YBS401U-YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI
Ünite 4: Ulaştırma Problemleri
Giriş
Müşteri memnuniyetine odaklanan firmaların en önemli amacı; doğru ürünü, doğru zamanda, doğru kalitede, doğru yere ulaştırmaktır. Ancak, bu unsurları eksiksiz bir şekilde sağlamak firmalara maliyet yükü getirmektedir. Ulaştırma maliyetleri bu maliyetler içinde önemli bir paya sahip olduğundan, ulaştırma problemleri Yöneylem Araştırması alanında kendine özel bir yer bulmuş olan bir problemdir.
Ulaştırma Problemleri, ürün ve/veya hizmetin müşterilere ya da hizmet noktalarına ulaştırılabilmesi için arz (ör. fab- rika) ve talep noktalarının (ör. depo ve müşteriler) birbirine bağlandığı ağ yapısında, hangi arz noktasından hangi talep noktasına ne kadar miktarda ürün göndereceğimizi araştırdığımız problemlerdir. Tüm talepler karşılanacak şekilde yapılan gönderilerin bir de ulaştırma maliyeti oluşmaktadır. Dolayısıyla ulaştırma problemlerinin amacı, toplam ulaştırma maliyetlerini en küçüklemektir.
Gönderilen ürün miktarı aksi belirtilmedikçe tam sayı değer alacağından, problem bir tam sayılı programlama problemi olarak ele alınabilir. Ancak, bu problem ünitemizin ilerleyen kısımlarında detaylı olarak da görüleceği gibi özel bir yapıya sahiptir. Ulaştırma problemlerine ait matematiksel modelde, kısıtlara ilişkin katsayılar matrisi 0 ve 1 elemanlarından oluştuğu için, karar değişkenlerini negatif olmayan sürekli değişken olarak tanımlamamız yeterlidir.
Ulaştırma Problemleri
Ulaştırma problemleri, tek bir ürün türünün tedarik noktalarından arz noktalarına en düşük maliyetle nasıl ulaştırılacağını araştıran problemlerdir. Literatürde arz noktaları, tedarik veya kaynak noktaları olarak da adlandırılırken; talep noktaları da hedef noktaları olarak adlandırılabilmektedir. Genel olarak, müşteriler talepleri oluşturur ve fabrikalar da mevcut kapasiteleri doğrultusunda bu talepleri karşılamak üzere kaynaktan gönderim yaparlar. Ya da bir işletmeye ait fabrikalarda üretim yapılır ve üretilen ürünler farklı şehirlerde bulunan işletmeye ait depolara gönderilir.
İşletmelerin birden fazla (m tane) tedarik noktası olabilir. Bu durumda i = 1, ..., m olmak üzere sj, i. tedarik noktasının tedarik miktarını bir başka deyişle kapasitesini temsil eder. İşletmenin birden fazla da (n tane) arz noktası olabilir. Bu durumda da j = 1,.., n olmak üzere dj, j. talep noktasının talep miktarıdır. Her müşterinin bir talebi olduğu için, müşteriler “talep noktası” olarak da adlandırılır.
Şimdi ulaştırma probleminin genel tanımını ve ardından da matematiksel formülasyonunu inceleyelim. Bir ürünün birimleri (tek ürün), n tane varış yerindeki talepleri karşılamak için m tane kaynak düğümlerinden sevk edilecektir. i. kaynaktan j. hedefe olan (i, j) bağlantısı üzerinde bir birim gönderim bedeli cij nakliye miktarına bakılmaksızın belirlenir. Amaç, her bir varış yerindeki
talebin karşılanması için toplam ulaştırma maliyetlerini en küçükleyen ulaştırma planını bulmaktır. Bu plan da arz noktasından talep noktasına gönderilecek ürün miktarlarıdır (xij).
Ulaştırma problemlerine ait varsayımları izleyen şekilde sıralayabiliriz:
1. Arz miktarı belirli ve sabittir, değişmez (si > 0). 2. Talep miktarı belirli ve sabittir, değişmez (dj > 0). 3. Bir arz noktasından bir talep noktasına bir birim ürün taşıma maliyeti (cij) belirli ve sabittir. 4. Toplam arz miktarı toplam talep miktarına eşittir. Bir başka deyişle, fabrikaların toplam kapasitesi, müşterilerin toplam talebine eşittir. 5. Tedarik noktalarında, aynı ürünün özdeş birimleri üretilir.
