MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 6: Nicelenmiş Önermelerin Yorumlanması
Modeller
Niceleme mantığında önermelerin yorumlanması için “model” temel kavramdır ve “Model” kavramını ele alabilmek için, kümelerle ilgili en temel kavramları bilmek gerekir.
Küme, varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur. Bir a nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “a nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak “a ∈ S” biçiminde gösterilir. Eğer a nesnesi S kümesini oluşturan nesneler arasında değil ise, “a nesnesi S kümesinin elemanı değildir” denir ve bu durum sembolik olarak “a ∉ S” biçiminde gösterilir. Kümeyi, elemanlarını “{” ve “}” küme parantezleri arasına yazarak gösteririz. Bir kümenin hiçbir elemanının olmaması da mümkündür. Hiçbir elemanı olmayan küme “boş küme” olarak adlandırılır. Boş küme { } sembolü ile gösterilir.
S kümesinin tüm elemanları T kümesinin de elemanları ise, “S kümesi T kümesinin altkümesidir” denir. Bu durum sembolik olarak “S ⊆ T” biçiminde gösterilir.
Model Kavramı: Niceleme mantığında yorumlama modellerle gerçekleşir. Her model bir küme üzerinde oluşturulur. Modelin üzerine kurulduğu küme, modelin “taşıyıcı kümesi” ya da “evreni” olarak adlandırılır.
Bir S kümesi üzerinde, bu kümeyi evren olarak kabul eden bir model oluşturabilmek için, yüklem ve ad sembollerini bu küme üzerinde yorumlamak gerekir. Bir önermeyi, önerme kümesini veya çıkarımı herhangi bir S kümesi üzerindeki bir modelde denetlerken, sadece ele aldığımız önermede, önerme kümesinde veya çıkarımda geçen ad ve yüklem sembollerini S kümesinde yorumlamamız yeterlidir.
Gündelik dilde bir özel adın işlevi belirli bir varlığa işaret ederek, o varlık hakkında konuşmamızı sağlamaktır. Niceleme mantığının sembolik dilinde ad sembolleri gündelik dildeki özel adlar gibi işlev görür. Dolayısıyla, bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması demek o ad sembolünü kümenin bir elemanı ile eşleştirmek demektir
Gündelik dilde bir yüklemin işlevi, kimi varlıkların sahip olduğu, kimi varlıkların ise sahip olmadığı bir özelliği dile getirmektir. Yüklemlerin niceleme mantığının sembolik dilindeki karşılığı, yüklem sembolleridir ve bu nedenle, bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması demek, o yüklem sembolünün kümedeki hangi elemanlara doğru olarak uygulanabileceğini, hangi varlıklara ise doğru olarak uygulanamayacağını belirtmek demektir. Bu da, yüklem sembolünü kümenin bir alt kümesi ile eşleştirmek anlamına gelmektedir. Evrenin yüklem sembolünü eşleştirdiğimiz altkümesi, evrende bu yüklemin belirttiği özelliğe sahip olan nesnelerin kümesidir ve yüklemin o evrendeki “kaplamı” olarak adlandırılır.
S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kümesinde veya çıkarımda geçen her yüklem sembolü için S
kümesinin bir altkümesi ve her ad sembolü için S kümesinin bir elemanından oluşan yapı, bu önermeyi, önerme kümesini veya çıkarımı denetleyebileceğimiz bir modeldir.
Modeller ve Nicelemeli Önermeler
Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki açılımını elde etmekteki temel fikir, hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “konuşma evreni” bu küme olduğunda, önermenin ifade ettiği yargıyı ortaya koymaktır.
F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Her şey F’dir” önermesini ele aldığımızda: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Her şey F’dir” demek, hem a, hem b, hem de c F’dir demek anlamına gelir. “Her şey F’dir” önermesi sembolik olarak ∀x Fx ile gösterildiğine göre, ∀x Fx nicelemeli önermesinin S = {a, b, c} kümesindeki açılımı Fa ∧ Fb ∧ Fc ifadesi olacaktır.
F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Bazı şeyler F’dir” önermesini ele aldığımızda: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Bazı şeyler F’dir” yani “En az bir şey F’dir” demek, “Ya a, ya b, ya da c F’dir” anlamına gelir. Bazı şeyler F’dir” önermesi sembolik olarak ∃x Fx ile gösterildiğinden, ∃x Fx nicelemeli önermesinin S = {a, b, c} kümesindeki açılımı Fa ∨ Fb ∨ Fc ifadesi olacaktır.
∀x Fx ve ∃x Fx nicelemeli önermelerinin S = {a, b, c} kümesindeki açılımı için söylediklerimizi, tüm nicelemeli önermelere ve tüm sonlu kümelere genelleştirmeye çalışırsak, bunun ilk adımı, ∀v A ve ∃v A biçimindeki nicelemeli önermelerin sonlu kümelerdeki açılımını belirlemektir.
S = {a, b, c , ...} ve A içinde sadece v değişkeninin serbest geçtiği bir ifade olsun:
• ∀v A ifadesinin S kümesindeki bir doğrusal açılımı, A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧…ifadesidir. • (b) ∃v A ifadesinin S kümesindeki bir doğrusal açılımı, A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨…ifadesidir.
