ADY214U-VERİ ANALİZİ VE DEĞERLENDİRME
Ünite 2: İki Değişken Arasındaki İlişkiyi Tanımlamak
Giriş
Bazı durumlarda, değişkenlerdeki değişimler birbirlerini etkilerler. İki değişken arasındaki ilişkinin varlığı belirlenerek gücü sayısal olarak ifade edilebilinir. Bu ilişkiyi tanımlayabilmek için öncelikle, bireylerin saçılma diyagramındaki konumlarını noktalar ile göstermek gerekir. Noktaların konumu değişkenlerin x ve y eksenlerindeki iz düşümlerine bağlıdır. Saçılma diyagramındaki her bir nokta bir elemanı ifade eder.
Saçılma Diyagramları
Değişkenler arasındaki ilişkiyi belirlemek için öncelikle iki değişkenden hangisinin gözlemsel hangisinin ise onun sonucu olarak oluştuğunu belirlemek gerekir. İki değişkenli veri saçılma diyagramları ile gösterilir.
Saçılma diyagramı, aynı birey ya da elemanın iki sayısal değişkeni arasındaki ilişkiyi gösteren grafik olarak tanımlanır.
Saçılma Diyagramlarının Çizilmesi ve Değerlendirilmesi
Saçılma diyagramlarında her zaman x ekseni, bağımsız değişkeni, y ekseni ise bağımlı değişkene karşılık gelir. Eğer bir değişkenin değeri artarken, diğer değişkenin değeri de artıyorsa, bu ilişki pozitif doğrusal ilişki olarak tanımlanır. Eğer bir değişkenin değeri artarken, diğer değişkenin değeri azalıyorsa, bu ilişki negatif doğrusal ilişki olarak tanımlanır.
Verilerin saçılma diyagramındaki dağılımı her zaman, doğrusal bir yönlenme göstermeyebilir. Eğer veriler doğrusal bir yönlenme göstermiyorsa, doğrusal ilişkinin varlığından bahsedilemez, bu durumda ilişki doğrusal olmayan ilişki olarak tanımlanır.
Değişkenler arasında her zaman bir ilişki olması zorunluluğu da bulunmamaktadır. Böyle bir durumda verilerin çalışma diyagramındaki dağılımı da herhangi bir ilişkiyi işaret etmez. Verilerin birbiriyle ilişkisiz olduğu durumda, verilerin dağılımının dağınık ve yatay bir dağılım göstermesi beklenir.
Saçılma diyagramındaki doğrusallık bir doğrusal ilişkinin varlığını ifade ederken, noktaların birbirine yakın bulunması, diğer bir deyişle az saçılması, ilişkinin gücü ile ilgilidir. Değişkenlerin arasındaki Doğrusal Korelasyon Katsayısı veya Pearson Momentler Çarpımı Korelasyon Katsayısı, iki numerik değişkenin arasındaki doğrusal ilişkinin gücünün ölçmek için kullanılan bir eşitliktir.
Korelasyon katsayısı hem ana kütle hem de örnekleme kümesi için hesaplanabilmektedir. Bu kapsamda ρ, anakütlenin korelasyon katsayısını temsil ederken r, örnekleme kümesinin korelasyon katsayısını temsil etmektedir.
Doğrusal Korelasyon Katsayısının Özellikleri
Pearson Doğrusal Korelasyon Katsayısı, -1 ile 1 arasında değişim gösterir, r’nin +1 olması, iki değişken arasında kusursuz pozitif ilişki olduğunu, r’nin -1 olması ise iki
değişken arasında kusursuz negatif ilişkinin olduğunu gösterir. r değerinin +1’e veya -1’e yakınlığı ilişkinin gücünün ölçüsüdür. Eğer r, 0’a yakın ise iki değişken arasında doğrusal bir ilişki bulunmamaktadır. Pearson Doğrusal Korelasyon Katsayısı birimsizdir, dolayısıyla x veya y’nin birimi, r’nin değerlendirilmesi için bir ölçü değildir.
Doğrusal Korelasyon Katsayının Hesaplanması ve Değerlendirilmesi
Korelasyon katsayısının (r), -1 ile 1 arasında değiştiğini ve -1’in bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında, kusursuz negatif korelasyonu, +1’in değişkenler arasında kusursuz pozitif korelasyonu ve 0 değerinin ise değişkenler arasında bir ilişkinin olmadığını ifade ettiğini söylemiştik. Ancak hangi sınır değerinin üstünün pozitif korelasyon, hangi sınır değerinin altının negatif korelasyon olarak tanımlayacağımız belirsizdir. Bu nedenle korelasyon değerinin kritik sınırını belirlemek için örnek sayısı kullanılır. Bu değer, ilişkinin örnek sayısına göre doğrusal bir korelasyonun varlığını ifade eden kritik değer olarak tanımlanır. Bu kritik sınırın dışındaki r değerleri, için doğrusal korelasyondan bahsetmek mümkün değildir. Eğer korelasyon katsayısı, pozitif ve kritik değerden büyük ise, değişkenler pozitif doğrusal korelasyon, eğer korelasyon katsayısı negatif ve mutlak değeri kritik değerden küçük ise, değişkenler negatif doğrusal korelasyon gösterdiği kabul edilir.
