her ikisi için farklı aralıklarda elde edilmiş ölçüm Giriş değerlerinin [0,1] gibi belirli bir aralık içerisinde
Genel bir tanımı olmamasına rağmen, iki nesne arasındaki ölçeklendirilmesi amacıyla kullanılırlar. Örneğin, elde benzerlik, iki nesnenin birbirine benzeme derecesinin edilen benzerlik ölçüm değerleri [1,100] aralığında yer sayısal bir ölçüsü olarak tanımlanabilir. Veri madenciliği alsın. Bir bilgisayar yazılımı aracılığı ile ilgili benzerlik çerçevesinde ise benzerlik genellikle nesnelerin değerleri kullanarak sınıflama veya kümeleme gibi farklı özelliklerini temsil eden boyutlara sahip bir uzaklık olarak analizler yapmak istenebilir. Bilgisayar yazılımının tanımlanabilir. Dolayısıyla, benzerlikler birbirine daha çok kullandığı algoritma gereği sadece uzaklık ölçüm değerleri benzeyen nesne çiftleri için daha yüksektir. Benzerlikler elde edildiyse veya [0,1] aralığına standartlaştırılmış temel olarak [-1,1] arasında bir sayısal değer ile ifade benzerlik değerleri üzerinden işlem yapılmışsa bu tür edilebilmelerine rağmen, genellikle normalleştirilerek durumlarda istenilen değerleri elde etmek için dönüşüm [0,1] arasında ölçeklendirilirler. Bu durumda “0” nesneler yapmak durumunda kalınabilir. arasında hiç benzerliğin olmadığını, “1” ise ilgili nesnelerin tam benzer olduklarını, bir diğer ifadeyle aynı Birçok veri madenciliği uygulamasında özellikle benzerlik (özdeş) nesneler olduklarını ifade eder. ölçüm değerlerinin [0,1] aralığında tanımlanmış veya bu aralıktaki değerlere dönüştürülmüş olması beklenir. Sonlu İki nesne arasındaki uzaklık ise iki nesnenin birbirinden farklılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür. Çoğunlukla, bir aralıkta değerler alan benzerlik ölçüm değerleri [0,1] uzaklık kavramı farklılık kavramının yerine aralığına uyacak şekilde dönüştürülmek istendiğinde,
kullanılmasına rağmen aslında uzaklık, farklılıkların özel s − enk(s) bir sınıfını ifade etmek için kullanılır. Farklılık, çeşitli s′ = özelliklere dayalı olarak iki nesne arasındaki zıtlık ya da enb(s) − enk(s) uyumsuzlukların bir ölçümü olarak nitelendiğinde, uzaklık iki nesne arasındaki düzensizliğin veya bozukluğun bir eşitliğinden yararlanılır. Eşitlik yardımıyla elde edilecek s’ ölçüsü olarak düşünülebilir. Kısaca uzaklık ölçüleri değeri, dönüştürülmesi istenilen s benzerlik ölçüm yardımıyla iki nesne arasındaki farklılığın derecesi değerinin [0,1] aralığına düşen değerini ifade eder.
ölçülmektedir. Birçok alanda gereken analizleri yapabilmek ve sonuca
Tanım (Uzaklık): X bir küme olmak üzere d: X x X ⟶ ℜ ulaştırabilmek için geliştirilen çeşitli paket programlar şeklinde tanımlanan bir fonksiyon, tüm x, y ∈ X için; mevcuttur. Elbette ki farklı paket programlar farklı algoritmalar kullanabilmektedir. Dolayısıyla farklı paket i. d(x, y) = 0, x = y ise (Özdeşlik) programların girdileri de çıktıları da farklı olabilmektedir. ii. d(x, y) ≥ 0 (Negatif olmama) Bunun yanı sıra farklı benzerlik ve uzaklık ölçüleri de iii. d(x, y) = d(y, x) (Simetri) farklı aralıklarda sonuçlar vermektedir. Tüm bu nedenlerden dolayı gerek benzerlik ve uzaklık ölçülerini koşullarını sağlıyorsa d, X üzerinde bir uzaklık olarak birbiri cinsinden ifade edebilmek için gerekse ölçüm adlandırılır. Bu koşullara ilave olarak eğer tüm x, y, k ∈ X değerlerini belirli aralıklarda ifade edebilmek için bir için; takım dönüşümler kullanılmaktadır. iv. iv. d(x, y) ≤ d(x, k) + d(k, y) (Üçgen eşitsizliği) Basit Nitelikler Arasındaki Yakınlık koşulu da sağlanıyor ise d, X üzerinde metrik uzaklık Bir dizi niteliğe sahip nesnelerin yakınlığı, nesnelerin her olarak adlandırılır. bir niteliği için elde edilecek yakınlıklarının birleşimi
Tanım (Benzerlik): X bir küme olmak üzere s: X x X ⟶ olarak tanımlanır.
