CBS105U Ünite 4 Özeti — Coğrafi Bilgi Sistemleri İçin Temel İstatistik

CBS105U-COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL İSTATİSTİK

Ünite 4: Olasılık ve Olasılık Dağılımı

Olasılık Kavramı

Olasılık, herhangi bir olayın gerçekleşme şansı için öngörülen atanmış sayısal bir değerdir. Olasılık, sıfır ile bir kapalı aralığında değerlere sahiptir. Olasılık değerinin sıfır olması olayın/durumun/sonucun gerçekleşme şansının hiç bulunmadığını (olanaksız durum), 1 olması ise olayın kesinlikle gerçekleşeceğini (kesin durum) ifade etmektedir. Sıfır ile bir arasında ortaya çıkan olasılık değerleri, üzerinde çalışılan olay/durum/sonucun gerçekleşme şansının derecesini temsil edecektir.

Deneme, Sonuç, Örneklem Uzayı ve Olay Kavramları

Olasılık konusunda deneme, sonuç, örneklem uzayı ve olay kavramları ile karşılaşılır. Ortaya çıkabilecek olası durumlardan birinin gerçekleşmesi ile tamamlanan sürece deneme adı verilir. Bir denemenin gözlemlenen değerine sonuç denir. Örneklem uzayı, bir denemenin mümkün tüm sonuçlarını gösteren kümedir. Örneklem uzayı sonlu ya da sonsuz olabilir. Eğer bir örneklem uzayı sonlu sayıda ya da sonsuz fakat sayılabilir sayıda eleman içeriyor ise bu örneklem uzayı kesikli örneklem uzayı adını alır. Bazı denemelerin sonuçları ise ne sonlu ne de sayılabilir sonsuz sayıda olabilir. Bir örneklem uzayı sonsuz (sayılamayacak) sayıda elemandan oluşuyor ise sürekli örneklem uzayı adını alır. Olay, bir denemenin bir ya da daha fazla sonucundan oluşan kümedir. Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi olaydır.

Olasılığın Klasik Tanımı

Olasılığın klasik tanımına göre bir olayın gerçekleşme olasılığı, ilgilenilen sonuç sayısının mümkün sonuçların sayısına bölünmesi ile hesaplanır. Bu tanım bir deneme sırasında ortaya çıkabilecek tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Araştırmacının üzerinde durduğu bir A olayına ilişkin sonuç sayısı n ile ve problemdeki tüm sonuçların sayısı N olarak tanımlanırsa, klasik olasılık tanımına göre bu A olayının ortaya çıkması olasılığı, P(A)= n/N eşitliği yardımıyla hesaplanacaktır.

Klasik olasılık tanımının en önemli eksikliği, bütün sonuçların eşit olasılığa sahip olmadığı durumlarda uygulanabilirliğinin sınırlı olmasıdır.

Olasılığın Göreli Frekans Tanımı

Olasılık hesabı için deneysel bir yaklaşım olarak bilinen ve genel kabul gören bir başka tanım ise olasılığın göreli frekans tanımıdır. Bu tanıma göre bir olayın gerçekleşme olasılığı ilgili olayın uzun dönemde ortaya çıkma oranına eşit olacaktır. Geçmişte ortaya çıkan olayların sayısı f ile ve toplam gözlem sayısı N ile belirtildiğinde olasılığın göreli frekans tanımı yaklaşımıyla bir A olayının gerçekleşme olasılığı, P(A)= f/N olarak ifade edilecektir.

Subjektif/Kişisel/Öznel Olasılık Tanımı

Bir denemenin tekrarlanmasının zor olduğu durumlarda kullanılan, kişisel deneyimlere dayanarak ifade edilen olasılığa subjektif/kişisel/öznel olasılık adı verilmektedir. Subjektif olasılık belirsizliğe ilişkin kişisel fikirlerin sayısal

ifadesi olduğu için bir olaya ilişkin olasılık değeri kişiden kişiye göre farklılık gösterir.

Saymanın Temel İlkesi

Saymanın temel ilkesine göre; eğer bir süreç, birincisi n1 farklı yolla, ikincisi n2 farklı yolla gerçekleşmek üzere iki adımdan oluşuyorsa sürecin tamamı n1 × n2 farklı yolla gerçekleşir. Eğer bir süreçte birincisi n1, ikincisi n2, ... , k’ıncısı nk farklı yolla gerçekleşmek üzere k adımdan oluşuyorsa, süreç n1 × n2, … × nk farklı yolla gerçekleşir.