En Küçük Kareler Regresyonu
Korelasyon katsayısının değeri, doğrusal bir ilişkinin varlığına işaret ettiği zaman, bu doğrusal ilişkiyi ya da eşitliği ortaya koymak gerekir. Bu ilişki, saçılma diyagramındaki noktaları temsil eden bir doğru çizilerek, o doğrunun eşitliğinin belirlenmesi ile yapılır. En uygun doğrunun eşitliğinin belirlenmesi ve doğrunun çizilmesi için kullanılan en yaygın yöntem En Küçük Kareler Regresyonudur.
Gözlenen değerler ile doğru ile tahmin edilen değerlerin farklarına Artık adı verilir.
En Küçük Kareler Regresyonu Doğrusunun Bulunması ve Tahminleme
En küçük kareler regresyon doğrusunun eşitliği genel olarak 𝑦" = 𝑏!𝑥 + 𝑏" şeklinde ifade edilmektedir.
#! Bu eşitlikte 𝑏! = 𝑟 # , regresyon doğrusunun eğimini, " 𝑏" = 𝑦( − 𝑏!𝑥̅ , ise regresyon doğrusunun, y eksenini kestiği noktayı vermektedir. Eşitlikte; r, korealsyon katsayısı; 𝑥̅ , bağımsız değişkenin örnek kümesinin ortalaması; sx, bağımsız değişkenin örnek kümesinin standart sapması; 𝑦(, bağımlı değişkenin örnek kümesinin ortalaması; sy, bağımlı değişkenin örnek kümesinin standart sapması ve n ise örnek kümesinin eleman sayısıdır. Elde edilen eşitlik kullanılarak herhangi bir x değeri için y değeri tahmin edilebilmektedir.
𝑦", en küçük kareler regresyonu eşitliği kullanılarak yapılan tahmini ifade eder. Bu doğru her zaman, ( 𝑥̅ , 𝑦() noktasından geçmektedir. Bu özellik doğrunun el ile çizimini kolaylaştırır. Diğer taraftan korelasyon katsayısının negatif olması doğrunun eğiminin negatif olduğunu (bağımlı değişkenin değeri artarken, bağımsız değişkenin değerinin azaldığını), korelasyon katsayısının pozitif olması, doğrunun eğiminin pozitif olduğunu (bağımsız değişken artarken, bağımlı değişkenin de arttığını) ifade eder.
En Küçük Kareler Regresyonunun Eğiminin ve Y Eksenini Kestiği Noktanın Değerlendirilmesi
En Küçük Kareler ile elde edilen Regresyon Doğrusu, eğimi ve Y eksenini kestiği nokta ile değerlendirilir.
Eğimin Değerlendirilmesi
En küçük kareler regresyon denkleminden çıkan tahminler olasılıksaldır, diğer bir deyişle yapılan tahminler bir belirsizliğe sahiptir.
Matematikte bir doğrunun eğimi ya da gradyanı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Eğim, dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranı olarak tanımlanmaktadır.
Y Eksenini Kesen Noktanın Değerlendirilmesi
Y eksenini kesen nokta, regresyon doğrusunun dikey y eksenini kestiği nokta olarak ifade edilebilir. Regresyon doğrusunun eşitliğinde x değerinin yerine 0 (x=0) verilerek, eşitliğin çözülmesi ile elde edilebilir. Bir regresyon eşitliğinin y eksenini kestiği nokta değerlendirilirken bağımsız değişkenin alacağı 0 değerinin mantıklı olup olmayacağı ve 0 çevresinde gözlem değerlerinin olup olmadığı değerlendirilir.
Diğer bir önemli konu ise eşitliğin geçerlilik aralığıdır. Eşitlik gözlenen değerlerden çok büyük ya da çok küçük bölgelerde geçerli olmayabilir. Bu nedenle eşitliğin geçerlilik bölgesi, örnekleme gözlenen değerler çevresinde olmalıdır.
Bağımlı değişkenin tahmin değerleri, bağımlı değişkenin gözlenen değerinden çok büyük ya da çok küçük değerler verebilir.
