CBS105U-COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİ İÇİN TEMEL İSTATİSTİK
Ünite 3: Merkezi Eğilim ve Değişkenlik Ölçüleri
Giriş
Bu ünitede istatistiksel analizlerde sıklıkla kullanılan merkezî eğilim ölçüleri ve değişkenlik ölçüleri ele alınmaktadır. Ayrıca verinin sahip olduğu asimetri hakkında bilgi sunan istatistiksel teknikler açıklanacaktır.
Merkezî Eğilim Ölçüsü
Merkezî eğilim, istatistikte değişken değerlerinin etrafında dağıldığı değeri ve bu değer değişken değerlerinin merkez noktasının koordinat sisteminde yatay eksendeki konumunu yansıtır. Değişkenin tipine ve ölçme düzeyine göre merkezinin bulunması için kullanılan teknikler topluluğu Merkezî Eğilim Ölçüleri olarak adlandırılır.
İstatistiksel analizlerde sıklıkla kullanılan ve bu ünite içinde ele alınacak merkezî eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, medyan (ortanca) ve mod olarak adlandırılır. Merkezî eğilim için “verinin merkezî konumu” olarak da adlandırılır, bir veri kümesinin temsili değeridir. Veri kümesinin incelenen (özellik) değişken bakımından, belirli zaman ve mekân koşullarında ortak doğasını ve genel düzeyini gösteren, bütünün belirli bir özelliğini temsil edebilen temsili değere ortalama adı verilmektedir.
Aritmetik Ortalama
Aritmetik ortalama, bir değişkene ait, ölçüm, tartım veya gözlem yoluyla derlenen, veri kümesindeki tüm değerlerin toplamının verideki birim sayısına bölünmesiyle elde edilir. Ortalamalar değişkenin aldığı en küçük değerden daha küçük, en büyük değerden de daha büyük değer alamazlar. Aritmetik ortalama değişken değerleri içinde bir tane bile aykırı değer bulunması durumunda değişkeni temsiliyet gücünde olumsuz bir etkilenme olabileceği için “duyarlı ortalama” adı verilen bir grupta yer alır. Ancak ünitenin izleyen kesiminde yer alan medyan ve mod aykırı değerlerden daha az etkilendikleri için “duyarlı olmayan ortalamalar” grubunda yer alır. İstatistiksel olarak aritmetik ortalama, diğer ortalama türü olan medyan ve moda göre rassal faktörlerden daha az etkilenir ancak mod ve medyana göre dezavantajı vardır, veri kümesindeki veya serideki, minimum ve maksimum uç değerlerden çok etkilenir.
Basit Serilerde Aritmetik Ortalama
Basit serilerde aritmetik ortalama ana kütle için hesaplanıyorsa, bu ortalama ana kütle parametre değeri adını alır ve μ sembolü ile gösterilir. Ana kütlede değişken için yer alan birim sayısına ana kütle büyüklüğü (hacmi) denir ve “N” ile gösterilir. Bir ana kütlede araştırmacının ilgilendiği değişken için N tane gözlem değeri x1, x2, ..., xN biçiminde gösterilsin. Bu basit seri için aritmetik ortalama ve aynı zamanda ana kütle parametre değeri olan, izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır.
𝑥 + 𝑥 +. . . +𝑥 ∑ # 𝑥 ! " # $%! $ 𝜇 = = 𝑁 𝑁
Araştırmalarda her zaman ana kütlenin ilgili değişken için tüm değerleri bilinmeyebilir. Bu gibi durumlarda, sonuçların ana kütleye genelleştirilebileceği ana kütlenin
bir alt kümesi olan daha küçük bir bölümünü incelemek daha uygundur. Bu durumda ana kütleyi temsil ettiği düşünülen daha az birim ana kütleden rassal olarak belirlenir. Bu rassal olarak alınan ana kütlenin küçük parçasına hatırlanacağı gibi örneklem adı verilir. Örneklem birim sayısı “n” ile gösterilir. Aritmetik ortalama örneklem için hesaplanırken araştırmacının ilgilendiği değişken için gösterilsin. Örneklem aritmetik ortalaması:
𝑥 + 𝑥 +. . . +𝑥 ∑ 𝑛 𝑥 1 2 𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑥! = = 𝑛 𝑛
ile hesaplanır.