Permütasyon

Bir düzen içinde yer alan birimlerden oluşan bir toplulukta farklı sonuçların ortaya çıkış biçim sayısını permütasyon yardımıyla hesaplayabiliriz. n birimlik bir kümenin herhangi bir alt kümesinden oluşturulan her farklı sıralama bir permütasyon olur. Permütasyonda sıralanan birimlerin dizildiği sıraya dikkat edilmesi gerekliliği vardır. Permütasyon aşağıda sıralanan özelliklere sahip olacaktır:

• n tane birim kendi aralarında sıralandığında elde edilecek farklı düzen sayısı veya permütasyon sayısı Pnn ile gösterilir ve bu değer n!’e eşittir.

• n tane farklı birimin k tanesi (k ≤ n) sıralandığında elde edilecek düzenlerin sayısı nPk, nPk, Pkn ya da !! P(n,k) ile gösterilir ve 𝑃(𝑛, 𝑘) = (!$%)! eşitliği ile

hesaplanır.

Birimler sıralamalarda yalnızca bir kez kullanılabilir.

• n adet farklı birim bir daire çevresinde (n–1)! farklı biçimde sıralanabilir (dairesel permütasyon). • n1 tanesi birinci tür, n2 tanesi ikinci tür, nk tanesi k’ıncı türden olan n tane birim bulunsun. Burada n1 + n2 + ... + nk = n olsun. n birimin tamamı sıralanırsa elde edilecek düzen sayısı izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır. n!/(n1! n2!... nk!).

Kombinasyon

Kombinasyon, n sayıda birim arasından r adet birimin diziliş sırası dikkate alınmaksızın kaç farklı biçimde oluşturulabileceğini hesaplamak için kullanılır. Kombinasyonda, n sayıda birimden herhangi r tanesi (r ≤ n) rassal seçilir. Kombinasyon ve permütasyon arasındaki farklılık birimlerin diziliş sıralamasına verilen önemdir. Permütasyonda birimlerin diziliş sırası önemli iken kombinasyonda önemli olmamaktadır. Özellikleri:

• n (n ≥ 0) sayıda birimden oluşturulabilecek r (n > r) birimlik kombinasyon sayısı; 𝑛 𝑛 !! 𝐶 * , = * , = '!(!$')! , 𝑟 𝑟

r=0,1,2,…n; n!=n×(n−1)×(n−2)×...×1

𝑛 • n ≥ 0 bir tamsayı ve r > n bir tamsayı ise 𝐶 * , = 0 𝑟 𝑛 𝑛 𝑛 + 1 • 𝐶 * , + 𝐶 * , = 𝐶 * , 𝑟 𝑟 + 1 𝑟 + 1

𝑛 𝑛 • 𝐶 * , = 𝐶 * , 𝑛 − 𝑟 𝑟 𝑛 0 𝑛 𝑛 • 𝐶 * , = 1, 𝐶 * , = 1, 𝐶 * , = 𝑛, 𝐶 * , = 1 𝑛 0 1 0

Olay ve Olayın Olasılığı

Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesi “olay” olarak tanımlanır. Tek birimden oluşan alt kümeye “basit olay”, birden fazla birimden oluşan alt kümeye ise “bileşik olay” adı verilir. Eğer A ve B olayları, S örneklem uzayının herhangi iki alt kümesi ise bu iki olayın birleşimi A ∪ B; iki olayın kesişimi A ∩ B; A olayının tümleyeni 𝐴̅ ile gösterilir.

Eğer A ve B olaylarını ifade eden kümelerin ortak elemanı bulunmuyorsa, A ve B olayları ayrık olay olarak adlandırılır. A ve B ayrık olaylar ise bu kümelerin kesişimi boş kümedir. Boş küme (Ø) olanaksız olay olarak adlandırılır. Bir olay, belirli koşulların her gerçekleşmesinde kesin olarak ortaya çıkmıyorsa bu tür olaylar olanaksız olaydır. Bir olay belli koşulların her gerçekleşmesinde zorunlu olarak meydana geliyorsa bu olay kesin olay olarak adlandırılır.

