MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 7: Niceleme Mantığında Sembolleştirme ve Çeviri
Sembolleştirme
Niceleme mantığının sembolik dili, gündelik dildeki tümel ve tikel-niceleme ifadelerini de temsil ederek, gündelik dildeki akıl yürütmelerimizi daha güçlü biçimde denetleyebilmemizi sağlar.
Gündelik dildeki bir önerme veya çıkarımı niceleme mantığında denetlemek, bu önerme veya çıkarımın semantik statüsünü (geçerlilik, geçersizlik, tutarlılık, olumsallık durumunu) niceleme mantığı bakımından ortaya koymak demektir. Bu denetlemeyi doğru biçimde yapmamız, gündelik dildeki nicelemeli bir önermeyi niceleme mantığında doğru olarak sembolleştirmemize yani, bu gündelik dil önermesinin niceleme mantığının dilindeki doğru sembolik karşılığını bulmamıza bağlıdır.
Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir. F ve G, “insan”, “canlı” gibi, herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
• Her F G dir.
• Hiçbir F G değildir.
• Baz› F ler G dir.
• Baz› F ler G değildir.
Yukarıda belirtilen dört kategorik önerme biçiminin sembolik karşılıklarını ise aşağıdaki şekilde ifade ederiz.
• Her F G dir:∀x (Fx → Gx)
• Hiçbir F G değildir:∀x (Fx → ~Gx)
• Bazı F ler G dir:∃x (Fx∧ Gx)
• Bazı F ler G değildir:∃x (Fx∧ ~Gx)
Önermeler mantığında olduğu gibi, niceleme mantığında da sembolleştirme ancak bir sembolleştirme anahtarına göre yapılabilir. Önermeler mantığında, sembolleştirme anahtarı basit önermelerin önerme değişkenleri ile eşleştirilmesi ile belirtiliyordu. Niceleme mantığında ise, bir önerme için bir sembolleştirme anahtarı, bu önermede geçen yüklemlerin yüklem sembolleriyle, adların da ad sembolleriyle eşleştirilmesi ile belirtilir. Kullanacağımız yöntem bakımından, yüklemler yerine a,b,... değişkenleri yardımıyla, “yüklem ifadeleri” kullanacağız. Örneğin, “insandır” yüklemine ait bir yüklem ifadesi “a bir insandır” gündelik dil formülü, “sarıdır” yüklemine ait bir yüklem ifadesi “b sarıdır” gündelik dil formülüdür. Bir gündelik dil önermesini, aşağıdaki adımları izleyerek sembolleştireceğiz:
1. adımda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel- niceleme ifadelerinin ve önerme eklemlerinin eş anlamlıları, standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek, noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilir. Önermeler mantığında
olduğu gibi, bu işlem sonucunda elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerleştirilir.
3. adımda, “x bir insandır”, “Ahmet bir öğrencidir” gibi, X bir değişken veya ad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri yerine, “{a bir insandır}x” ve “{a bir öğrencidir}Ahmet” ifadeleri gibi, {Y}X ifadesi konur.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen yüklem sembolleri konur.
5. adımda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.
6. adımda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kaldırılabilir.
Yukarıda adım adım açıklanan sembolleştirme anahtarına göre bir önermenin niceleme mantığında sembolleştirilmesini sayfa 115’deki örnek üzerinde inceleyebilirsiniz.
Nicelemeli bir gündelik dil önermesinin niceleme mantığı bakımından denetlenmesi demek, bu önermenin sembolleştirilmesinin niceleme mantığında denetlenmesi demektir. Önermenin sembolleştirilmesinin niceleme mantığına göre geçerli, tutarlı, olumsal, çelişme olmasına göre, gündelik dil önermesi niceleme mantığı bakımından geçerli, tutarlı, olumsal ya da çelişme olur. Nicelemeli bir gündelik dil çıkarımının niceleme mantığı bakımından denetlenmesi, bu çıkarımın sembolleştirmesinin niceleme mantığında denetlenmesi demektir. Çıkarımın sembolleştirmesinin niceleme mantığına göre geçerli veya geçersiz olmasına göre, gündelik dil çıkarımı niceleme mantığı bakımından geçerli veya geçersizdir.
Gündelik Dile Çeviri
Nicelemeli bir sembolik önermenin gündelik dildeki karşılığını oluşturduğumuzda, bu sembolik önermeyi gündelik dile çevirdiğimizi söyleriz. Gündelik dile çevirme işlemini de, sembolleştirmede olduğu gibi adım adım gerçekleştireceğiz.
Önermeler mantığında olduğu gibi, niceleme mantığında da gündelik dile çeviri ancak bir çeviri anahtarına göre yapılabilir. Niceleme mantığında, sembolik bir önerme için bir çeviri anahtarı, bu önermede geçen yüklem sembollerinin yüklem ifadeleriyle, ad sembollerinin ise adlar ile eşleştirilmesiyle belirtilir.
Gündelik dile çevirme işlemi, sembolleştirme işleminin tersi olduğundan, sembolik bir önermeyi gündelik dile çevirirken, sembolleştirmede izlediğimiz adımları tersine çeviririz. Gündelik dile çeviri adımlarını açıkça sıralayalım:
1. adımda, en dıştaki parantezler hariç, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış olan parantezler eklenir.
2. adımda, ad sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen adlar konur.
3. adımda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur ve hemen yanına da yüklemin uygulandığı değişken veya ad konur.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesi konur.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildeki niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eşanlamlı başka ifadelerle değiştirilir.
Yukarıda açıkladığımız gündelik dile çeviri adımlarını takip ederek bir sembolik önermenin çeviri anahtarına göre gündelik dile çevrilmesini sayfa 120’deki örnek üzerinde inceleyebilirsiniz.
Önermeler mantığında olduğu gibi, gündelik dile çeviri ile nicelemeli bir sembolik önerme veya çıkarımın semantik statüsü hakkında bilgi edinebiliriz. Eğer bir sembolik önermenin gündelik dile bir çeviri anahtarına göre çevirisi yanlış bir gündelik dil önermesi ise, bu sembolik önerme geçersizdir. Eğer bir sembolik önermenin gündelik dile bir çeviri anahtarına göre çevirisi doğru bir gündelik dil önermesi ise, bu sembolik önerme tutarlıdır. Bir sembolik çıkarımın bir çeviri anahtarına göre gündelik dile çevirisi olan çıkarımın öncülleri doğru ancak sonucu yanlış ise, bu sembolik çıkarım geçersizdir.