CBS105U-COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL İSTATİSTİK
Ünite 6: Nokta Örüntü ve Mekânsal Korelasyon
Giriş
Daha önce de ele aldığımız gibi çoğunlukla günlük hayatta ortaya çıkan birçok probleme ilişkin bilgiler konum ile eşleştirilebilmektedir. Şehrin nerelerinde suç yoğunluğu vardır? Acaba suç, örneğin yankesicilik, şehrin her tarafında rassal bir dağılıma sahip olabilir mi? Bir bahçe içerisinde yer alan ağaçlarda ortaya çıkan hastalıklar bahçenin her tarafında karşımıza çıkıyor veya sadece bahçenin bir bölgesinde yoğunlaşıyor olabilir mi? Bu ünitede hem nokta örüntü hem de polygon tipi verilerle ilgili çalışmalar yürütülecektir. Ünitenin ilk kesiminde nokta örüntü konusu ele alınırken ikinci kesiminde mekânsal otokorelasyon konusu incelenecektir.
Nokta Örüntü Verisi
Nokta örüntü verilerinde üzerinde çalışılan değişkene ait değerlerin bir koordinat sistemine göre konum bilgileri araştırmacı tarafından bilinmektedir. Nokta örüntü analizi çalışmalarında temel olarak araştırılan soru gözlemlediğimiz nokta verisinin genel yapısının önceden bilinen bir teorik mekânsal süreç ile benzerliğinin olup olmadığının araştırılmasıdır. Bir başka deyişle gözlemlenen nokta örüntü dağılımı ile teorik bir mekânsal süreç arasındaki uyumun araştırılması nokta örüntü analizinin temel prensibi haline gelmektedir.
Mekânsal nokta örüntüsü için karşımıza çıkabilecek veri yapılarına ilişkin örnek grafikler beşe beşlik bir Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak kitabın 165. sayfasındaki şekil 6.1’de yer almaktadır.
Quadrat (Bölümlendirme) Analizi
Quadrat analizinde ilgilenilen alan eşit büyüklüklere sahip daha küçük alanlara bölünür. Burada oluşturulan alan büyüklüğü önem arz eder. Araştırmacının ne çok küçük ne de çok büyük bir alan belirlememesi gerekir. Genellikle gerçek yaşam araştırmalarında birkaç deneme ile istenen alan büyüklüğü elde edilebilir. Örneğin 10×10 metrelik bir alanı her biri 1×1 metrelik 100 alt bölgeye ayırabileceğimiz gibi her biri 2×2 metrelik 50 bölgeye de ayırmak mümkün olacaktır. Burada araştırmacının probleme ilişkin alan deneyimi ön plana çıkacaktır. Quadrat analizinde alt bölgelerin sınırları tespit edildikten sonra her bir bölgeye düşen birim sayısı tespit edilir. Quadrat analizinde alt bölgelere/hücrelere düşen birim sayısı incelenir. Örneğin noktaların bir rassal örüntü yapısında olması durumunda hücre başına ortalama birim sayısı kabaca hücre başına düşen birim sayısının varyansına eşit olacaktır.
İzleyen adımlar yardımıyla Quadrat Analizi yapılabilir:
• Araştırmacının veri derlediği bölge birbirine eşit büyüklükte k tane hücreye/bölgeye bölünür. • Hücre başına ortalama birim sayısı hesaplanır (𝑥̅ ). • Hücre başına düşen birim sayısı değişkeninin örneklem varyansı hesaplanır. • Varyans-Ortalama oranı şu eşitlikle hesaplanır:
!! Varyans-Ortalama oranı =V.O.= "̅
• Çıkan sonuçlar şu ilkeler kapsamında yorumlanır: o V.O. < 1 ise hücre başına birim sayısı varyansı aritmetik ortalamadan daha düşük bir değer olacaktır. Bu durumda çalışma alanı içerisinde noktaların dağılımı düzgün dağılıma sahip olacaktır. o V.O. > 1ise hücre başına düşen birim sayısı hücreden hücreye değişkenlikler gösteriyordur. Bazı hücrelere düşen birim sayısı beklenen ortalamadan yüksek bazıları ise beklenen ortalamadan düşük olacaktır. Bu durumda nokta örüntünün rassal değil daha çok kümelenme yapısında olduğu ifade edilecektir. o V.O. 1’e yakın bir değer alıyor ise bu durumda ilgili değişkenin çalışma alanı içerisindeki nokta örüntü dağılımının rassal olduğu söylenebilir.