Olasılık kuramının konusunu kesin ya da olanaksız olaylar değil rassal ya da kesin olmayan olaylar oluşturmaktadır. Gerçekleşmesi şansa bağlı olan ve sonucu gözlemlenmeden önce bilinmeyen olaylar rassal olay olarak adlandırılır.

Olasılık problemlerinde olay için büyük harfler kullanılır. Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, örneğin, P(A) ile gösterilir. Olasılığın 3 temel ilkesi:

• S örneklem uzayının bir alt kümesi olan A olayının gerçekleşme olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 aralığında değer alır. • P(S) = 1’dir. • Eğer A1, A2, A3, ... olayları, S örneklem uzayında sonlu ya da sonsuz sayıda karşılıklı ayrık olaylar ise P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... • A olayı, S kesikli örneklem uzayında tanımlanan bir olay ise P(A) olasılığı, A olayını oluşturan sonuçların her birinin olasılıkları toplamına eşittir. • Ø olanaksız olay ise P(Ø) = 0 olur. • A olayının gerçekleşme olasılığı olayı, S örneklem uzayında herhangi bir olay iken P(𝐴̅ ) = 1 – P(A)

olur. • A ve B; S örneklem uzayında herhangi iki olay iken P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) olur. • A ve B, S örneklem uzayında herhangi iki olay, B ⊆ A ise P(B) ≤ P(A) olur. B, A’nın alt kümesi ise P(B) olasılığı P(A)’dan daha büyük bir değer almayacaktır.

Koşullu Olasılık

Koşullu olasılık herhangi bir olayın ortaya çıkma olasılığının bu olayla ilişkili başka bir olayın daha önce gerçekleşip gerçekleşmediğinden etkilenmesiyle ilişkili olmasıdır. A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) olsun. A olayı ile ilişkili bir B olayının da önceden gerçekleştiği

bilgisi elde edilmiş olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiğinde veya B olayının sunucu bilindiğinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığı koşullu olasılık olarak adlandırılır. Koşullu olasılık P(A|B) ile gösterilir. P(A|B), B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının ortaya çıkması koşullu olasılığı olarak ifade edilir. P(A|B) için genel koşullu olasılık eşitliği aşağıda verilmiştir.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) = , 𝑃(𝐵) > 0 𝑃(𝐵)

Çarpım kuralına göre A ve B, S örneklem uzayında herhangi iki olay iken P(B) ≠ 0 ise P(A ∩ B) =P(B) P(A|B) olur.

Bağımsız Olaylar

A ve B gibi herhangi iki olaydan birinin ortaya çıkışı diğerinin ortaya çıkması olasılığını etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar adı verilir. Buna göre P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B) ise A ve B olayları bağımsız olaylardır.

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)

A ve B olayları bağımsızsa A ile 𝐵9 , 𝐴̅ ile B ve 𝐴̅ ile 𝐵9

olayları bağımsız olacaklardır.

Bayes Teoremi

Karar vericinin ilgilendiği olaya ilişkin mevcut olasılık değeri önsel olasılık olarak adlandırılır. Probleme ilişkin elde edilen ek bilgi ile tekrar düzenlenmiş, revize edilmiş olasılık değeri ise sonsal olasılık olarak adlandırılır. Bayes teoremi hesaplamasında izleyen temel eşitlik kullanılır.

𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴|𝐵) = , 𝑃(𝐵) > 0 𝑃(𝐵)

Bayes teoremine göre B olayının gerçekleştiği bilindiğinde Ai olayının gerçekleşme olasılığı izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır.

𝑖 = 1,2+. . . +𝑛

Rassal Değişken ve Olasılık Dağılımı

Rassal değişkenlerin sonuçları bir deneye bağlıdır ve deney gerçekleştirilmeden önce sonucun ne olacağı bilinemez. X değişkeni S örneklem uzayının birimlerine ilişkin olarak tanımlanan gerçek değerli bir fonksiyon olarak yazılabili- yorsa, bu X değişkeni rassal değişkendir. Almış olduğu değerleri belli bir olasılıkla alması rassal değişkenleri diğer değişkenlerden ayıran en önemli özelliktir. Olasılık kuramında rassal değişken X, Y, Z, … gibi büyük harf ile temsil edilirken değişkenin alacağı mümkün değerler ise x, y, z, … gibi küçük harfler ile temsil edilir.

