YBS401U-YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI
Ünite 8: Çok Amaçlı En İyileme Problemleri ve Hedef Programlama
Giriş
Matematiksel programlama, belli bir hedefe ulaşmak veya belli bir amacı veya amaçları en iyilemek için, genellikle bizim kontrolümüz altında olmayan kısıtları da gözeterek gerekli adımların veya eylemlerin belirlenmesini öğrenen bilim dalıdır. Bu adımlar programlanırken, elimizdeki uygun çözüm alanındaki alternatifler içerisinden amacımızı veya amaçlarımızı en iyi veya en iyiye yakın bir şekilde gerçekleştirebilmek için hangi seçeneğin ve nasıl seçilebileceğine karar vermemiz gerekiyor. Elimizdeki mevcut uygun çözümden, yani elimizdeki bir karar seçeneğinden daha iyi bir çözüm elde etmek için, hangi yönde hangi eylemin gerçekleştirileceğine karar verilmesinin araştırılması da bir bilim dalı olarak uygulamalı matematiksel programlamanın veya yöneylem araştırmasının temel prensibini oluşturmaktadır. Dolayısıyla Yöneylem Araştırması, elimizdeki kısıtlı kaynakların, var olan kıstaslar gözetilerek belirlenen amaca veya amaçlara olabildiğince iyi bir şekilde ulaşılması ve/veya verimliliğin olabildiğince artırılması için gerekli bilimsel eylemlerin araştırılması ve uygulanması bilimidir.
Eğer problemimizin matematiksel modelini oluştururken birden fazla amaç fonksiyonunun en iyilenmesi gerektiğine karar verilirse, bu problemlere çok amaçlı karar problemleri denir.
Çok amaçlı problemlerin araştırılması için, duruma göre skalerleştirme – yani tek amaçlı probleme indirgeme, ödünleşim ve hedef programlama gibi yaklaşımlar kullanılabilmektedir.
Çok Amaçlı Karar Verme Problemleri
Yukarıda tanımladığımız üzere, birden fazla çelişen amaç fonksiyonunun en iyilenmesi gereken karar problemine çok amaçlı karar problemi veya çok amaçlı en iyileme problemi denir. Tanımdaki “çelişen amaçlar” tabirinin kullanılması tesadüf olmayıp çok amaçlı problemlerin tanımlanmasında önemli rol oynamaktadır.
Çok amaçlı problemleri daha iyi anlamak için aşağıdaki örnekle başlayalım.
Ahmet kendine yeni bir araba satın almak istemekte ve bu amaçla da piyasa araştırması yapmaktadır. Ahmet araba seçiminde en iyilemek istediği iki tane amaç belirlemiştir: arabanın fiyatının ve yakıt tüketiminin olabildiğince düşük olması. Bu amaçları kıyaslarken onların gerçekten bir biri ile çeliştiğini görmek zor değil, zira aynı segmentte yer alan iki arabadan daha az yakıt tüketen aracın fiyatı, daha fazla yakıt tüketen araca göre daha pahalı olmaktadır.
Çok amaçlı problemlerin uygun çözümleri, tüm amaç fonksiyonlarının o noktadaki değerleri hesaplanarak kıyaslanmaktadır. Herhangi iki uygun çözüm noktası kıyaslanırken bu noktalarda tüm amaç fonksiyonlarının değerleri hesaplanır. Eğer tüm fonksiyonların bir noktadaki değerlerinin tamamı diğer noktadaki değerlerin tamamından daha iyi ise (uygun bileşenler
kıyaslandığında) bu çözüme (diğerine göre) baskın çözüm denir. Eğer uygun çözüm alanında, bir uygun çözüme baskın çözüm bulunamaz ise o çözüme etkin çözüm denir. Tanıma göre bu durum, uygun çözüm alanında bu çözümden daha iyi bir çözüm bulunmadığını gösterdiğinden, çok amaçlı problemlerin çözümlerini karakterize ederken “en iyi çözüm” tabiri kullanılmamakta, bunun yerine “bu çözümden daha iyisi bulunmamaktadır” tabiri tercih edilmektedir.