Frekans ve Gruplandırılmış Frekans Serilerinde Aritmetik Ortalama
Frekans serilerinin aritmetik ortalaması hesaplanırken her satırda yer alan frekansların dikkate alınması gerekir. Frekans serilerinde Ana Kütle Ortalaması ve Örneklem Ortalaması sırasıyla
" ∑𝑛 𝑓𝑥 ∑ !#$"!#! 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝜇 = ve 𝑥̅ = $ 𝑛
eşitlikleriyle hesaplanır.
Gruplandırılmış frekans serileri için aritmetik ortalama hesabında ise öncelikle gruplandırılmış frekans serisine sınıf orta noktası için yeni bir sütun eklenir. Gruplandırılmış frekans serilerinde hesaplanan aritmetik ortalama değeri yaklaşık bir değer olacaktır.
Tartılı Aritmetik Ortalama
Kimi durumlarda araştırmacı gözlem birimlerinden bazılarının değerlerine diğerlerine göre daha fazla önem verebilir. Bu tür durumlarda gözlem biriminin önem miktarı, verilen önemi temsil edecek güce sahip bir ağırlık veya tartı ile eşleştirilir. Tartılı veya ağırlıklı aritmetik ortalama hesabında frekans serilerine (wi) tartı/ağırlık sütunu eklenir. Tartılı aritmetik ortalama için kullanılan eşitlikler kitabınız sayfa 61’de Tablo 3.4’te özet olarak verilmiştir.
Geometrik Ortalama
Geometrik ortalama araştırılan değişkenin oran, indeks, yüzde ya da artış oranı olarak ölçümlendiği problemlerde değişken için ortalama hesaplanmasında kullanılır. Geometrik ortalama, sıfırdan büyük pozitif sayılar için geçerlidir. Verilerin farklı koşullarına göre, geometrik ortalama ağırlıklı ve ağırlıksız olarak ayrılabilir. Geometrik ortalama aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
! + 𝐺. 𝑂. = ! (𝑥 )(𝑥 ). . . (𝑥 )= ./ 𝑥 + ! " + $ $%!
Logaritma yardımıyla geometrik ortalama formülü:
- 1 log(𝐺. 𝑂) = 5 log(x,) n ,%!
! - Geometrik ortalama:𝐺. 𝑂. = Antilog ; ∑ ,%! log(x,)< - ∑ # /-(1") Basit seriler için; 𝐺. 𝑂. = e "$% - ∑ # -"/-(1") Frekans serileri için; 𝐺. 𝑂. = 𝑒 "$% ∑ # -" "$%
Değerlerinizden herhangi biri sıfır veya negatif olduğunda, geometrik ortalama tanımsız olacaktır. O hâlde geometrik ortalama hesaplanması için, negatif değeri pozitif yapacak bir yöntem uygulanması gereklidir. Bu nedenle, serideki negatif oran değerleri ortadan kaldırmak için önce +1’i ekleyip ve ardından hesaplanan G.O sonucundan bir çıkararak G.O hesaplama tekniğini kullanacağız.
Medyan
Değişken değerlerinin küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralandığı serilerde, serinin tam ortasında yer alan gözlem biriminin değeri medyan olarak adlandırılır. “Ortanca” terimi de literatürde sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle değişkenin aykırı değerler içerdiği durumlarda, medyan aritmetik ortalamaya göre daha temsili bir değer olacaktır.
