadece açı ile de belirtilebilmektedir.
Konum Ölçüleri
İki adet yön verisinin aritmetik ortalamasının hesaplanmasında bile yönlü veriler yanıltıcı sonuçlara yol
açabilir. Bu duruma ait bir çalışma kitabınızın 205.sayfasındaki Örnek 7.6’da açıklanmaktadır. Bu örneği incelediğinizde buradaki göçmen kuşların yaklaşık olarak kuzey yönüne doğru uçtukları söylenebilir. Bu örnekte verilen açıların bilinen yöntemle aritmetik ortalaması hesaplandığında ise aynı sayfada yer alan Şekil 7.9’da kırmızı okla belirtilen, x = (20 + 340)/ 2 =180o değeri elde
edilir. Ortaya çıkan bu sonuç, tam olarak güney yönüne belirtmekle birlikte, sezgisel olarak 0°, yani kuzey yönü olması gereken ortalama ile çelişen bir sonuç olmaktadır. Bu durumda, gerçekte uygulanması gereken tekniklerin dairesel verilere özgü dönüşüm gerektiren istatistiksel teknikler olacağı düşünülmelidir. Ayrıca, aynı veri seti için örneklem aritmetik ortalaması, sıfır-yönü ve dönüş doğrultusunun seçimine bağlı olarak da farklılık gösterebileceği her zaman göz önünde tutulmalıdır. Bu örnekte de açıklandığı gibi dairesel veriler için, doğrusal verilerde sıklıkla kullanılan aritmetik ortalama bir konum ölçüsü değildir. Sıfır-yönü ve dönüş doğrultusu seçiminin bir fonksiyonudur. Dolayısıyla dairesel veriler için konum ölçüsü olarak kullanılmamalıdır. Örneklem ortalamasına bağlı örneklem varyansı s2’de de aynı problem ortaya
çıkabilmektedir. Buna göre, dairesel veriler için daha kullanışlı ve uygun tanımlayıcı istatistiklerin tanımlanması gerekmektedir.
Ortalama Yön (𝜽")
Dairesel veri analizinde tanımlayıcı ölçülerin birçoğu, ortalama bileşke vektörü kavramına dayanır. Ortalama bileşke vektörü, eldeki dairesel verilere ilişkin vektörlerin uç uca eklenmesi sonucunda ortaya çıkar. Ortalama bileşke vektörünün, birincisi yönü (ortalama yön), ikincisi ise uzunluğu olmak üzere iki özelliği bulunmaktadır. Bunlara ait simgeler ise kitabınızdaki 205. sayfada verilmektedir. Bir sonraki sayfada ise (206.sayfa) verilen bir dairesel veri seti için ortalama yönün hesaplanışı yer almaktadır.
Medyan Yönü (𝜽")
Örneklem mod yönü, elde edilen dairesel veri seti içerisinde en fazla görülen yön anlamına gelir. Verilen bir frekans dağılımının mod yönü, kesim noktası seçiminden sonra doğru üzerindeki süreçle aynı süreç uygulanarak elde edilir. Dolayısıyla dağılımın merkezinde en yüksek yoğunlaşma meydana gelmiş olur.
Mod Yönü (𝜽")
Gruplanmış serilerde mod yönüne ilişkin hesaplama ise kitabınızın 208. sayfasındaki eşitlikle gerçekleştirilmektedir. Bu eşitlikte L değeri; mod sınıfının alt sınırını, f0 değeri; mod sınıfının frekansını, f-1 değeri; mod sınıfından bir önceki sınıfın frekansını, f+1 değeri; mod sınıfından bir sonraki sınıfın frekansını ve de h değeri; sınıf aralığının genişliğini ifade etmektedir. Kitabınızın 209. sayfasında bulunan Örnek 7.10’da ise bir dairesel veri seti için mod yönü değerinin belirlenmesini amaçlayan bir örnek çalışma yer almaktadır.
Yoğunlaşma ve Saçılım Ölçüleri
Dairesel veri analizlerinde kullanılan yoğunlaşma miktarı (κ), en temel olasılık dağılımı olan dairesel normal dağılım (von Mises dağılımı)’a özgü bir parametredir ve dağılımın dairesel tek-biçimli (uniform) dağılımdan ayrılışını ölçer. Ortalama bileşke uzunluğu ile yakından ilgilidir.
Yoğunlaşma miktarını anlayabilmek için doğrusal bir veri setinin normal dağılıma ve de dairesel bir veri setinin dairesel normal dağılıma sahip olduğunu düşünelim. Belirtilen bu dağılımlarda iki tür parametre vardır. Birinci parametre ile konum ya da referans yönü, diğeriyle ise konuma ilişkin saçılım tanımlanır.