Çok Amaçlı En İyileme Problemlerinin Tek Amaçlı Problemlere İndirgenmesi
Karar vericimizin, amaç fonksiyonları ile ilgili tercih veya önem derecelerini fi fonksiyonu için wi, i = 1, 2, ..., n şeklinde belirlediğini varsayalım, burada wi , i = 1, ..., n sayılarının hepsi negatif olmayan sayılardır. Bu sayılardan herhangi birinin sıfır olması, karar verici için o amaç fonksiyonunun önemli olmadığı, yani problemin o amaç fonksiyonu olmadan ele alınabileceğini göstermektedir. Bu şekilde oluşturulan tek amaçlı en iyileme problemi aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
x ∈ X
kısıtları altında
Enb z = w1 f1 (x) + w2 f2 (x) + ... + wn fn (x)
Hedef Programlama Problemleri
Tek amaca indirgeme yöntemleri, genellikle karar vericinin istek ve tercihleri doğrultusunda ortaya çıkan durumlara bağlı olmakta ve çeşitlilik göstermektedir. Bazı durumlarda karar verici tüm amaç fonksiyonlarının önem derecelerini yansıtan bir etkin çözüm elde edilmesini ister. Bu durumda amaç fonksiyonları, belirlenmiş ağırlık katsayıları ile çarpılarak toplanır ve bu şekilde ortaya çıkan tek bir amaç fonksiyonuna göre en iyileme problemi çözülerek sonuç itibarıyla çok amaçlı problemin etkin çözümü elde edilir.
Karar verici bazı durumlarda amaçlardan bazılarına göre olmazsa olmaz alt veya üst sınırlar belirleyerek bunları kısıt kümesine eklemek yolu ile geriye kalan tek bir amaç fonksiyonunu en iyileyip, tercih ettiği çözümü bu şekilde elde etmek isteyebilir. Bu yaklaşım, ödünleşim yaklaşımı olarak adlandırılmaktadır.
Hedef programlama yaklaşımı, bir doğrusal programlama probleminin kısıtlarını belirleyen denklem veya eşitsizliklerin her zaman sağlanabileceğine dair “inancı” da test ederek, bunların sağlanmadığı bazı durumlarda da çözüm üretebilmenin yollarını araştırıyor. Örneğin, üretim-envanter probleminde denklemler, genellikle şirketin ürünlerine olan haftalık talep tahminlerinin cari üretim ve envanter durumu temelinde sağlanabileceğini belirler. Fakat şirket, tüm talepleri sağlayacak üretim kapasitesine sahip olmayabilir. Bu durumda talep değerleri, ulaşılabilir veya ulaşılamayacak başarı seviyeleri şeklinde yorumlanabilir. Bütün mesele benzer durumlarda, belli cezalarla da olsa bu başarı seviyelerinden uygun çözüm alanı kapsamında en iyi
pozitif veya negatif sapma değerlerinin nasıl bulunacağına, dolayısıyla hedef programlama problemine indirgeniyor. Hedeften pozitif sapma, hedeflenen başarı seviyesinden yukarıya sapmayı (“artık” üretim veya “artık” kapasite) ve hedeften negatif sapma da hedeflenen başarı seviyesinden aşağıya sapmayı (“eksik” üretim veya “eksik” kapasite) gösterir. Bu sebepten, hedef programlama probleminin amaç fonksiyonu, pozitif ve negatif sapmaların karar verici için önem dereceleri kullanılarak oluşturulan ağırlıklandırılmış toplamının en küçüklenmesi şeklinde tanımlanmaktadır.
Bazı durumlarda karar verici hedefleri kendi öncelik sırasına göre belli bir sırada dizerek önce en öncelikli bir hedefi (veya hedefler grubunu) göz önünde bulunduran bir çözüm veya çözümler kümesi bulunur. Bu problemin matematiksel modeli sadece orijinal kısıtları ve birinci hedefle ilgili kısıdı içerir ve ilgili hedeften sapma değişkeni (veya değişkenlerin ağırlıklandırılmış toplamı) amaç fonksiyonu olarak en küçüklenir. Sonra bu problemin çözüm kümesinde ikinci dereceli önceliğe sahip hedef veya hedefler grubu ile ilgili çözüm bulunur ve s. Bu tür problemlere öncelikli tercihleri gözeten hedef programlama problemleri denir.