Rassal değişken, kesikli rassal değişken ve sürekli rassal değişken olmak üzere iki kategoride ele alınır. Sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda olası değeri bulunan ve sonuç değerleri arasında belirli boşluklar olan rassal değişkenlere kesikli rassal değişken adı verilir. Sürekli rassal değişken, sayılamayacak ya da sonsuz sayıda değere sahip ve bir sayı aralığı ya da aralık kümesi üzerinde tanımlanabilen rassal

değişkendir. Sürekli rassal değişkenin olası iki gözlemlenebilir değeri arasına sonsuz sayıda değer olabilir.

Araştırmalarda kullanılan değişkenler, verinin bazı tipik özelliklerine bağlı olarak özellikleri teorik olarak ispatlanmış olasılık dağılımına sahip olabilirler. Herhangi bir olasılık dağılımı, X rassal değişkeni kesikli ise p(x), sürekli ise f(x) biçiminde ifade edilmektedir. Bu fonksiyonel gösterim nedeniyle olasılık dağılımları kesikli durumda olasılık fonksiyonu, sürekli durumda ise olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak da adlandırılırlar.

Kesikli Olasılık Dağılımı

Eğer X kesikli bir rassal değişken ise X kesikli rassal değişkeninin tüm olası x değerleri için tanımlanan p(x) = P(X = x) fonksiyonuna X kesikli rassal değişkeninin olasılık dağılımı adı verilir. Kesikli değişkenler genellikle sayma sayıları olarak ortaya çıktıları için tam sayılı değerler alırlar. Olasılığın temel ilkeleri doğrultusunda tanımlanan p(x) fonksiyonunun, X kesikli rassal değişkeninin olasılık dağılımı olabilmesi için gerek ve yeter koşulların tanımlanmasına ihtiyaç vardır. Bunlar:

• Tanım bölgesinde yer alan her değer için 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 olur. • Tanım bölgesinde yer alan tüm x değerlerinin olasılıkları toplamı ∑ ( 𝑝(𝑥) = 1olur.

Bu özellikleri sağlayan p(x) fonksiyonu X kesikli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu olacaktır.

Verilerin merkezî eğilimini ya da konumunu belirlerken ilgili verilerin ortalamasından, değişkenliğini belirlerken de ilgili verilerin varyans değerinden yararlanılır. Bir olasılık dağılımının aritmetik ortalaması μ ve varyansı σ2 sembolleri

yardımıyla gösterilir. Bir olasılık dağılımının aritmetik ortalamasına ilgili olasılık dağılımının beklenen değeri adı da verilmektedir. Kesikli bir rassal değişkeninin beklenen değeri E(X)=μ=∑xp(x) eşitliği ile hesaplanır.

Binom Dağılımı

Binom dağılımı değerleri sayma yoluyla elde edilen ve sonuçları başarılı-başarısız, var-yok, ölü-sağ, pozitif- negatif gibi ikili biçimde değer alan uygulamalarda çok sık rastlanan kesikli bir olasılık dağılımıdır. Binom dağılımının genel özellikleri:

• n sayıda tekrardan oluşan denemeler aynı koşullar altında gerçekleştirilir. • Her denemenin yalnızca iki sonucu vardır. Bu sonuçlardan birisi ilgilenilen sonuç diğeri ise bunun tümleyeni olan diğer sonuç olarak adlandırılır. • Araştırmacının ilgilendiği duruma ilişkin gerçekleşme olasılığı p tüm denemelerde sabit kalır. Dolayısıyla q = 1 – p ile gösterilen diğer sonucun gerçekleşme olasılığı da denemeden denemeye değişmeyen sabit bir değerdir.

• Denemeler birbirinden bağımsızdır. Bir denemenin sonucu diğer bir denemenin sonucunu etkilemez. • X kesikli rassal değişkeni, n bağımsız denemede gözlenen istenen durum sayısını belirtir.

Sayılan bu özelliklere göre n denemede x adet istenen durum ortaya çıkması olasılığının hesaplanabilmesi için binom dağılımının olasılık fonksiyonu kullanılır. Buna göre bir X kesikli rassal değişkeni binom dağılımına sahip ise bu değişken için olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.

nCxpxqn-x, x = 0, 1, 2, ..., n

P(x) = 0 , diğer x değerleri için

Binom dağılımına sahip bir X kesikli rassal değişkeninin aritmetik ortalaması μ = n p eşitliğiyle, varyansı σ2 = n p q

eşitliğiyle ve standart sapması da 𝜎 = ?𝑛𝑝𝑞 eşitliğiyle hesaplanır.