şeklinde tanımlanan bir fonksiyon, tüm x, y ∈ X için; Şayet iki nesne sınıflayıcı bir nitelik açısından
i. s(x, y) = s(y, x) (Simetri) değerlendirilmeye çalışılıyorsa bu iki nesnenin ilgili ii. s(x, y) = 1, x = y ise (0 ≤ s ≤ 1) (Maksimum nitelik açısından aynı olup olmadıklarından başka bir bilgi benzerlik) verilemez. Bu durumda benzerlik değeri, nesneler ilgilenilen nitelik bakımından aynı ise “1” olurken farklı koşullarını sağlıyorsa s, X üzerinde benzerlik olarak ise “0” değeri ile ifade edilir. Uzaklık değeri ise adlandırılır. benzerliğin tam tersi şekilde ifade edilir. Yani nesneler
Hesaplamalar sonucunda elde edilen benzerlik değeri ilgilenilen nitelik bakımından aynı ise ilgili uzaklık değeri arttıkça iki nesne arasındaki benzerliğin de arttığı “0” olurken farklı ise “1” değerini alır. Örneğin bir anlaşılırken bunun tam tersine elde edilen uzaklık değeri güvercin ile arı uçma yetileri bakımından karşı- azaldıkça bu iki nesne arasındaki benzerliğin arttığı laştırıldığında benzerlik değeri “1” olurken büyüklük anlaşılmaktadır. bakımından karşılaştırıldığında ise benzerlik değeri “0” olacaktır. Dönüşümler
Dönüşümler genellikle benzerlik ve uzaklıklara ilişkin ölçüm değerlerinin birbirlerine dönüştürülmesinde veya
Nesnelerin niteliklerine göre benzerlik ve uzaklık birimleri ile ölçülmüş olması, hesaplanacak uzaklık formülleri. değerini etkileyecektir.
Karesel Öklid uzaklığı ise Öklid uzaklığına benzer biçimde hesaplanır. Tek farkı değişkenlere göre toplam uzaklığın karekök alınmadan hesaplanmasıdır. Yani Öklid uzaklığının karesidir. Karesel Öklid uzaklığı,
eşitliği yardımıyla hesaplanır. Karesel Öklid uzaklığının hesabında karekök alınmadığından Öklid uzaklığına göre veri kümesi içerisinde yer alan aykırı değerlere (outliers) daha fazla ağırlık verme eğilimindedir. Benzerlik ve Uzaklık Ölçüleri Birim ya da değişkenler arası benzerlik ya da uzaklık Karl Pearson Uzaklığı: Karl Pearson uzaklığı, Öklid değerleri hesaplanırken geometrik yaklaşımlardan uzaklığının değişkenin varyansına oranlanması ile elde yararlanılır. Geometride koordinat sistemindeki iki nokta edilen bir uzaklıktır. Bu özelliğinden dolayı arasındaki en yakın uzaklık Pisagor bağıntısına göre elde standartlaştırılmış Öklid uzaklığı olarak da bilinmektedir. edilir. Dolayısıyla koordinat sisteminde yer alan A ve B Öklid uzaklığı yaygın olarak tercih edilen bir uzaklık noktaları arasındaki doğrusal uzaklık, A noktasının ölçüsü olmasına rağmen, değişkenlerin ölçü birimlerinden koordinat değerleri A(x1, y1) ve B noktasının koordinat kolaylıkla etkilenmektedir. Dolayısıyla farklı ölçü değerleri B(x2, y2) olmak üzere Pisagor bağıntısına göre; birimlerine sahip değişkenler söz konusu olduğunda hesaplama yapmadan önce değişkenlerin 𝑑 𝐴, 𝐵 = (𝑥 , 𝑥 )2 + 𝑦 , 𝑦 2 ! ! ! ! standartlaştırılması gerekir. Böyle bir durumda ölçü birimi farklılıklarını ortadan kaldırmak amacıyla Öklid eşitliği yardımıyla hesaplanır. uzaklığının standartlaştırılmış şekli olan Karl Pearson Nicel Değişkenler İçin Yakınlık Ölçüleri uzaklığı,
Nicel değişkenlerden elde edilen gözlem değerleri arasındaki yakınlığın belirlenmesinde Öklid uzaklığı, Karesel Öklid uzaklığı, Karl Pearson uzaklığı, Manhattan uzaklığı, Minkowski uzaklığı, Mahalanobis uzaklığı, Korelasyon uzaklığı ve Açı sal benzerlik ölçülerinden yararlanılır. eşitliği yardımıyla hesaplanır.
