ADY214U-VERİ ANALİZİ VE DEĞERLENDİRME
Ünite 1: Temel İstatistiksel Kavramlar ve Tanımlayıcı İstatistik
Giriş
İstatistik; verinin toplanması, özetlenmesi ve analiz edilerek sonuca varılması olarak üç bölümde ele alınır.
Temel İstatistiksel Kavramlar
Bilgi veridedir. Veri, sayısal olabileceği gibi kategorik de olabilir. Her iki veri tipi de bir elemanın özelliğini ifade eder. İstatistik, sonuca varmak veya karar vermek için veriyi kullanır bu nedenle verinin doğruluğu ve/veya temsil ediciliği, doğru sonuca ulaşmak için belirleyicidir.
Uygun koşullarda elde edilmemiş veya doğru analiz edilmemiş veri ile yapılan analizlerin sonuçları da doğru olmayacaktır.
Verilerin bir diğer önemli özelliği değişkenliğidir. Verilerdeki değişkenlikten dolayı, veriyi kullanarak elde ettiğimiz sonuçlar da değişkendir.
İstatistiksel Metotların Aşamaları
1. Araştırmanın amacının belirlenmesi: Araştırılacak grup, anakütle olarak tanımlanırken; eleman, o anakütlenin bir üyesi olan bir kişi veya bir nesnedir. 2. Araştırma amacındaki soruya cevap verecek bilginin toplanması: Genellikle ana kütledeki her bir elemanın teker teker sayılması ve değerlendirilmesi zor ve pahalıdır. Bu nedenle ana kütleden belirli sayıdaki elemanlar seçilerek, sadece onların değerlendirilmesi yapılarak ana kütle hakkında bilgi edinilir. 3. Verinin düzenlenmesi ve özetlenmesi: Verinin düzenlenmesi ve özetlenmesi aşaması, verinin görselleştirilmesini de içermekte olup, istatistikte tanımlayıcı istatistik olarak adlandırılmaktadır. 4. Bilgiden sonuçların elde edilmesi: Bilgiden sonuçların elde edilmesi aşaması; verilerin, tüm popülasyonu belirli bir belirsizlik ile genellemesini ifade etmektedir. Bu aşama istatistikte çıkarımsal istatistik olarak ifade edilmektedir.
Değişkenler
Bir araştırma hedefi belirtildiğinde, araştırmacının ihtiyacı olan bilgilerin bir listesi oluşturulmalıdır. Bu bilgiler ana kütle içindeki bireylerin özelliklerinin değişkenliğindedir. Değişkenler sayısal veya kategorik olarak iki gruba ayrılmaktadır.
Kategorik değişkenler, bireylerin karakteristik özelliklerine göre sınıflandırılmasını sağlarken; sayısal değişkenler, bireylerin özelliklerinin sayısal ölçümlerini ifade eder. Sayısal değişkenleri de kendi içinde Kesikli veya Sürekli Değişkenler şeklinde ayırabiliriz. Değişken bir sıralama ya da sayımın sonucu elde ediliyorsa kesikli, bir ölçümün sonucu elde ediliyorsa sürekli değişken olarak ifade edilir.
Veri
Bir değişkenin gözlenen veya örneklenen değerleri, veri olarak tanımlanır.
Gözlemler
Gözlemlerin ya da örneklemenin yapıldığı elemanlar gözlemler olarak tanımlanır. Veri seti ise gözlemler, değişkenler ve verinin birlikte bulunması olarak tanımlanabilir.
Örnekleme
Örneklemenin asıl amacı, ana kütle hakkında yeterli kesinlikte sonuç elde edebilmek için gerekli bireyleri seçme işlemdir. Bilgi ile maliyet arasında bir denge bulunmaktadır. Uygun bir örnekleme tasarımı, elde edilecek bilgiyi en yüksek düzeyde tutarken, maliyeti de düşük tutmalıdır.
Temel örnekleme yöntemleri, basit rastgele örnekleme, tabakalı örnekleme, sistematik örnekleme ve küme örneklemesi olarak tanımlanabilir. Sonuçların tarafsız olması gerektiğinden, örnekleme yapan kişinin örneklenen bireyleri seçme veya seçmeme kararı vermek gibi bir şansı yoktur.
Basit Rassal Örnekleme
N elemana sahip bir ana kütleden n sayıda örnekleme yapmak için basit rastgele örnekleme yapıldığında Ana kütlenin her bir elemanının eşit seçilme şansı olur.