Varyans-ortalama oranı bize kümelenme için bir gösterge değer elde etmemizi sağlamaktadır. Ancak bilimsel araştırmalarda hesaplanan değerin istatistiksel olarak da anlamlı olup olmadığı da sorgulanır. Araştırmacının bu tür durumlarda başvurabileceği istatistiksel teknik hipotez testidir. Quadrat analizinde varlığı ortaya konan kümelenmenin istatistiksel anlamlılığını test etmek için Ki- kare (χ2) istatistiğinden faydalanılır. Bu amaçla bir ki-kare
istatistiği hesaplanarak hesaplanan istatistik teorik Ki-kare (χ2) istatistiği ile karşılaştırılır. Varyans-ortalama oranı
kullanarak ve Ki-Kare hipotez testi yardımıyla nokta örüntünün dağılımının rassal olup olmadığı hakkında karara varmak mümkündür. Quadrat tekniği sıklıkla kullanılan bir teknik olmakla birlikte araştırmacının oluşturacağı hücre sayısının sonucu doğrudan etkileyebileceğini hatırlamak gerekir. Kitabın 170. sayfasında hesaplamalar için bir örnek bulunmaktadır.
Ortalama En Yakın Komşuluk Analizi
Bu teknikte öncelikle nokta örüntü verisinde yer alan her bir noktanın kendisine en yakın durumda olan nokta ile olan Öklid uzaklıkları hesaplanır. Araştırmanın yapısına göre ikinci en yakın veya üçüncü en yakın noktalarında uzaklıkları araştırılabilir. İstenilen uzaklık değerleri hesaplandıktan sonra tüm en yakın komşuluk uzaklık değerlerinin ortalaması alınır. Bu teknik yardımıyla ilgilenilen değişkene ilişkin konumsal kümelenmelerin olup olmadığı araştırılabilir. Hesaplanan ortalama uzaklık değeri daha önceden tespit edilen ortalama uzaklık değerinden daha düşük bir değer alıyor ise bu durumda üzerinde çalışılan değişken bakımından kümelenmeler olduğu söylenir. Benzer biçimde hesaplanan ortalama uzaklık değeri daha önceden tespit edilen ortalama uzaklık değerinden daha büyük bir değer alıyorsa noktaların rassal yayıldığı söylenecektir. Ortalama en yakın komşuluk analizinde, ortalama en yakın komşuluk oranı adı verilen istatistik izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Ortalama En Yakın Komşuluk Oranı = O.E.K. = 𝑑̅$ ⁄𝑑̅%
Eşitlikte 𝑑̅$ örneklemde yer alan her gözlem değeri ile ona en yakın komşusunun uzaklık ortalamasını gösterir. 𝑑̅%
örneklemin oluşturulduğu bölgede rassal bir örüntünün ortaya çıkması durumunda beklenen ortalama değeridir ve 𝑑̅% = 0.5 ⁄* 𝑛 ⁄𝐴ile hesaplanır. Eşitlikte n birim sayısını, A
ise araştırmacı tarafından tanımlanan ve nokta örüntü verisinin derlendiği alanın büyüklüğünü tanımlamaktadır. Hesaplanan ortalama en yakın komşuluk oranı istatistiğinin değeri 1’den düşük ise nokta örüntünün kümelenme yapısında olduğu ifade edilir. O.E.K tam olarak sıfıra eşit ise tamamıyla kümelenmiş bir örüntünün varlığı ifade edilir. Eğer ortalama en yakın komşuluk oranı istatistiğinin değeri 1’den büyük ise nokta örüntünün saçılımının yüksek olduğu ifade edilir. Araştırılan nokta örüntü verisinin rassal olup olmadığını test etmek için standart normal dağılım yaklaşımından faydalanılır. Standart normal dağılım yardımıyla bir hipotez testi süreci gerçekleştirilebilir. Bu konuda sayısal bir örnek kitabın 172. sayfasında verilmiştir. Ortalama en yakın komşuluk analizi kolay çözümlemeye sahip bir tekniktir. Ancak tekniğin bazı dezavantajları da bulunmaktadır. Bunlarından ilki çalışma alanı içerisinde herhangi bir gözlem biriminin ortaya çıkma olasılığı bulunmaktadır. Çalışma alanının herhangi bir noktasında gözlem değeri elde edebiliriz. Ancak coğrafi bilgi sistemlerinde bu her zaman mümkün olmayabilir. İkinci olarak gözlem sonuçları aslında sınırsız bir alanda ortaya çıkmaktadırlar, sadece araştırmacı bu alanı sınırlamaktadır. Sınırın boyutunun ne olduğu, sınırlanan alanın toplam bölge içerisindeki konumu yapılacak analizleri etkileyecektir. Ortalama en yakın komşuluk analizi özellikle aynı bölgenin zaman içinde değişiminin incelenmesi, bölge içerisinde saçılımın artıp artmadığının araştırılması gibi durumlarda çok kullanışlı olmaktadır.