Belirlilik Katsayısı
Belirlilik katsayısı da korelasyon katsayısı gibi, iki sayısal değişkenin arasındaki ilişkinin gücünün bir ölçeğidir.
Belirlilik katsayısı; bağımlı değişkenin, en küçük kareler regresyon doğrusu eşitliği ile açıklanma yüzdesidir. Belirlilik katsayısı R2 ile gösterilmektedir.
Belirlilik Katsayısının Hesaplanması ve Değerlendirilmesi Belirlilik katsayısı (R2), 0 ile 1 arasında değişiklik göstermektedir. Eğer R2=0 ise en küçük kareler regresyon
doğrusu bağımlı değişkendeki değişimi açıklamakta yetersizdir. Eğer R2=1 ise en küçük kareler regresyonu
doğrusu, bağımlı değişkendeki değişimi %100 açıklıyor anlamına gelmektedir.
Bağımlı değişkenin gözlenen değeri, y ve bağımlı değişkenin ortalama değeri (𝑦() arasındaki sapma, toplam sapma olarak ifade edilmektedir. Bağımlı değişkenin tahmin değeri ile bağımlı değişkenin ortalama değeri açıklanan sapma adını alır. Sonuç olarak bağımlı değişkenin gözlenen değeri (y), ile bağımlı değişkenin regresyon formülü ile tahmin edilen değeri (𝑦"), arasındaki sapma, açıklanamayan sapma olarak tanımlanır.
Belirlilik katsayısını hesaplamak için her bir eleman için toplam sapmanın hesaplanıp toplanması gerekmektedir. Bu durumda her bir toplam sapma değerlerinin karelerinin toplamı ile toplam değişkenlik elde edilir. Bu durumda eşitlikler aşağıdaki gibi olacaktır.
Toplam sapma = açıklanamayan sapma + açıklanan sapma
Açıklanamayan değişkenlik, artıkların karelerinin toplanması ile elde edilir. Buna göre eğer artıkların karelerinin toplamı küçük değere sahipse, açıklanamayan değişkenliğin küçük olmasına ve R2’nin büyük olmasına
sebep olur. Gözlem değerlerinin (y), regresyon eşitliği ile elde edilen doğruya ve bu eşitlik ile yapılan tahminlere (𝑦") yakın olduğunu işaret eder.
Diğer taraftan, belirlilik katsayısı (R2), Korelasyon
katsayısının ® karesine eşittir.
R2 = (r)2
Artıkların Analizi
Artıklar, y’nin gözlenen değeri (y) ile tahmin edilen değeri (𝑦") arasındaki farktır.
Artıklar, doğrusal regresyon eşitliğinin, tahminleri temsil ediciliğinin önemli bir göstergesidir. Bu nedenle doğrusal regresyon eşitliğinden yapılan tahminlerin temsil ediciliğinin belirlenmesi için artıkların değerlendirilmesi gerekir. Artıkların analizi; artıkların, grafikte gösterdiği desenin değerlendirilmesi, artıkların varyansının sabitliğinin kontrolü ve veri setindeki sınır dışı değerlerin tespit edilmesi için kullanılır.
Bir korelasyon katsayısı, verilerin doğrusal olmayan bir ilişki göstermesine rağmen, yanlış olarak, doğrusal bir ilişkiyi gösterdiğine işaret ediyor olabilir. Dolayısıyla doğrusal ilişkinin veri seti için uygunluğunun kontrol edilmesi gerekmektedir. Doğrusal ilişkinin uygunluğunun kontrolü için artıkların grafiği kullanılmaktadır.
Artıkların grafiği, x ekseninde bağımsız değişkenlerin, y ekseninde ise artıkların çizilmesiyle elde edilir. Eğer artıkların grafiğinde noktalar, tespit edilebilen bir desen gösteriyorsa (doğru, eğri gibi) bu durum doğrusal ilişkinin uygun olmadığına işaret etmektedir. Grafikte, artıklar bir desen göstermiyorsa, önerilen doğrusal modelin uygun olduğu kabul edilir.
Modelin uygunluğunun belirlenmesi için kullanılan diğer bir yöntem artıkların varyansının sabitliğinin değerlendirilmesidir. Uygun modellerde varyansın sabit olması beklenir.
Aykırı değerleri belirlemek için yine artıkların grafiği kullanılabilir. Artıklar grafiğinde diğer noktalardan uzak aykırı değere sahip bağımsız değişkenler aykırı değer olarak kabul edilebilir.
Genellikle aykırı değerleri; verinin yanlış hesaplanması veya veri toplama konusunda bir karmaşıklık sonucu gibi verinin kaydı aşamasında bir hatadan kaynaklandığını düşündüğümüz zaman veri setinden çıkartmayı tercih ederiz.