Tabakalı Örnekleme
Tabakalı örnekleme; ana kütleyi, birbiri ile örtüşmeyen tabakalara ayırıp, her bir tabakadan basit rastgele örnekleme yapılması olarak tanımlanabilir.
Sistematik Örnekleme
Sistematik örnekleme 1’den N’e kadar sıralanmış ana kütlede, her k’inci elemanın seçilmesi şeklinde yapılır.
Sistematik örnekleme adımları:
1. Ana kütle sayısını (N) belirle, 2. Örnekleme sayısını (n) belirle, 3. N/n işlemini yap ve en yakın tam sayıya yuvarla. Bu sayı k’ dir. 4. 1 ile k arasından rastgele bir sayı seç. Buna p diyelim, 5. Örnekleme kümesi, aşağıdaki sıralardaki değerlerden oluşur. p, p+k, p+ 2k, p + 3k,……. p+(n-1)k
Küme Örneklemesi
Küme örneklemesi, ana kütleden rastgele belirlenen kümelerin içerisindeki tüm bireylerinin seçilme işlemidir. Tabakalı örnekleme ile küme örneklemesini ayırt etmek gerekir. Tabakalı örneklemede, ana kütleyi iki veya daha çok homojen gruba böldükten sonra her bir gruptan rastgele örnekleme yapılırken; kümeleme örneklemesinde, ana kütleyi gruplara böldükten sonra, gruplar arasından basit rastgele seçim yapılarak, seçilen grubun tüm bireyleri örneklenmektedir.
Örneklemede Hata Kaynakları
Örneklemedeki hata, örneklenememe hatası ve örnekleme hatası olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Örneklenememe hatası, bazı bireylere seçilme önceliği
verilirken bazılarına verilmemesi sonucunda ortaya çıkmaktadır. Bu durumda eğer örneklenemeyen bireyler, ana kütlenin içerisinde genelden farklılık gösteriyorsa, elde edilen sonuçlar ana kütleyi temsil etmeyecektir. Örnekleme hatası ise seçilen örneklerin ana kütle ile ilgili yetersiz bilgi vermesi sonucu oluşur.
Verilerin Düzenlenmesi ve Görselleştirilmesi
Toplanan verinin organize edilmesi, özetlenmesi ve görselleştirilmesi için yapılan tüm işlemler tanımlayıcı istatistik başlığı altında incelenir.
Kategorik Verinin Düzenlenmesi ve Görselleştirilmesi
Frekans dağılımı, tablolarda, grupların karşılaşma sıklığını (frekansını) ifade eden bir sütun oluşturularak, belirlenebilir. Genellikle, kategorilerin frekansını bilmektense birbirlerine göre frekans değerlerini ifade eden bağıl frekans değerini bilmek daha kullanışlıdır. Bağıl frekans, kategorinin frekansının, diğer kategorilerin toplan frekansına oranı veya yüzdesi şeklinde hesaplanır.
Bağıl frekans= Frekans/Tüm frekansların toplamı
Kategorik verinin gösterilmesi için kullanılan diğer bir yöntem ise pasta dilimi grafikleridir. Bir daire, her bir dilim bir kategoriyi temsil edecek şekilde dilimlere bölünür. Her bir pasta diliminin açısının, 360º’e oranı, kategorinin frekansı ile orantılıdır.
Sayısal Verinin Düzenlenmesi ve Görselleştirilmesi
Sayısal verinin düzenlenmesi ve özetlenmesi için kullanılacak yöntem, veriyi oluşturan değişkenin kesikli veya sürekli olmasına göre değişiklik gösterir.
Eğer veri kesikli değişkenlerden ve az sayıda sınıftan oluşuyorsa veri sınıfları gözlemleri oluşturur. Eğer veri değişkeni kesikli ve çok sayıda farklı değişkenden oluşuyorsa veya veri değişkenleri sürekli ise; veri sınıfları sayısal aralıklara göre sınıflandırılır.
Kesikli Verinin Tablolar ile Düzenlenmesi
Kesikli verinin değerleri, sınıflar olarak ifade edilebilir.
Kesikli Verinin Histogramının Oluşturulması
Kategorik veriler de sayısal veriler gibi histogram ile gösterilebilir. Histogram, gruplandırılmış bir veri dağılımının sütun grafiğiyle gösterimidir. Diğer bir ifadeyle tekrarlı sayılardan oluşan verilerin, uygulanan işlemlerden sonra tabloya, tablodan yararlanarak grafiğe aktarılması, yani veri gruplarının grafiğinin dikdörtgen sütunlar hâlinde gösterilmesidir.