Bilindiği gibi, normal dağılım için saçılım miktarı σ2 varyansı ile ölçülür. Dairesel normal dağılım için saçılım miktarı ise yoğunlaşma miktarı κ ile ölçülür. Eğer κ= 0 ise, dairesel tek-biçimli dağılım söz konusu olur ve κ değeri büyüdükçe ortalama yön etrafındaki yoğunlaşma artar. Dolayısıyla, κ değeri büyüdükçe, ana kütle ortalama yönü ve mod yönü etrafında daha büyük bir kümelenme meydana gelecektir. Kitabınızın 209. sayfasındaki Şekil 7.10’da farklı yoğunlaşma değerleri için dairesel normal dağılımlar gösterilmektedir.
Dairesel Varyans (V): Bu kavramı açıklayacak olursak; ortalama bileşke vektörünün uzunluğunun 0 ile 1 arasında değer aldığını hatırlatalım. θ1 , ..., θn dairesel gözlem değerleri ortalama yön etrafında kümelendiği takdirde, ortalama bileşke uzunluğu 1’e yakın büyük bir değer alacaktır. Öte yandan, dairesel gözlemler geniş bir alana yayılmışsa ortalama bileşke uzunluğu, 0’a yakın olacaktır. Dolayısıyla bu ortalama bileşke uzunluğu, veri kümesinin bir yoğunlaşma ölçüsüdür. Ancak ortalama bileşke uzunluğunun sıfıra eşit olması, gözlemlerin çemberin etrafında eşit olarak yayıldığı anlamını taşımamaktadır.
Diğer taraftan tek-modlu bir veri seti için başka bir yararlı ölçü de verinin bu merkez etrafındaki yoğunlaşma miktarını gösteren bileşke vektörün uzunluğudur. Dairesel gözlem vektörlerinin bileşke vektörünün uzunluğu, R harfiyle gösterilir ve bileşke uzunluğu olarak tanımlanır. Buna ait eşitlik kitabınızın 211. sayfasında yer almakta olup ardından örneklem dairesel varyans da açıklanmaktadır. Dairesel varyans, doğrusal veriler için hesaplanan varyansa eşdeğer olmakla birlikte, oldukça farklı bir hesaplama şekline sahiptir. Radyan cinsinden elde edilen sonuç, dereceye dönüştürülebilmektedir. Dairesel varyansta sıfır- yönü değiştirilse bile dairesel varyans değerinin değişmemesi çok önemli bir husustur. Bu kavrama ait yine kitabınızın 211. sayfasında yer alan Örnek 7.12’yi inceleyiniz.
Dairesel Standart Sapma (ν): Doğrusal verilerde tanımlanan örneklem standart sapma değerinin dairesel veriler için bir benzeri, dairesel standart sapma (ν) olarak tanımlanır. Böyle bir tanımlayıcı ölçü örneklem varyansı V’nin dönüştürülmesi ile elde edilir. Burada doğru üzerindeki varyans [0, ∞] aralığında değerler alırken, dairesel varyansın değişim aralığı [0, 1]' dir. Dairesel
varyans değerinin uygun bir dönüşümü için kullanılan bir eşitlik kitabınızda 212. sayfada ilk paragrafta yer almaktadır ve bu verilen örneklem dairesel standart sapma değeridir. Ardından buna ait verilen Örnek 7.13’ü çözümü ile birlikte inceleyiniz.
Dairesel Saçılım: Bir diğer saçılım ölçüsü de dairesel saçılımdır. Örneklem dairesel saçılımına ait eşitlikler ve buna ait bir örnek çalışma (Örnek 7.14) kitabınızın 212. sayfasında yer almaktadır. Dairesel saçılım, ortalama yön için güven aralıklarının belirlenmesinde ve birden fazla örneklem ortalama yönünün karşılaştırılmasında ya da birleştirilmesinde kullanılan önemli bir tanımlayıcı ölçüdür.
Dairesel Standart Hata: Dairesel standart hata özellikle, ortalama yön için güven aralıklarının belirlenmesinde kullanılmaktadır. Bu kavrama ait eşitliklerden Örnek 7.15’de yararlanılmıştır. Burada radyan cinsinden de hesaplamalar yapılabilmektedir.
Çarpıklık (ŝ) ve Basıklık (𝒌$) Ölçüleri: Bu ünitede yer alan
diğer saçılım ölçüleri ise çarpıklık ve basıklıktır. Dairesel verilerin çarpıklığı için sık kullanılan bir ölçüye ait eşitlik ve gerekli hesaplamalar kitabınızın 213. sayfasında verilmektedir. Dairesel normal dağılım gibi tek-modlu simetrik bir dağılımdan elde edilen veriler için örneklem basıklık değeri sıfıra yakın bir değer alırken, birden fazla tepe noktası bulunan dağılımlarda ise örneklem basıklık değeri pozitif bir değer alma eğilimindedir. Buna ait açıklamalar ise kitabınızın 214. sayfasındaki Örnek 7.16’da verilmektedir.