Tanımı gereği bir serinin medyan değerinin bulunabilmesi için mutlaka sıralanmış olması gerekir. Basit serilerin medyan değeri hesaplanırken izleyen adımlar izlenir:
• Seri değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır. • Medyan değerini verecek olan gözlem biriminin sıra numarası, n medyan hesabı yapılan serinin birim sayısı olmak üzere (n + 1)/2 ile bulunur. Bulunan bu değer medyan değerini değil medyan tespitinde kullanılacak olan birimin sıralı listedeki konumunu verecektir. • Eğer n birim sayısı tek sayı ise (n + 1)/2 eşitliğinin sonucu tam sayı olacaktır. Bu tam sayıya eşit sıra numarasına sahip birimin değeri medyan olarak alınır. • Eğer n birim sayısı çift sayı ise (n+1)/2 eşitliğinin sonucu tam sayı yerine ondalıklı sayı olacaktır. Bu durumda elde edilen ondalıklı sayıyı içeren bir alt ve bir üst tam sayılar tespit edilir. Seride yer alan alt ve üst tam sayılara eşit sıra numarasına sahip birimlerin aritmetik ortalaması medyan olarak alınır.
Araştırmacının dikkat etmesi gereken nokta (n + 1)/2 eşitliği medyanın kendisini değil sahip olduğu değer medyan olarak kullanılacak gözlem biriminin sıralı serideki sıra numarasını verdiğidir.
Frekans serilerinde medyan hesabı benzer biçimde yapılır. Sadece ek olarak Medyan için sıra numarası belirlendikten sonra kümülatif frekanslar sütünü oluşturularak ilgili sıra numarasına sahip birim veya birimlerin değeri tespit edilir.
Gruplandırılmış frekans serilerinde medyan hesabı biraz daha fazla işlem gerektirmektedir. Gruplandırılmış frekans serilerinde medyan’ın hangi sınıfta olduğu bilinir. Ortaya çıkan problem bu sınıf içerisinde medyanın konumunun belirlenmesidir. Gruplandırılmış frekans serilerinde medyan değeri için izleyen eşitlik kullanılır.
c n Medyan = L + ( − f4) f3 2
(L; medyanı içerdiği düşünülen medyan sınıfının alt limitini, c; medyan sınıfının sınıf aralığını, fm; medyan sınıfının frekansını, n; birim sayısını, fk; medyan sınıfından önce yer alan bütün sınıfların kümülatif frekansı)
Mod
Mod, bir seride en çok gözlenen değerdir. Bir seride en çok gözlenen veya değeri en çok tekrarlanan terimin değeri mod olarak ele alınır. Seriler tek modlu olabilecekleri gibi bir seride ikiden en çok tekrarlanan terim söz konusu ise çift modlu olabilirler. Basit serilerde mod hesabında serinin frekans serisine döndürülmesi en çok tekrarlanan gözlem birimi değerinin bulunmasında büyük fayda sağlar. Frekans serilerinde en yüksek frekansa sahip değer kolaylıkla değişkenin mod değeri olarak tanımlanabilir.
Gruplandırılmış frekans serilerinde mod doğrudan bir tek gözlem biriminin değerine karşılık gelmez, bir sınıfa karşılık gelir. Çözüme buradan gitmek gereklidir. En yüksek frekansa sahip sınıf mod sınıfı olarak adlandırılır. Daha sonra mod sınıfı yardımıyla gruplandırılmış frekans serisinin mod değeri hesaplanır. Gruplandırılmış frekans serisinde mod hesabı için şu eşitlik kullanılır.
f37! 𝑀𝑜𝑑 = S5/6 + c f37! + f38!
