MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 8: Niceleme Mantığında Çözümleyici Çizelge Yöntemi
Nicelemeli Sembolik Önermeler ve Çözümleyici Çizelgeler
Çözümleyici çizelge sembolik bir nicelemeli önermenin bir modeldeki doğruluk değerini hesaplarken, tümel- nicelemenin açılımı, tikel-nicelemenin açılımı, tümel- niceleyicinin değillenmesi ve tikel-niceleyicinin değillenmesi kurallarına başvurulur.
Tümel-nicelemenin açılımı: ∀ν A tümel-nicelemeli önermesinin bir modelde doğru olması, A(a)∧A(b)∧A(c)∧… ifadesinin bu modelde doğru olması demektir. Bu ise, A(a), A(b), A(c), … ifadelerinin her birinin doğru olması demektir. Buna göre, çözümleyici çizelge yöntemiyle, nicelemeli bir sembolik önermenin bir modeldeki doğruluk değerini hesaplarken, bir noktada ∀ν A biçiminde tümel-nicelemeli bir ifade ortaya çıktığında, modelin evrenindeki her bir s elemanı için oluşturulan A(s) ifadeleri sayfa 134’deki örnekte olduğu gibi alt alta yazılır.
Tikel-nicelemenin açılımı: ∃ν A tikel-nicelemeli önermesinin bir modelde doğru olması, A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨… ifadesinin bu modelde doğru olması demektir. Bu ise, A(a), A(b), A(c), … ifadelerinden en az birinin bu modelde doğru olması demektir. Buna göre, çözümleyici çizelge yöntemiyle, nicelemeli bir sembolik önermenin bir modelde doğruluk değerini hesaplarken, bir noktada ∃ν A biçiminde tikel-nicelemeli bir ifade ortaya çıktığında, dala bir çatal eklenerek modelin evrenindeki her s elemanı için oluşturulan A(s) ifadesi sayfa 135’deki örnekte olduğu gibi çatalın uçlarına eklenir.
Tümel-niceleyicinin değillenmesi kuralı: ~∀ν A ve ∃ν ~A önermeleri niceleme mantığında eşdeğer önermeler olduğundan, daldaki bir üst noktada ~∀ν A ifadesi varsa, o dalda bir nokta olarak ∃ν ~A ifadesi eklenir.
Tikel-niceleyicinin değillenmesi kuralı: ~∃ν A ve ∀ν ~A önermeleri niceleme mantığında eşdeğer önermeler olduğundan, daldaki bir üst noktada ~∃ν A ifadesi varsa, o dalda bir nokta olarak ∀ν ~A ifadesi eklenir.
Nicelemeli bir sembolik önermenin verilen bir modeldeki doğruluk değerini çözümleyici çizelge yöntemi ile hesaplarken, ilk olarak, önermede geçen ad sembolleri yerine, bunların modelde karşılığı olarak verilen elemanları yazarak elde ettiğimiz ifadeyi, çözümleyici çizelgenin 1 numaralı kök noktasına yazarız. Ardından tümel ve tikel-nicelemenin açılımı kurallarını, niceleyici değilleme kurallarını ve önerme eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallarını kullanarak ilerleriz. Bir dalda ilerlerken, Y bir yüklem sembolü, s modelin evreninin bir elemanı olmak üzere Ys veya ~Ys biçimindeki bir ifade ortaya çıktığında;
• Modelde s ∈ YM ise, dalda ortaya çıkan Ys ifadesi
doğrudur ve o dalda ilerlemeye devam ederiz.
• Modelde s ∉ YM ise, dalda ortaya çıkan ~Ys
ifadesi doğrudur ve yine o dalda ilerlemeye devam edebiliriz. • Modelde s ∉ YM ise, dalda ortaya çıkan Ys ifadesi
yanlıştır ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dalın sonuna bir × (çarpı) işareti koyarız ve bu dalın “yanlış” bir dal olduğunu söyleriz. • Modelde s ∈ YM ise, dalda ortaya çıkan ~Ys
ifadesi yanlıştır ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dalın sonuna bir × (çarpı) işareti koyarız ve bu dalın “yanlış” bir dal olduğunu söyleriz.
Çizelgedeki bir dalda işlem uygulanacak bir ifade kalmadığı halde, o daldaki tüm Ys ve ~Ys ifadeleri doğru ise, o dal “doğru” bir daldır. Çizelgede en az bir doğru dal ortaya çıkarsa, tamamlanmamış dallar kalmış olsa bile, önermenin bize verilen modelde doğru olduğunu söyleyebiliriz. Çizelgede tüm dallar yanlış ise, önerme bize verilen modelde yanlıştır.
Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önermenin bir modeldeki doğruluk değerini hesaplarken, başvurulması zorunlu olmayan ama çizelgeyi olabildiğince basit tutmak ve böylece hata yapmaktan kaçınmak için “öncelik kuralları” izlenir. Bu kurallar şunlardır:
• Niceleyici-değilleme kuralları tüm kurallardan önce uygulanmalıdır. • Tümel-nicelemenin açılımı kuralı tikel- nicelemenin açılımı kuralından önce uygulanmalıdır. • Önerme eklemleri elenirken, alt alta yazma gerektiren kurallar çatal açma kurallarından önce uygulanmalıdır. • Bir niceleyici kuralı ile önerme eklemi kuralı arasında seçim yapmamız gerektiğinde de, alt alta yazma gerektiren kural çatal açma kurallarından önce uygulanmalıdır. Örneğin, dalda bir tümel- niceleme ve bir tikel-evetleme önermesi varsa, önce tümel-nicelemenin açılımı kuralı uygulanmalıdır.
Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik önermenin bir modelde doğruluk değerini hesaplarken, çizelgede en az bir doğru dal ortaya çıkarsa, önerme bize verilen modelde doğrudur. Çizelgede tüm dallar yanlış ise, önerme bize verilen modelde yanlıştır.
Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önermenin modelini oluştururken, açılım kuralları yerine, tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallarına başvurulur.
Tümel özellemede çözümleyici çizelge ile model oluştururken, bir dalda ∀ν A biçiminde bir önerme ortaya çıktığında, o dalda ortaya çıkmış her s elemanı için A (s) ifadesi dala eklenmelidir. Tikel özelleme de ise çözümleyici çizelge ile model oluştururken bir dalda ∃ν A biçiminde bir önerme ortaya çıktığında, o dalda ortaya çıkmamış yeni bir s elemanı için A (s) ifadesi dala
eklenmelidir. Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önerme için bir model bulmak için,
1. Önermede her S ad sembolü yerine s elemanını yazarız: A yerine a, B yerine b, ... gibi. Bir ad sembolünün her geçtiği yere aynı eleman konmalıdır.
2. 1 numaralı kök noktasına elde ettiğimiz ifadeyi yazarız.
3. Tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallarını, tümel ve tikel-nicelemelerin değillenmesi kurallarını ve önerme eklemlerine ait kuralları uygulayarak ilerleriz. Burada özellikle dikkat etmemiz gereken nokta şudur: Dalda ortaya çıkan her eleman için o daldaki her ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kuralı uygulanmalıdır. Bir ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kuralı uygulandıktan sonra da dalda yeni bir eleman ortaya çıkarsa, ∀ν A ifadesine o eleman için de tümel-özelleme kuralı uygulanmalıdır.
4. Bir dalda ilerlerken, bir ifade ve onun değili ortaya çıkarsa o dal kapalıdır ve bu durum o dalın, sonuna × (çarpı) işareti konarak kapanmasıyla belirtilir.
5. İşlem uygulanacak bir ifade kalmadığı halde kapanmayan bir dal açık bir daldır. Bu durum o dalın sonuna bir ü işareti konarak gösterilir.
6. Bir önermenin çözümleyici çizelgesinde tamamlanmış (işlem uygulanacak bir ifade kalmamış dal) bir açık dal (bir ifade ve onun değilini bulundurmayan bir dal) ortaya çıkarsa, bu dallardan herhangi birine göre önermenin bir modeli oluşturulabilir: Modelin evreni o dalda ortaya çıkan elemanlardan oluşmalıdır. Ad sembolleri, ilk aşamada yerlerine konan elemanlarla eşleştirilir: AM = a, BM = b, …
Yüklem sembollerinin yorumlanmasında, o dalda ortaya çıkan Ys ve ~Ys biçimindeki ifadelere bakılır. Dalda bir Ys ifadesi varsa modelde s ∈ YM olmalı, ~Ys ifadesi varsa modelde s ∉ YM olmalıdır. Dalda ortaya çıkmış
bir eleman ne Ys ne de ~Ys ifadesinde ortaya çıkmamış ise, bu Y yüklemi için s ∈ YM veya s ∉ YM olarak karar verebiliriz. Böyle bir durum
ortaya çıktığında, modeli basit tutmak için s ∉ YM seçeceğiz. Bu zorunlu değildir. s ∉ YM
olmasının zorunlu olduğu tek durum, modeli kendisine göre oluşturduğumuz açık dalda ~Ys ifadesinin olmasıdır.