Sürekli Verinin Tablolar ile Düzenlenmesi
Toplanan veya ölçülen sürekli veri, ilksel olarak sınıflandırılmamış hâlde bulunmaktadır. İlk olarak sınıfların oluşturulması gerekir. Sürekli verinin sınıfları, sayı aralıkları olarak tanımlanır ve veri bu sayı aralıklarına göre gruplandırılır.
Sayı aralıkları birbirlerini üzerine binemez ve sınıf aralıkları belirlenirken değerlerin hangi sınıfa gireceği konusunda herhangi bir şüphe bulunmamalıdır.
Sürekli verinin frekans ve bağıl frekans dağılımını belirlemek için eşit aralıklı sınıflara ayırmak gerekir.
Sürekli Verinin Histogramının Oluşturulması
Sürekli verinin histogramının oluşturulması için öncelikle histogram tablosunun oluşturulması gerekmektedir. Histogram tablosunun oluşturulması işlemi için, sınıf aralıkları yatay x eksenine ve her bir sınıfın frekans veya bağıl değerlerine karşılık gelecek birer dikdörtgen çizilir (Bakınız, ders kitabınızın 13. Sayfasındaki Şekil 1.7).
Histogramın Şekli
Histogram, düzgün dağılmış, çan eğrisi şeklinde, simetrik, sola çarpık ya da sağa çarpık olabilir. Histogramın şekli, değişkenin dağılımını tanımlamak için kullanılmaktadır. Düzgün dağılmış histogramda sınıfların dağılımlarının birbirine eşit, çan eğrisi şekilli histogramda yüksek frekans değerlerinin histogramın orta bölümlerinde olduğu, kenarlara doğru değerlerin düştüğü histogramlardır. Histogramın şekli aynı zamanda tam ortadan ikiye bölündüğünde kalan parçaların simetrik ya da asimetrik olmasına göre de sınıflandırılır. Diğer taraftan eğer değişkenin dağılımı simetrik değil ve sağ ya da sola doğru yoğunlaşıyorsa, sağa çarpık veya sola çarpık şeklinde tanımlanır (Bakınız, ders kitabınızın 14. Sayfasındaki Şekil 1.8).
Zaman Serisi Verilerinin Görselleştirilmesi
Eğer değişkenin değerleri, farklı zamanlarda ölçülmüş ise bu veriye zaman serisi verisi adı verilir. Bir zaman serisi grafiğinde, zaman yatay eksende, değerler ise düşey eksende bulunur. Daha sonra işaretlenen noktalar çizgiler ile birleştirilir. Zaman serisi grafikleri, değişkenin zaman içerisinde gösterdiği eğilimi belirlemek için kullanılmaktadır (Bakınız, ders kitabınızın 14. Sayfasındaki Şekil 1.9).
Sayısal Verinin Özetlenmesi
Tüm verinin dağılımına, yani bir değişkenin hangi değerler aldığına baktığımızda, özellikle dağılımın şeklini (çan eğrisi şekilli, sağa çarpık), dağılımın merkezini (ortalama, ortanca, mod) ve dağılımın yayılımını (hangi değerler arasında değiştiği, varyans, standart sapma) dikkate almamız gerekir.
Histogramlar, verilerin dağılımının şeklinin belirlenmesini sağlamaktadır. Histogramın şekli, düzgün dağılmış, simetrik veya sağa çarpık ya da sola çarpık olabilmektedir. Dağılımın merkezi ve yayılımı, verinin sayısal olarak özetlerini ifade eder.