(Salt; Mod sınıfının alt limiti, fm–1; Mod sınıfının frekansı ile bu sınıftan önceki sınıfın frekansı arasındaki mutlak farkı, fm+1; Mod sınıfının frekansı ile bu sınıftan sonraki sınıfın frekansı arasındaki mutlak farkı, c ; sınıf aralığı)
Kantiller ve Kartiller
Küçükten büyüğe sıralanmış bir seriyi eşit oransal parçalara bölmek için kantillerden faydalanılır. Kantiller bölen sayısına göre seri 100 eşit parçaya bölünür ise persantil (yüzdeler), 10 eşit parçaya bölünür ise desil, 4 eşit parçaya bölünür ise kartiller (çeyrekler) olarak adlandırılır. Genel olarak kantiller daha önce ele alınan mod ve aritmetik ortalama gibi bir konum ölçüdür. Ancak burada istenen değer hesaplanırken gözlem biriminin büyüklüğünden yola çıkılmaz, bunun yerine gözlem birimine ait ölçüm değerinin serideki sırasına bakılır. Gözlem biriminin aldığı değer bu aşamadan sonra önemli hâle gelir.
Bir seride 3 adet kartil vardır. Bunlar Q1, Q2, Q3 sembolleri ile gösterilirler. Bu 3 değer kullanılarak seri 4 eşit parçaya bölünür. Bu dört parça sınırları izleyen biçimde sıralanabilir:
• En küçük değer ile Q1 aralığı • Q1 ile Q2 aralığı • Q2 ile Q3 aralığı • Q3 ile en büyük değer aralığı
Bu aralıkların her birinde eşit oranda birim yer alacaktır. Tüm veri için %100 değeri düşünülürse tanımlanan bu aralıkların her birinde serideki birim sayısının %25’i yer
alacaktır. Q2 olarak tanımlanan kartil değeri daha önce incelediğimiz medyan değeridir. Çünkü ikinci kartil serinin tam ortasındaki birimin değeridir. İlgili kartilleri bulabilmek için hangi birimin değerine bakmamız gerektiğini hesaplamalıyız. Küçükten büyüğe sıralanmış seride kartillerin bulunduğu sıra numaralarını yazalım:
Q1; Birinci kartilin sıra numarası (n+1)/4,
Q2; İkinci kartilin sıra numarası (n+1)/2,
Q3; Üçüncü kartilin sıra numarası (n+1)×(3/4) olacaktır.
Kutu Grafiği
İstatistiksel analizlerde sıklıkla karşılaşılan özetleyici niteliğe sahip bir istatistiksel gösterim şekline serinin 5-değer özeti adı verilmektedir. İlgili 5 değer serinin en küçük değeri, birinci kartil değeri, medyan değeri, üçüncü kartil değeri ve en büyük değerdir. Bu 5’linin bir araya gelmesi ile elde edilen istatistikler yardımıyla serinin farklı bölgelerindeki değişkenliği görebilmek için Kutu Grafiklerinden faydalanılır. Kutu grafiklerinde üçüncü kartil ile birinci kartil arasına bir dikdörtgen kutu çizilir. Kutunun içine medyan değerini temsil eden bir çizgi de çizilir. Kutunun iki yan kısa kenarından en büyük ve en küçük değere kadar birer çizgi çizilir. Kimi kaynaklarda bu gösterim biçimine kutu-bıyık grafiği adı da verilmektedir. Kutu grafikleri sıralı verinin değişik bölgelerinde ortaya çıkan değişkenliğin görülmesinde fayda sağlar. Tipik bir kutu grafiğinin bileşenleri kitabınız sayfa 71’de yer alan Şekil 3.5’te verilmiştir. Üçüncü kartil ile birinci kartil arasındaki fark kartillerarası fark olarak adlandırılır.