𝑠! ve 𝑠! değişkenlerinin her durumda negatif olmayacağı ! ! ve biri pozitif ise diğerinin sıfır olacağı sonucunu elde ediyoruz. Buradan çıkan bir başka sonuç da eğer fi (x) – hi ≥ 0 ise, bu durumda;
! 𝐸𝑛𝑘 𝑤 𝑠! + 𝑠! ! ! ! !!!
tanımından
si + = fi (x) – hi, eğer fi (x) – hi ≤ 0 ise, bu durumda;
! 1 𝑠! = 𝑓! 𝑥 − ℎ! − 𝑓! 𝑥 − ℎ! 2 tanımından s − = f (x) – h elde edilir. Bundan dolayı 𝑠! i i i ! değişkenine hedeften pozitif sapma (hedeften fazla), 𝑠! ! değişkenine ise hedeften negatif sapma (hedeften eksik) isimleri verilmektedir. Bu yüzden bir hedef programlama probleminde eğer masraflar için bir üst hedef belirlenmiş ise hedeften pozitif sapmayı, yani 𝑠! değişkenini en ! küçüklemek gerekecek. Eğer getiri için bir alt hedef belirlenmiş ise bu durumda da hedeften negatif sapmayı, yani 𝑠! değişkenini en küçüklemek mantıklı olacaktır. ! Böyle durumlarda
! 𝐸𝑛𝑘 𝑤 𝑠! + 𝑠! ! ! ! !!!
formülü ile tanımlanmış olan amaç fonksiyonu
! 𝐸𝑛𝑘 𝑤 𝑠! ! ! !!!
veya
! 𝐸𝑛𝑘 𝑤 𝑠! ! ! !!!
şeklinde ifade edilebilmektedir. Aslında, hedef programlama probleminin, hedeflerden sapmaların aynı zamanda en küçüklendiği bir “çok amaçlı eniyileme” problemi olarak da görülebileceğini belirtmekte yarar vardır.
Son olarak, bazı durumlarda karar verici hedefleri kendi öncelik sırasına göre belli bir sırada dizerek önce en öncelikli bir hedefi (veya hedefler grubunu) göz önünde bulunduran bir çözüm veya çözümler kümesi bulunur. Bu problemin matematiksel modeli sadece orijinal kısıtları ve birinci hedefle ilgili kısıdı içerir ve ilgili hedeften sapma değişkeni (veya değişkenlerin ağırlıklandırılmış toplamı) amaç fonksiyonu olarak en küçüklenir. Sonra bu problemin çözüm kümesinde ikinci dereceli önceliğe sahip hedef veya hedefler grubu ile ilgili çözüm bulunur ve s. Bu tür problemlere öncelikli tercihleri gözeten hedef programlama problemleri denir.
Şimdi hedef programlama problemi ile çözülebilecek bir örnek inceleyelim.
ÖRNEK 8.6: Mandıracımız ürettiği tereyağını şehirdeki 3 farklı dükkâna satmak istemekte ve günlük ürettiği ürünlerinin taşınması için KAMYON şirketi ile anlaşmak istemektedir. Mandıracımızın 3 tane hedefi bulunmaktadır: Hedef 1: D1 dükkânına en az 40 ton ürün gönderilmeli; Hedef 2: D2 dükkânına en az 60 ton ürün gönderilmeli; Hedef 3: D3 dükkânına en az 35 ton ürün gönderilmeli. KAMYON şirketi ürünleri, farklı kapasite ve teknik özelliklere sahip iki tür kamyonla taşımayı planlamaktadır: K1 türü kamyon ve K2 türü kamyon. Anlaşma gereği taşıma için en fazla 6,000 TL harcanabileceği belirlenmiştir. Kamyonların teknik özellikleri ve dükkânlara ulaşım koşulları göz önünde bulundurularak bu kamyon türleri için birim taşıma maliyetleri ve her dükkâna bir kamyonun günlük taşıma kapasiteleri (ton cinsinden) belirlenmiştir.
Yukarıdaki gibi örneklerde hedef programlama problemi çözüm yolları kullanılarak hedeflere ulaşabilmek için en uygun yoların bulunması sağlanabilmektedir.