Dağılımın merkezi, ortalamalar olarak bilinir ve birçok yöntem ile belirlenebilmektedir. Verinin yayılımı için de birçok yöntem tanımlanmıştır. Veri setinin merkezini ve yayılımını belirlemeden önce dağılımın şeklinin belirlenmesi gerekir. Sınır dışı değerler ise bu veri setinde
genel dağılıma uyum göstermeyen anormal değerler olarak setindeki en büyük ve en küçük değerler olmak üzere tanımlanır. sadece iki değeri kullanarak elde edildiği için veri setinin ara değerlerindeki değişimini tanımlayamaz. Bu problem, Merkezî Eğilim Ölçüleri özellikle, veri setinde aşırı büyük veya aşırı küçük değerler En yaygın kullanılan merkezî eğilim ölçüleri, ortalama, olduğu zaman ortaya çıkmaktadır. ortanca (medyan) ve mod dur. Varyans Aritmetik Ortalama Varyans, ortalamadan sapmanın büyüklüğünün bir Bir değişkenin aritmetik ortalaması, tüm değerlerin ölçüsüdür. Ortalamadan sapmaların, ortalamasını almak toplanarak gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. Bir için ortalamadan sapmaları karelerinin toplamının örnek değişkenin ortalamasını belirleyebilmek için verinin sayısal sayısına bölünmesi ile varyans elde edilir. Ortalama gibi, olması gerekir. Ana kütle aritmetik ortalaması, μ (mü) ile ana kütle varyansı ve örnek kümesi varyansı farklılık gösterilir ve ana kütlenin tüm değerleri kullanılarak elde göstermektedir. edildiği bir parametredir. Örnek kümesinin aritmetik ortalaması 𝑥̅ ile gösterilir ve yapılan işlem istatistiktir. Standart Sapma
Standart sapma veri setindeki yayılımı ifade etmek için en Ortanca yaygın kullanılan parametredir. Bunun nedeni Standart Ortanca, veriler küçükten büyüğe doğru sıraladığında en sapmanın biriminin, ortalama ile aynı olmasıdır. Bu durum ortadaki değerdir. Diğer bir değişle, ana kütlenin yarısı ortalama ile yayılımı ilişkilendirmek için oldukça Ortancadan küçük, diğer yarısı ise büyüktür. Bir değerin kullanışlıdır. Ortanca değerini hesaplamak için değişkenin sayısal olması gerekir. Ana kütlenin standart sapması σ (sigma) ile gösterilirken, örnek kümesi standart sapması s ile gösterilir. Ortanca değerini hesaplamak için, öncelikle verileri küçükten büyüğe sıralamak gerekir. Daha sonra gözlem Ampirik Yöntem Kullanarak Verinin Çan Eğri Şeklinde sayısı (n) elde edilir. Eğer gözlem değeri tek sayı ise veriler Olduğunu Tanımlama
sıralandığında en ortadaki veri, (n+1)/2 formülüyle Eğer veri çan eğrisi şeklinde dağılıma sahipse verinin ana hesapladığımız sıradaki değerdir. Eğer gözlem değeri çift kütle içerisindeki yüzdesi, veri setinin standart sapması ile sayı ise ortanca değeri ortadaki iki değerin ortalaması ilişkilidir. Buna göre, verinin %68’i ortalamadan 1 standart alınarak hesaplanır. sapma uzaklıkta, %95’i, ortalamadan 2 standart sapma uzakta ve %99’u 3 standart sapma uzakta bulunur. Bu Mod yöntem ampirik yöntem olarak bilinir ve hem ana kütle hem Mod, veri setinde en fazla karşılaşılan değer olarak de örnek kümesi için kullanılır. tanımlanmaktadır. Mod değeri hem sayısal hem de kategorik değişkenler için hesaplanabilmektedir. Bir veri setinin birden fazla modu olabileceği gibi, bir hiçbir moda sahip olmaya da bilir.
Genellikle bir veri setinde ortalama ve ortanca değerleri birbirinden farklılık gösterirler. Eğer dağılım simetrik ise Ortalama, Ortanca ve Mod değerlerinin birbirlerine yakın olması beklenir. Eğer ortalama, ortanca değerinden büyükse, dağılım sağa çarpık, eğer ortalama ortanca değerinden küçükse dağılım sola çarpıktır.
Yayılımın Ölçüleri
Merkezî eğilim ölçüleri bize verilerin hangi değerlerin etrafında toplandığını göstermektedir. Ancak bir dağılımı ifade etmek için merkezî eğilim ölçülerinin yanında, verilerin ne kadar saçıldığını da belirtmemiz gerekir.
Veri setini özetlemek için merkezî eğilim ölçümlerinin yanı sıra değişim genişlikleri diğer bir deyişle yayılımlarını da tanımlamak gerekir.
Verilerdeki saçılma, en temelde veri genişliği, varyans, ve standart sapma ile sayısal olarak ifade edilir.
Veri Genişliği
Veri genişliği, değişkenin en büyük değerinin en küçük değerden farkı şeklinde tanımlanmıştır. Veri genişliği, veri