Değişkenlik Ölçüleri
Yaygın olarak kullanılan değişkenlik ölçüleri aralık, varyans ve standart sapmadır. Değişkenlik ölçüleri, bir değişkenin merkezî eğilim ölçüleri etrafındaki sapmalarını ifade eden ölçülerdir. Ana kütleler ile ilgili parametre değerleri verirken ortalama dışında değişkenlik ölçüsü değerleri de verilmelidir. Bir değişkenlik ölçüsü, bir veri kümesindeki genel değişkenliği temsil eden özet istatistiktir. Merkezî eğilim ölçüsü tipik değeri yani verinin merkezini tanımlarken, değişkenlik ölçüleri veri noktalarının merkezden ne kadar uzağa düşme eğiliminde olduğunu tanımlar. Düşük değişkenlik ölçüsü değeri, veri noktalarının merkezî nokta çevresinde sıkıca kümelenme eğiliminde olduğunu gösterir. Yüksek değişkenlik ölçüsü değeri ise merkezî noktadan daha uzağa düşme eğiliminde olduklarını gösterir.
Değişim Aralığı
Değişkenlik ölçüsü olarak kullanılacak en basit teknik değişim aralığı ölçüsüdür. Değişim aralığı serideki en büyük ve en küçük gözlem değeri arasındaki farkı temsil eder.
Değişim aralığı = En büyük değer – En küçük değer
Varyans ve Standart Sapma
İstatistiksel analizlerde en temel teknikler, ortalama, varyans ve standart sapmadır. Varyans ve standart sapma
en sık kullanılan değişkenlik ölçüleridir. Standart sapma, bir serideki her bir gözlem değeri ile ortalama arasındaki standart veya tipik farktır. Bir veri setindeki değişkenin değerleri birbirine daha yakın kümelendiğinde, daha küçük bir standart sapma hesaplanır. Değişken değerleri daha fazla yayıldığında, serideki her bir gözlem değeri ile ortalama arasındaki standart mesafe daha büyük olduğu için standart sapma daha büyük bir değer olarak hesaplanır. Standart sapma değeri hesaplamaya konu olan değişkenin ölçeği ile aynı ölçek birimine sahiptir. Varyans için bu durum söylenemez. Bir veri kümesi veya ana kütleden seçilen rassal bir örneklemin tüm değerleri aynıysa, değişkenlik yok demektir ve standart sapma sıfırdır. Standart sapma, negatif olmayan bir değerdir. Gözlem birimlerinin veya değişkenin ölçüm verileriyle aynı ölçme düzeyine sahiptir.
Ana kütle standart sapması gösteriminde σ sembolü kullanılır iken, örneklem standart sapmasını belirtmek için ise s kullanılır. Ana kütle ve örneklem varyansları ise sırasıyla standart sapma gösterimlerinin karesel formları olan σ2 ve s2 ile ifade edilir. Basit serilerde ana kütle
standart sapması ve örneklem standart sapması sırasıyla
∑(1"79)& ∑(1"71;)& 𝜎 = M ve s = M : -7!
eşitlikleri yardımıyla hesaplanır.
Frekans serilerinde standart sapma veya varyans hesaplanması gerektiğinde her terimin tekrar sayısını gösteren frekanslarında göz önüne alınması gerekir. Frekans serilerinde ana kütle standart sapması ve örneklem standart sapması sırasıyla
∑(1"79)&<" ∑(='7=̅ )&?' 𝜎 = M ve 𝑠 = M : +7! eşitlikleri yardımıyla hesaplanır.
Gruplandırılmış frekans serilerinde ise aritmetik ortalama hesabında olduğu gibi her sınıfın orta noktası belirlenir ve bu orta noktalar x değerleri olarak ele alınarak frekans serisi formülleri yardımıyla hesaplamalar yürütülür.
Değişkenlik Katsayısı
Doğrudan değişkenlikleri karşılaştırılamayan ama ortalamaya göre genel değişkenlikleri karşılaştırılmak istenen farklı ölçek tiplerindeki değişkenlerin bulunduğu durumlarda oransal bir değer kullanılabilir. Karl Pearson bu amaçla değişkenlik katsayısı adı altında bir oran önermiştir. Veri farklı ölçeklere sahip olduğunda veya veri aynı ölçek ile ölçümlenmiş olsa bile değişken ortalamaları arasında çok büyük farklar var ise değişkenlik katsayısı faydalı bir karşılaştırma aracıdır. Standart sapması ve aritmetik ortalaması bilinen bir problemde değişkenlik katsayısı
s Değişkenlik katsayısı = ∙ 100 xU
ile hesaplanır. Değişkenlik katsayısı için hesaplanan değer (0,1) aralığında oransal olarak ifade edilir. Oransal değer (100) ile çarpılarak yüzde olarak da yararlanılır.