Kısıt grubu (4.1) ile bir tedarik noktasından kapasitesi aşılmayacak şekilde tüm talep noktalarına gönderi yapılabilmesi garantilenmiştir. Dolayısıyla UP modelinde toplam tedarik noktası sayısı kadar, yani tane kapasite kısıtı vardır.
Kısıt grubu (4.2) ile de bir talep noktasının tüm taleplerinin karşılanması garantilenmiştir. Dolayısıyla UP modelinde toplam talep noktası sayısı kadar, yani n tane talep kısıtı vardır.
Eşitlik (4.3) ise yapılan tüm gönderilerin toplam maliyetini en küçükleyen amaç fonksiyonudur. Üç fabrika ve dört müşteri için amaç fonksiyonu (4.6) no’lu eşitlik ile verilir.
Enk Z = c11x11 + c12x12 + c13x13 + c14x14 + c21x21 + c22x22 + c23x23 + c24x24 + c31x31 + c32x32 + c33x33 + c34x34 (4.6)
Son olarak, unutulmamalıdır ki ulaştırma problemlerinde gönderi miktarı negatif değer alamaz ve işaret kısıtı x11, ..., x1n, x21,..., xm1, ..., xmn ≥ 0 ile tüm karar değişkenlerinin pozitif değer alması garantilenir. İşaret kısıtlarından da anlaşılacağı üzere, ulaştırma problemine ait doğrusal programlama modelinde m * n tane karar değişkeni vardır. Aynı zamanda ≥’lik yönündeki kısıt ile bu karar değişkenlerinin sıfır değeri alabilmesine izin verilmiştir.
Ulaştırma problemlerinin bir doğrusal programlama problemi olduğu belirtilmişti. Doğrusal programlamanın varsayımlarından bölünebilirlik varsayımı hatırlanacak olursa, bu varsayım ile bir DP probleminin çözümünde karar değişkenlerinin kesirli değerler alması mümkün kılınmaktadır. Ancak, ulaştırma problemlerinde karar değişkenleri yani (i, j) ağı üzerindeki taşıma miktarları aksi belirtilmedikçe kesirli değer alamaz.
(UP) modeli dikkatli bir şekilde incelendiğinde, toplam (m + n) kısıtı olduğu ve bu kısıtlarda yer alan teknik katsayılar matrisinin sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı görülür.
Bir Başlangıç Temel Uygun Çözüm Bulma Yöntemleri
Ulaştırma problemleri ağ gösteriminin yanı sıra, bu problemlere özgü geliştirilen ve ulaştırma tablosu adı verilen bir tablo ile de temsil edilirler. Ulaştırma tablosu tedarik noktası kadar satır ve talep noktası kadar sütundan oluşur. Her bir hücrede sol üst köşede birim taşıma maliyetleri (cij) verilir. Her satır sonunda ilgili tedarik noktasının kapasitesi (si), her sütun sonunda da ilgili talep noktasının talep miktarı (dj) yazılır. Problemin çözümünün ardından tablonun her bir hücresinde, i. noktadan j. noktaya yapılacak taşıma (nakliye) miktarı (xij) gösterilir.
Ünitemizin bu ve izleyen bölümünde dengeli ulaştırma problemi ele alınacaktır. Dengeli ulaştırma problemlerinde toplam arz miktarı toplam talep miktarına eşittir. Bir başka deyişle, fabrikaların toplam kapasitesi, müşterilerin toplam talebine eşittir.
Dengeli ulaştırma problemleri için tüm kısıtları sağlayan ancak en iyi çözümü garantilemeyen bir başlangıç uygun çözüm bulma yöntemleri aşağıda verilmiştir.