Poisson Dağılımı

Sınırlı bir zaman ya da mekân diliminde sonuçları rassal olarak gözlemlenebilen X kesikli rassal değişkeninin poisson dağılımına sahip olduğunun söylenebilmesi için izleyen özellikleri taşıması beklenir.

• Araştırmacının üzerinde durduğu farklı zaman veya mekân dilimlerinde gözlemlenen sonuçlar birbirinden bağımsızdır. • Zamanın veya mekânın ilgilenilen türden olayın gerçekleşmesine yetecek kadar büyük olmaması nedeniyle birden fazla olayın gerçekleşmesi mümkün değildir. • n tane deney sayısı sonsuza yaklaşmalıdır. • Belli bir zaman veya mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı λ sabit bir değerdir. • İlgilenilen olayın ortaya çıkma olasılığı problemde tanımlanan zaman veya mekân sınırlamasının boyutu ile doğrudan ilişkilidir.

X kesikli rassal değişkeni Poisson dağılımına sahip ise bu değişken için olasılık fonksiyonu,

(𝑒$))(𝜆() 𝑃(𝑥) = A , 𝑥 = 0,1,2, … 𝑖ç𝑖𝑛 𝑥! 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑖ç𝑖𝑛

Poisson dağılımına sahip bir X kesikli rassal değişkeninin aritmetik ortalaması λ = np, varyansı σ2 = λ = np ve standart

sapması da 𝜎 = √𝜆 = ?𝑛𝑝σ= λ= np eşitliğiyle hesaplanır.

Sürekli Olasılık Dağılımı

Sürekli rassal değişkenler olasılık fonksiyonu için olasılık yoğunluk fonksiyonu (f(x)) ifadesine sahiptir. f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak tek bir değer için doğrudan olasılık hesaplanamaz. Sürekli rassal değişkenin tanım bölgesinde yer alan belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun altında kalan alan X sürekli rassal

değişkeninin belirlenen aralıkta bir değer alma olasılığını verir.

f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu belirlendikten sonra x’in x1 bir alt sınırı ile x2 üst sınırı arasında yer alma olasılığı ancak x1 ile x2 noktaları aralığında ilgili fonksiyonunun altında kalan alanının hesaplanması ile bulunabilir. Tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlı olan X sürekli rassal değişkenine ait bir f(x) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyor ise olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır.

• f(x) ≥ 0 , –∞ < x < ∞ için, * • ∫$ * 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 1

Bu koşullardan ikincisi x’in tanım bölgesinde f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan toplam alan 1’e eşit olma koşuludur.

X sürekli rassal değişkeninin herhangi x1 ve x2 (x1 ≤ x2) gerçel sayıları arasında olması olasılığı eğrinin altında kalan taralı bölgenin alanına eşittir. Bu olasılık aşağıdaki integralin hesaplanmasıyla bulunur.

(! 𝑃(𝑥+ ≤ 𝑋 ≤ 𝑥,) = P 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ("

X sürekli rassal değişkeninin aritmetik ortalaması (beklenen * değer E(x)) 𝐸(𝑥) = ∫$ * 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 işlemiyle, varyansı * , 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ∫$ *T 𝑥 − 𝐸(𝑥)U 𝑓(𝑥)𝑑𝑥ile hesaplanır.

Düzgün (Uniform) Dağılım

X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en küçük değer a ve X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en büyük değer b olsun. Eğer (a,b) aralığı ile X rassal değişkeninin olasılığı orantılıysa ve ilgili sınırlar içerisinde kalan değerlerin olasılıkları birbirine eşit ise bu rassal değişken düzgün (uniform) dağılıma sahiptir denir. Düzgün dağılımına sahip X sürekli rassal değişkeni X ∼ U[a,b] ile gösterilir. Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu:

1 𝑓(𝑥) = . , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑖ç𝑖𝑛 𝑏 − 𝑎 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟 𝑖ç𝑖𝑛

Düzgün dağılıma sahip X sürekli rassal değişkenin -./ beklenen değeri (aritmetik ortalaması) 𝐸(𝑥) = 𝜇 = , ! , (/$-) varyansı 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = ve standart sapması +, (/$-)! 𝜎 (𝑥) = X ile hesaplanır. +,

Normal Dağılım

Çıkarımsal istatistikte kullanılan birçok istatistiksel test ana kütle dağılımının normal dağıldığı varsayımına dayanılarak yapılır. Normal dağılımın bazı genel özellikleri:

• Dağılım aritmetik ortalama etrafında simetriktir. • Dağılım çan eğrisi şekline sahiptir.