Değişkenlik katsayısı verilerin ortalamadan etkisinden bağımsız değişkenliğini ifade eder. Değişkenlik katsayısı değeri ne kadar düşükse, serideki verilerin veya örneklem için homojenlik o kadar fazladır. Değişkenlik katsayısı hesaplarken yararlanılan formüldeki aritmetik ortalama değeri sıfıra yakın veya çok yüksekse, değişkenlik katsayısı güvenilmez hâle gelir. Bu katsayıya göre kıyaslama yapmak anlamsızlaşır. Değişkenlik katsayısı sıfırdan büyüktür. Hesaplanan değişkenlik katsayısı genellikle sıfır değerine göre yorumlanır.
Simetri ve Asimetri
Simetrik bir yapıya sahip serilerde serilerin merkezine göre (örneğin aritmetik ortalama) sağ ve sol kısımlarındaki değer dağılımı tıpkı bir mükemmel kürenin diğer yarısı veya bir nesnenin ayna görüntüsü gibi olacaktır. Ancak her verinin genel görünümü simetrik değildir. Simetri hakkında bir fikir edinmenin en kolay yolu grafiksel gösterimlerdir. Bir dağılımın ne derece sağa veya sola eğik olabileceğine eğiklik (çarpıklık) ya da asimetri ölçüsü denir.
Simetri ve asimetri durumunu bir değişken için araştırırken merkezî eğilim ölçülerinden yararlanabiliriz. Değişkene ilişkin veri kümesi tam simetrik yapı da ise medyan ve aritmetik ortalama aynı değere sahip olacaktır. Bu bilgiler ışığı altında izleyen ilişkileri yazabiliriz.
Simetrik serilerde, Aritmetik Ortalama = Medyan = Mod; sola çarpık frekans serilerinde, Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod; sağa çarpık frekans serilerinde ise Aritmetik Ortalama > Medyan > Mod ilişkisi vardır.
Bir seride geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan daha düşük bir değere sahiptir.
Pearson’ın Eğiklik Katsayısı
Bir veri setindeki, ilgili değişkenin frekans dağılımının simetri derecesini tespit etmek amacı ile eğiklik katsayısı hesaplanır. Eğiklik katsayısı istatistiksel verilerin dağılımındaki eğikliğin yönü ve derecesinin bir ölçüsü ve verilerin dağılımındaki asimetri derecesinin nicel bir özelliğidir. Aritmetik ortalaması, medyanı ve standart sapması bilinen bir veri setinde Pearson’ın eğiklik katsayısı izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır.
3(𝑥̅ − 𝑚𝑒𝑑𝑦𝑎𝑛) 𝑃𝑒𝑎𝑟𝑠𝑜𝑛 𝑒ğ𝑖𝑘𝑙𝑖𝑘 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 = 𝑆𝑘@ = 𝑠
Eğiklik katsayısı dağılımın simetriden sapma derecesini tanımlayan karakteristik bir sayıdır. Eğiklik katsayısı -3 ile +3 arasında değerler alır. Eğiklik katsayısının yorumlanmasında, 0 (sıfır) değeri referans değer olarak alınır. Hesaplanan eğiklik katsayısı işareti uzun kuyruğunun yönünü ifade eder. Eğiklik için – değer sola eğik/çarpık, + değer ise sağa eğik/çarpık seriyi temsil eder. Eğiklik katsayısının yorumlanması için bazı öneriler kitabınız sayfa 80’de yer alan Şekil 3.8’de verilmiştir.