Modeli oluştururken bir tek açık dala bakarak ilerlememeye dikkat ediniz. Birden çok açık dala bakarak model oluşturmak yanlıştır. Çizelgedeki tamamlanmış her açık dal ayrı ele alınmalıdır. Çözümleyici çizelge ile model oluşturmaya çalışırken, olabildiğince fazla dal elde etmeye çalıştığımızdan, çatal açma kurallarının alt alta
yazma kurallarına önceliği vardır. Ayrıca, tikel-özelleme kuralı tümel-özelleme kuralından önce uygulanmalıdır. Nicelemeli bir sembolik önerme için, çözümleyici çizelge yöntemi ile model oluşturma kurallarıyla bulduğumuz modelde önermenin doğru olması gerekir. Bunu da, daha önce gördüğümüz açılım yöntemiyle ya da, sayfa 139’daki örnekte gördüğümüz gibi, çözümleyici çizelge ile gerçekleştirebiliriz.
Nicelemeli bir A sembolik önermesinin bir karşı modelini oluşturmak demek ~A önermesinin bir modelini oluşturmak demektir. Dolayısıyla, çözümleyici çizelge yöntemi ile A önermesinin bir karşı-modelini oluşturmak için, ~A önermesinde her S ad sembolü yerine s elemanını koyarak elde ettiğimiz ifadeyi 1. numaralı kök noktasına koyarak çizelgeyi oluşturmaya başlar ve model oluştururken belirttiğimiz (3)-(6) kurallarını aynen uygularız.
Nicelemeli bir sembolik önermenin geçerli olduğunu göstermek için, önermenin değilinin model oluşturma kurallarına göre oluşturulan tamamlanmış çözümleyici çizelgesinin kapalı olması gerekir. Çözümleyici çizelge ile geçerlilik denetlemesi yaparken, alt alta yazma kurallarının çatal açma kurallarına, tikel-özelleme kuralının tümel özelleme kuralına önceliği vardır.
A ve B önermelerinin niceleme mantığı bakımından eşdeğer olması, bu iki önermenin tüm modellerde aynı doğruluk değerini almaları demektir. Bu ise, (A ↔ B) önermesinin niceleme mantığında geçerli olması demektir. Herhangi iki A ve B nicelemeli sembolik önermesinin niceleme mantığı bakımından eşdeğer olduğunu çözümleyici çizelge yöntemi ile göstermek için ~(A ↔ B) önermesinin çözümleyici çizelgesinin kapalı olduğunu ortaya koymamız gerekir.
Nicelemeli Sembolik Çıkarımlar ve Çözümleyici Çizelgeler
Bir çıkarımın geçersiz olması, en az bir modelde tüm öncüllerin doğru olmasına rağmen sonuç önermesinin yanlış olmasıdır. Bir başka deyişle, bir çıkarımın geçerli olması, bu çıkarımın öncüllerinin sonuç önermesinin değili ile birlikte tutarlı olmasıdır. Bir çıkarımın öncüllerinin sonuç önermesinin değili ile birlikte tutarlı olduğunu ortaya koyan bir model çıkarımın bir karşı- modelidir. Bir çıkarımın geçerli olduğunu göstermek için, çıkarımın bir karşı-modeli olmadığını ortaya koymamız gerekir.
Çözümleyici çizelge yöntemiyle sonlu sayıda bir grup önermenin birlikte tutarlı olduğunu göstermek için, bu önermelerden ad sembolleri yerine elemanların konmasıyla elde edilen ifadeleri, kök noktasından itibaren alt alta yazar ve ardından model oluşturma kurallarına göre ilerleriz. Çizelgede tamamlanmış ve açık bir dal olması durumunda, bu dala göre bu önermeleri birlikte doğru yapan bir model oluşturabileceğimizden, bu önermeler birlikte tutarlıdır. Çizelge tamamlandığında tüm dallar kapanıyorsa, bu önermelerin tümünü doğru yapan
bir model yoktur ve dolayısıyla bu önermeler birlikte çelişiktir.
Nicelemeli bir sembolik çıkarımın geçersiz olduğunu ortaya koyan bir karşı-modelini bulmak için, öncüller ve sonucun değilinde her S ad sembolü için s elemanını koyarak (aynı ad sembolünün çıkarımdaki her geçişi yerine aynı elemanı koymaya dikkat ederek), önermeler için model oluşturma kuralları olarak verdiğimiz (2)-(6) kurallarına göre ilerleriz. Çizelgede tüm dallar kapanırsa (yani çizelge kapanırsa) çıkarım geçerlidir. Çizelgede tamamlanmış bir açık dal kalırsa, önermeler kısmında gördüğümüz kurallara uygun olarak, çıkarımın bir karşı- modelini bu dala göre oluşturabiliriz. Çıkarımın karşı- modelini bulmaya çalışıyorsak, mümkün olduğunca fazla açık dal elde etmek için çatal açma kurallarını önce uygulamaya dikkat ederiz. Çıkarımın geçerli olduğunu, yani karşı-modeli olmadığını göstermeye çalışırken ise, alt alta yazma kurallarını önce uygularız. Hem karşı-model bulurken, hem de geçerliliği ortaya koyarken, tikel- özellemenin tümel-özellemeye önceliği vardır.