Öklid ve Karesel Öklid Uzaklığı: Uzaklık ölçüleri Manhattan (City-Block) Uzaklığı: Bir diğer sıklıkla arasında en yaygın kullanılan uzaklık ölçüleri Öklid ve kullanılan uzaklık ölçüsü ise Manhattan uzaklığıdır. Karesel Öklid uzaklık ölçüleridir. Her biri p tane nicel Manhattan (City Block) uzaklığı, birimler arası farkların değişken içeren xi ve xj nesneleri arasındaki Öklid uzaklığı, mutlak değerinin toplamı alınmak suretiyle
eşitliği yardımıyla hesaplanmaktadır.
Minkowski Uzaklığı: n sayıda birim ve p sayıda değişken ile çalışılırken birimler ya da değişkenler arasındaki uzaklıkları hesaplamak için kullanılan genel bir uzaklık ölçüsüdür. Lλ norm olarak da bilinen Minkowski uzaklığı,
ifade eder.
Öklid uzaklığı, i’inci ve j’inci nesnelerin p tane değişken eşitliği yardımıyla hesaplanır. için farklarının kareleri toplamının karekökü alınarak elde edilir. Öklid uzaklığı hesaplanırken veriler kullanılır. Açısal Benzerlik: Açısal benzerlik, iki vektör arasındaki Dolayısıyla farklı ölçekler ve değişkenlerin farklı ölçü açı farkının kosinüsünün bu iki vektör arasındaki uzaklık
olarak alınması suretiyle değişkenler arasındaki benzerliğin belirlenmesine yönelik bir benzerlik ölçüsüdür. İki vektör arasındaki açı farkı sıfır olduğunda yani vektörler birbirlerine paralel olduklarında kosinüs değeri 1 olurken bu iki vektör arasındaki açı farkı 90° olduğunda yani vektörler birbirlerine dik olduklarında kosinüs değeri 0 olur. Dolayısıyla elde edilen değerin 1 olması değişkenler arasında tam bir benzerliğin olduğunun, 0 olması ise değişkenlerin hiç benzerliğin olmadığının göstergesi olmaktadır.
Açısal benzerlik, özellikle belge ve çoklu ortam nesnelerinin kıyaslanmasında ve metin madenciliğinde kullanılmaktadır.
Mahalanobis Uzaklığı: Sürekli değişkenler arasındaki yakınlığın belirlenmesinde kullanılan bir diğer ölçü ise Mahalanobis uzaklığıdır. Bu uzaklık ölçüsü, iki vektör veya değişken arasındaki uzaklığın belirlenmesinde verilerin kovaryans yapılarını da dikkate almaktadır. Her biri n boyutlu x ve y gözlem vektörleri arasındaki Mahalanobis uzaklığı,
dxy = D2 = (x – y)T S–1(x – y)
eşitliği yardımıyla hesaplanır.
İki Sonuçlu (Binary) Değişkenler İçin Yakınlık Ölçüleri
İki sonuçlu (binary) değişkenler, ölçüm değerleri sınıflama yoluyla elde edilen nitel değişkenlerdir. Bu değişkenler sadece evet/hayır, var/yok, erkek/kadın, doğru/yanlış gibi değerler alırlar. İki sonuçlu değişkenler için benzerlik veya uzaklık ölçüm değerlerin hesaplanabilmesi için her bir nesne incelenen değişkenlere ilişkin aldığı değerlerden oluşan bir vektör şeklinde ifade edilir. İki sonuçlu değişkenler içeren gözlem çiftleri arasındaki yakınlığın belirlenmesinde Öklid, Karesel Öklid, Büyüklük Farkı (Size Difference), Örüntü Farkı (Pattern Difference), Lance ve Williams Uzaklık Ölçüsü, Biçim Farkı (Shape Difference) ve Jaccard Benzerliği (Jaccard Similarity) gibi birçok benzerlik ya da uzaklık ölçülerinden yararlanılmaktadır. Bu ölçüler temel olarak eşleştirmeye dayanan ölçüler olduklarından, hesaplama yapmadan önce kontenjans ya da diğer adıyla çapraz sınıflama tablosunun oluşturulması gerekir. İki yönlü sınıflama tablosu olarak da adlandırılan kontenjans tablosu, iki sonuçlu değişkenler içeren nesne çiftinin karşılıklı eşleşen değerlerinin tekrar sayılarından oluşan tablodur.
Bundan dolayı, benzerlik ve uzaklık ölçüleri temel olarak verinin tipine göre farklılaşmakta ve farklı veri türleri için farklı ölçüler hesaplanmaktadır. Verinin sahip olduğu özellikler ve karşılaştırılacak nesnenin özelliklerine bağlı olarak başlıca kullanılan benzerlik ve uzaklık ölçüleri de farklı algoritma ve hesaplama yöntemlerine sahip olmaktadır.