• Dağılımın tam ortasında dağılım aritmetik ortalaması, medyan ve mod değerleri birbirine eşit olan tepe noktasına ulaşmaktadır. • Dağılımın aritmetik ortalaması, negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir. • Eğri altında kalan tüm alan 1’e eşittir. • Dağılımın sağında ve solunda kalan kuyruklar yatay eksene asla değmezler ve bu kuyruklar her iki yönde sonsuza doğru ilerlerler, bu özelliğinden dolayı asimptotik bir dağılımdır. • Eğri simetrik olduğundan, dağılımın çarpıklık ölçüsü sıfıra eşittir. • Dağılımın iki parametresi vardır. Bunlar, aritmetik ortalama ve σ standart sapmadır. • Normal dağılım sürekli rassal değişkenler için tanımlıdır. Normal dağılıma sahip bir sürekli rassal değişken ilgili parametrelerin değerlerini içerecek şekilde X ∼ (μ,σ) biçiminde yazılır. • Dağılımın sahip olduğu parametrelerden şekil parametresi standart sapma normal dağılım eğrisinin şeklinin belirleyicisidir.

Normal dağılımına sahip X sürekli rassal değişkeni X ∼ N (μ,σ) ile gösterilir. Normal dağılımın olasılık yoğunluk "#$%! + $!3 & 4 fonksiyonu 𝑓(𝑥) = 𝑒 ’dir. 0√,2

Normal dağılım problemlerinde ortalama ve standart sapma yardımıyla kesin olarak bilinen olasılık değerleri aşağıdaki yapıya sahip olacaktır.

• Aritmetik ortalamadan 1σ sağ veya sol tarafta oluşan yarı alan olasılığı %34.13’tür. μ±1σ sınırlarındaki toplam alan olasılığı ise %68.27 olur. • Aritmetik ortalamadan 2σ sağ veya sol tarafta oluşan yarı alan olasılığı %47.72’dir. μ±2σ sınırlarındaki toplam alan olasılığı ise %95.45 olur. • Aritmetik ortalamadan 3σ sağ veya sol tarafta oluşan yarı alan olasılığı %49.87’dir. μ±2σ sınırlarındaki toplam alan olasılığı ise %99.73 olur.

Farklı parametre değerlerine sahip normal dağılımlar sadece bir dağılımla, Standart Normal Dağılımla eşleştirilir.

Standart Normal Dağılım

Standart normal dağılım aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılımdır. Standart normal dağılıma sahip bir sürekli rassal değişken Z ile gösterilir.

Normal dağılıma sahip bir rassal değişkenin belirli bir aralıkta değer alma olasılığının bulunabilmesi için ilgili aralık için normal dağılım eğrisinin altında kalan alanın hesaplanması gerekir. Tablo yardımıyla eğrinin altında kalan alanlar hesaplanarak istenen olasılıklar hesaplanabilir. Bu tabloya z tablosu adı verilir. z tablosunun içerisinde yer alan değerler olasılık değerleridir. Tablodan yararlanılarak üç temel olasılık hesaplamak mümkündür.

• Standart normal dağılımlı Z rassal değişkene ait z değerinin belirli bir değerden küçük ya da eşit olma olasılığı • z değerinin iki değer arasında yer alma olasılığı • z değerinin belirli bir değerden büyük ya da eşit olma olasılığı

Aritmetik ortalaması μ ve standart sapması σ olan normal dağılıma sahip bir X sürekli rassal değişkeninin standart normal dağılıma sahip Z rassal değişkenine ($5 dönüştürülebilmesi için 𝑧 = 0 eşitliğinden yararlanılır.

Eğri altında kalan alanı gösteren olasılık değerlerinin hesaplanabilmesi için standart normal dağılım tablosu ve uygun z değerinden yararlanılır.