Kuzeybatı Köşe Yöntemi
Kuzeybatı köşe yöntemi ile bir temel uygun çözüm bulmak için, ulaştırma tablosunun sol üst (kuzeybatı) köşesinden başlanır ve (1, 1) hücresine mümkün olan en büyük gönderi miktarının ataması yapılır. (1, 1) hücresi birinci tedarik noktasından, birinci talep noktasına yapılacak gönderi miktarının belirlendiği hücredir. Dolayısıyla, bu hücreye yapılacak atama miktarı karar değişkeninin değerini belirleyecektir. x11’in değeri, s1 ve d1 değerlerinin en küçüğünden daha büyük olamaz (x11 = enk {s1, d1}).
En Küçük Maliyet Yöntemi
Hızlı bir uygun çözüm bulma yöntemi olmasına rağmen maliyeti tamamen göz ardı eden kuzeybatı köşe yönteminin dışında maliyetleri dikkate alan yöntemler de geliştirilmiştir. Bunların içinde en yaygın kullanılan yöntem En küçük maliyet yöntemidir.
En küçük maliyet yönteminde, ilk olarak ulaştırma tablosundaki en küçük maliyet değeri (en küçük cij) belirlenir. Toplam maliyeti en küçüklemek istediğimiz için, en küçük maliyetli (i, j) hücresine olabilecek en büyük gönderi miktarı atanır. Olabilecek en büyük gönderi miktarı, kuzeybatı köşe yönteminde olduğu gibi ilgili hücrenin bulunduğu satır ve sütuna ait en küçük kapasite ya da talep miktarı olacaktır. Dolayısıyla xij’in değeri, si ve dj değerlerinin en küçüğünden daha büyük olamaz.
Ulaştırma Problemlerinde Özel Durumlar
Ünitemizde ele aldığımız ulaştırma problemleri, toplam talebin toplam tedarik miktarına eşit olduğu varsayımı altında incelenmiştir. Bu koşullar altındaki problemler dengeli ulaştırma problemleri olarak da adlandırılmaktadır. Denge durumu iki şekilde bozulabilir. Ya toplam tedarik miktarı toplam talep miktarından
fazladır, ya da toplam talep miktarı toplam tedarik miktarından fazladır.
Toplam tedarik miktarının toplam talep miktarından fazla olması durumu matematiksel olarak Σsi >Σdj ile ifade edilir. Bu durumda, her bir talep noktasının talebini karşılamak mümkündür. Ancak, tüm talepler karşılandıktan sonra en az bir tedarik noktasının elinde ürün kalacaktır. Elde kalan ürünler, firmalar için fazladan stok tutma maliyeti getireceği için istenen bir durum değildir.
Toplam talep miktarının toplam tedarik miktarından fazla olması durumu da matematiksel olarak Σsi >Σdj ile ifade edilir. Bu durumda, ne yazık ki her bir talep noktasının talebini karşılamak mümkün olmayacaktır. Talebinin tamamı karşılanmayan müşteriler için bir ceza maliyetine katlanmak gerekir. Ayrıca, doğru ürünü doğru zamanda ve doğru miktarda alamamak müşteri açısından bir memnuniyetsizlik yaratacak ve belki de müşteri kaybına sebep olacaktır.
Toplam ulaştırma maliyetlerini en küçüklemek için kullanılan yöntemler, dengeli ulaştırma tablosu üzerinde çalışabilir. Bu sebeple, denge durumunun bozulduğu her iki durumda tabloya sanal merkezler eklenir. Dengeli ulaştırma problemini elde etmek için eklenen sanal noktanın tedarik ya da talep miktarı, toplam tedarik ile toplam talep arasındaki fark kadardır. Sanal nokta sadece çözüm yöntemlerini uygulayabilmek için eklenir. Gerçekte böyle bir nokta olmadığı için, ulaştırma tablosu oluşturulurken tüm tedarik noktalarından bu sanal noktaya olan birim taşıma maliyetleri “0” olarak belirlenir.
Karşılanamayan talep miktarının belirlendiği, toplam talep miktarının toplam tedarik miktarından fazla olması dengesiz durumunda karşılanmayan talep miktarı Σdj >Σsi kadar kapasitesi olan bir sanal tedarik noktası eklenir. Seçilen herhangi bir yöntemin uygulanmasının ardından elde edilen çözümde bu sanal noktadan herhangi bir talep noktasına yapılan atama miktarı, hangi talep noktasının ne kadarlık talebinin karşılanmadığını gösterir.