Yoğunluk Grafikleri
Quadrat analizi yardımıyla oluşturulan bölgelere düşen birim sayıları kullanılarak yoğunluk grafiği çizilmesi de mümkündür. Yoğunluk grafiklerinde her bir Quadrat içinde kalan birim sayısına ek olarak ilgili hücrenin diğer hücreler ile görsel bir karşılaştırılmasının yapılabilmesi için yoğunluk grafikleri de çizilebilir. Birçok coğrafi bilgi sistemi yazılımında bu grafiğin çizilmesi için seçenek bulunmaktadır. Coğrafi bilgi sistemlerinde kullanılan yazılımlar nokta örüntü verisinin düzlemde dağılımı için sabit bir bant genişliğine göre dağılımını tahmin ederek bir yoğunluk grafiği de oluşturulabilir. Burada bant genişliği genellikle standart sapma değeri ile kontrol edilir. Burada yapılan iş gözlemlenen nokta örüntünün ortaya çıkmasına sebep olduğunu düşünülen mekânsal sürece ilişkin bir fonksiyonun tanımlanan tüm alan için tahmin edilmesidir.
Mekânsal Korelasyon
Klasik istatistiksel analizlerde sürekli iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve şiddetini tespit etmek üzere korelasyon analizine başvurulur. Korelasyon analizinde sıklıkla başvurulan teknik Pearson’ın korelasyon
katsayısının hesaplanmasıdır. İki değişken için korelasyon değerinin yüksek olması bu iki değişken arasında nedensel bir ilişki olduğunun da göstergesi değildir. Pearson’ın korelasyon katsayısı (r) ile gösterilir ve –1≤ r ≤+1 aralığında değerler alır. Mekânsal analizlerde sıklıkla karşımıza çıkan bir konu Mekânsal Otokorelasyon konusudur. Mekânsal Otokorelasyon temel olarak benzer değerlere sahip olan birimlerin çalışma alanı içerisinde birbirlerine yakın noktalarda ortaya çıkıp çıkmadıklarının araştırılması işlemidir. Eğer araştırması yapılan değişkene ilişkin değerler çalışma alanı içerisinde rassal olarak dağılıyorlar ise Mekânsal Otokorelasyon ortaya çıkmayacaktır. Mekânsal Otokorelasyon çalışmalarında Mekânsal tartıların hesaplanmasına ihtiyaç vardır. Mekânsal tartılar hesaplanırken üzerinde durulan Mekânsal ilişkinin temel yapısına en uygun olan tekniğin kullanılması gerekmektedir. Burada iki ana başlık ortaya çıkmaktadır. Bunlardan birincisi komşuluk temelli olan teknikler ve ikincisi de uzaklık temelli olan tekniklerdir. Komşuluk temelli tekniklerde, poligon veri yapısında mekânsal tartılar için birbiri ile komşu olan (birbirleri ile sınır çizgisine sahip olan) bölgeler 1, diğer bölgeler ise 0 ile temsil edilebilir. Uzaklık temelli tekniklerde, örneğin 3 birimlik Öklid uzaklığında yer alan birimler birbirleri ile komşu olarak sayılabilir. Dolayısıyla mekânsal tartıların tespiti öncelikle üzerinde çalışılan olaydaki komşuluk kavramının iyi irdelenmesi ile başarılı olacaktır. Mekânsal tartı için mekânsal tartı matrisi oluşturulur. Tüm birimlerin veya bölgelerin birbirleri ile komşulukları araştırılır. Eğer komşuluk araştırılan ikili birbiri ile belirlenen kriterler kapsamında komşu ise en basit anlamı ile matrisin ilgili hücresi 1 değerini alırken komşu değilse 0 değerini alacaktır. Mekânsal tartı matrisi W ile gösterilirken matrisin her bir elemanı wij , i = 1 ,...., n ve j = 1 ,...., n ile gösterilir. Komşuluk tabanlı tartı matrisi oluşturmak için sıklıkla kullanılan üç teknik bulunmaktadır. Bunlar Rook komşuluğu, Bishop komşuluğu ve Queen komşuluğudur. Verilen bu komşuluklar dikkat edilirse satranç oyunundaki bazı taşların hareketleridir ve İngilizce isimlerde bu taşları sembolize edecek biçimdedir. Satranç oyunundan terimlerin Türkçe karşılıklarını izleyen biçimde ele alabiliriz: Rook - Kale, Bishop - Fil ve Queen - Vezir. Mekânsal otokorelasyonun tespitine ilişkin birçok teknik bulunmaktadır. Genel olarak iki ana yaklaşım bulunmaktadır. Birinci yaklaşımda ilgilenilen tüm alana ilişkin tek bir değer üzerinden mekânsal Otokorelasyon araştırılır ve bu grupta yer alan teknikler global mekânsal Otokorelasyon adını alırlar. İkinci yaklaşımda ise alt bölgelerin farklı özellikler içermesinden dolayı bölgeden bölgeye otokorelasyonun farklılık göstereceği temelinden yola çıkılarak hesaplanan yerel mekânsal Otokorelasyon teknikleridir.