Eğer, eğiklik katsayısı Skp = 0 (sıfır) ise dağılım simetriktir.
Büyük Sayılar Kanunu ve Merkezi Limit Teoremi
Büyük Sayılar Kanunu (BSK) ve Merkezî Limit Teoremi (MLT), olasılık teorisinin önemli mihenk taşlarından biridir. Bu iki yasayı anlamak, rastgele olayların istatistiksel yasalarını ve normal dağılımın neden bu kadar yaygın kullanıldığını anlamak için çok önemlidir. Büyük Sayılar Kanunu’na göre, n tane örneğin ortalamasının varyansı olan (s2), ana kütle varyansı (σ2) 1/n’ni kadardır.
n arttıkça örneklem varyans değeri küçülür ve sıfıra yaklaşır. Örneklem varyansı (s2) = 0’a yakınsadığında,
rastgele değişkenin göreli değişkenliğinin 0 olduğu, yani rassallık içermediği ifade edilir. Başka bir deyişle, n arttıkça, örneğin ortalama değeri gittikçe μ’ye yakınsar. İşte bu Büyük Sayılar Kanunu olarak adlandırılır.
Merkezî Limit Teoremi (MLT), örneklem büyüklüğü arttıkça örneklem ortalamasının dağılımının normal bir dağılıma yaklaştığını belirtir. Merkezî limit teoremi geçerli olması için örneklem hacmi n’nin 30’a eşit veya daha büyük olduğunda (n ≥ 30) koşul sağlanmış olur. Merkezî limit teoremine göre, örneklem verilerin gerçek dağılımı normal dağılımdan farklı olsa da örneklem büyüklüğü arttıkça bir örneklem ortalama değeri, örneklemin çekildiği ana kütle ortalama değerine daha yakın olacaktır. Bu nedenle, örneklem istatistikleri ile ana kütle parametre değerleri doğru bir şekilde tahmin edilebilir. Sürekli değişkenler için merkezî limit teoremine göre değişkenin dağılımı çan eğrisi biçiminde simetrik bir yapıya sahip ise iki değer arasında yer alan birim sayısı oranını tespit etmek için aritmetik ortalama ve standart sapma yardımıyla basit bir yapı oluşturulabilir. Çan eğrisi biçiminde bir saçılıma sahip simetrik serilerde gözlem birimlerinin ortalama etrafındaki oransal dağılımı için aşağıda verilen oranlar olasılık yardımıyla kullanılır.
P (μ – 1σ < μ < μ + 1σ ) = %68.27
P (μ – 2σ < μ < μ + 2σ ) = %95.45
P (μ – 3σ < μ < μ + 3σ ) = %99.73
İlgili olasılıklar kitabınız sayfa 81’de yer alan Şekil 3.9’da grafiksel olarak gösterilmektedir.
Chebyshev Teoremi
Serinin şekline bakmaksızın (simetrik veya asimetrik olabilir) terimlerin ne kadarının aritmetik ortalama etrafında yoğunlaştığı araştırılmak istenebilir. Bu tür durumlarda serinin simetrisini hiç araştırmadan doğrudan P.L. Chebyshev (1821-1894) tarafından geliştirilen eşitlik kullanılabilir. Herhangi bir seride, ilgilenilen değişkenin frekans dağılımının simetrik çan eğrisi biçimli olup olmamasına bakmadan (simetrik, sağa eğik veya sola eğik gibi) aritmetik ortalama değerinden belirli bir standart sapma uzaklıkta yer alan birimlerin en küçük oranı P.L. Chebyshev tarafından bir teorem yardımıyla gösterilmiştir.
Chebyshev teoremine göre herhangi bir seri için (örneklem ve ya ana kütle) aritmetik ortalamadan k standart sapma uzaklıkta, k > 1 olmak üzere, yer alacak terimlerin en düşük oranı 1-(1/k2) olur.