Global Moran’ın I Katsayısı
Moran’ın I tekniği en sık kullanılan tekniklerinden biridir. Örneklemde yer alan birimlerin konumlarını da dikkate alarak tek bir değişken için global mekânsal otokorelasyonun hesaplanmasında kullanılır. Moran’ın I
değeri için kullanılan eşitlik kitabın 179. sayfasında verilmiştir.
Global Geary’nin C Katsayısı
Mekânsal otokorelasyonun hesabında kullanılan ikinci tekniğimiz Global Geary’nin C katsayısı/oranıdır. Bu değerin hesaplanması için kullanılan eşitlik kitabın 181. sayfasında verilmiştir. Geary’nin C oranı için en küçük 0 elde edilmektedir. Üst sınır olarak ise 1’den daha büyük bir değer tanımlaması yapılmakta ve sabit bir üst sınır değeri verilmemektedir. Geary C’nin 1 olması mekânsal otokorelasyonun olmadığını ifade eder. Geary C oranı için (0< C < 1) aralığında C’nin küçük değerleri için mekânsal otokorelasyonun varlığı söylenir. 0’a doğru yaklaşıldıkça mekânsal otokorelasyonun şiddeti de artacaktır. Geary C oranı için, (C < 1), olmak üzere elde edilen büyük değer negatif mekânsal otokorelasyonu temsil eder. C oranının değeri büyüdükçe daha güçlü negatif mekânsal otokorelasyon olduğu ifade edilir. Geary C oranının temsiliyetinin artması için ağırlık/tartı matrisinin simetrik bir matris olması gerekir.
Yerel Moran’ın I Katsayısı
Yerel Moran’ın I katsayısı/oranı yerel mekânsal otokorelasyon hesabında kullanılan bir yaklaşımdır. Bu oran yardımıyla yerel kümelenmelerin tespit edilmesi mümkün olmaktadır. Ayrıca Global kümelenmelere veri içerisinde yer alan aykırı gözlemlerin katkı miktarının tespitinde faydalı bir oran olarak ortaya çıkmaktadır. Literatürde sıklıkla LISA olarak adlandırılan yerel göstergeler grubunda yer alır. Temel olarak ele alındığında yerel Moran’ın I oranı gözlem değerlerinin genel hareketinden çok yereldeki durumunun ortaya konmasında, Global Moran’ın I değerinin her bir gözlem birimi için ilişkilendirilmiş olan mekânsal ilişki derecesinin tespitinde kullanılmaktadır. Bu iki ana başlık göz önüne alındığında, mekânsal veri setlerinde aykırı değer tespiti istendiğinde Yerel Moran’ın I istatistiği sıklıkla ön plana çıkan teknik olmaktadır. Bu değerin hesaplanması için kullanılan eşitlik kitabın 182. sayfasında verilmiştir.
Getis ve Ord’un G İstatistiği
Genel G istatistiği de mekânsal otokorelasyon hesaplamasında kullanılabilir. Ancak G istatistiğinin önemli bir üstünlüğü bulunmaktadır. G istatistiği ile soğuk ve sıcak olarak adlandırılan kümelerin tanımlanması yapılabilir. Soğuk küme/bölge olarak adlandırılan küme içerisinde düşük değerli gözlemler yer alırken; Sıcak küme/bölge olarak adlandırılan küme içerisinde büyük değerli gözlemler yer alacaktır. Bu değerin hesaplanması için kullanılan eşitlik kitabın 184. sayfasında verilmiştir. Eğer üzerinde çalışılan değişkene ilişkin global mekânsal otokorelasyon sonucunda pozitif bir mekânsal otokorelasyon kararına varılmış ise bu istatistik ortaya çıkan bu mekânsal otokorelasyonun nedeninin soğuk bölge mi yoksa sıcak bölge mi olduğunun ortaya çıkarılmasında faydalı olacaktır.