∀v A ve ∃v A birer önerme ise, A formülünde sadece v değişkeninin serbest geçişleri olabilir. Eğer A formülünde başka bir w değişkeninin serbest geçişleri olsa idi, ∀v A ve ∃v A birer önerme olamazdı çünkü w değişkeninin A formülü içindeki serbest geçişleri ∀v A ve ∃v A içinde hala serbest kalırdı. Örneğin, A = (Fx ∧ Fy) ve v = x olsun. Bu durumda, ne ∀v A ne de ∃v A bir önermedir: Her ikisinde de y değişkeninin serbest geçişleri vardır. Dolayısıyla, ∀v A ifadesi bir önerme ise, S kümesindeki doğrusal açılımının A(a) ∧ A(b) ∧ A(c) ∧…ifadesi, ∃v A ifadesi bir önerme ise, S kümesindeki doğrusal açılımının A(a) ∨ A(b) ∨ A(c) ∨…ifadesi olduğunu söylemek uygundur. Çünkü A(a), A(b), A(c) gösteriminde, a, b, c elemanlarının v değişkeninin yerine konacağı açıktır.
Bir önermede geçen ∀v A biçimindeki bir ifadenin açılımını oluşturduğumuzda, bu önermedeki ∀v tümel-
nicelemesini elediğimizi söyleyeceğiz. Aynı şekilde, bir önermedeki ∃v A biçimindeki bir ifadenin açılımını oluşturduğumuzda, bu önermedeki ∃v tikel-nicelemesini elediğimizi söyleyeceğiz.
Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki doğrusal açılımını oluştururken, hangi nicelemenin önce elendiği sonucu değiştirmez. Örnek olarak ∃x ∀y (Fx ∧ Gy) önermesini {a, b} kümesinde açalım. Önce tikel-nicelemeyi elesek, ∀y (Fa ∧ Gy) ∨ ∀y (Fb ∧ Gy) ifadesini, ardından tümel- nicelemeyi eleyerek ((Fa ∧ Ga) ∧ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Gb)) ifadesini elde edecektik. Eğer önce tümel- nicelemeyi elesek, ∃x ((Fx ∧ Ga) ∧ (Fx ∧ Gb)) ifadesini, ardından tikel-nicelemeyi eleyerek yine ((Fa ∧ Ga) ∧ (Fa ∧ Gb)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∧ (Fb ∧ Gb)) ifadesini elde edecektik.
Nicelemeli bir önermeden bir niceleyicinin nasıl eleneceğini gördüğümüze göre, tüm nicelemeli önermelerin sonlu bir kümede açılımını oluşturabiliriz. Çünkü tüm nicelemeli önermeler nicelemesiz formüllerden niceleyiciler ve önerme eklemleriyle elde edilmektedir.
Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir “doğrusal açılımı” olarak adlandırılır.
Nicelemeli Önermeler İçin Model ve Karşı-Model Oluşturulması: Niceleme mantığında yaygın olarak, bir önermenin doğrulayıcı yorumlaması yerine bu önermenin bir “modeli”, yanlışlayıcı yorumlaması yerine “karşı- modeli” ifadelerini kullanılmaktadır. A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumlandığı ve A önermesinin doğru olduğu bir M modeli, A önermesinin bir modelidir. Eğer A önermesinin bir modelini oluşturmak istiyorsak, oluşturacağımız M modelinin evreni olmak üzere bir S kümesi seçip, bu kümede A önermesinin açılımını oluşturduktan sonra, ad ve yüklem sembollerini, A önermesinin açılımını doğru yapacak şekilde yorumlamak gerekir.
A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumlandığı ve A önermesinin yanlış olduğu bir M modeli A önermesinin bir karşı-modelidir. A önermesinin bir karşı modelini oluşturmak için, oluşturacağımız M karşı modelinin evreni olmak üzere bir S kümesi seçip bu kümede A önermesinin açılımını oluşturduktan sonra, ad ve yüklem sembollerini A önermesinin açılımını yanlış yapacak şekilde yorumlamamız gerekir. Model ararken olduğu gibi, bir elemanlı bir kümeyle başlayıp, gerektikçe eleman sayısını arttırmalıyız.
Tüm modellerde doğru olan bir nicelemeli önerme, niceleme mantığında “geçerli” bir önermedir. Model oluşturma yöntemi, nicelemeli önermelerin geçerliliğini göstermek için de kullanılabilir: Eğer içinde n tane yüklem sembolü geçen bir önerme için, en çok 2n elemanlı bir kümede karşı-model oluşturulamazsa, bu önermenin karşı- modeli yoktur. Dolayısıyla, bu önerme niceleme
mantığında geçerli bir önermedir. Ancak kullanışlı olmadığından, bunu bir yöntem olarak geliştirmeyeceğiz.
Modeller ve Nicelemeli Çıkarımlar
Önermeler mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için, çıkarımın doğruluk tablosunu yaparak, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir doğruluk değerlemesi bulmak yeterlidir. Niceleme mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir “karşı-model” oluşturarak gösterebilir. Bir çıkarımın bir karşı-modeli varsa, bu çıkarım niceleme mantığında geçersizdir. Çıkarımın karşı-modeli olmayan tüm modeller çıkarımın bir modeli kabul edilir.
Bir çıkarımın karşı-modelini oluştururken tüm önermeleri aynı modelde değerlendirmek gereklidir. Öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu ayrı modeller oluşturmakla çıkarımın geçersiz olduğu gösterilemez. Bu nedenle, çıkarımın geçersiz olduğunu gösteren bir karşı-model oluşturmaya çalışırken aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
1. Sonlu bir S kümesi seçilmeli,
2. Çıkarımı oluşturan tüm önermelerin A kümesindeki bir doğrusal açılımını oluşturmalı.
3. Elde edilen ifadede, bileşenlere öncülleri doğru, sonuç önermesini yanlış yapacak şekilde doğruluk değeri vermeye çalışılmalı.
4. Elde edilen doğruluk değerlemesine göre, ad sembollerine karşılık gelecek elemanları ve yüklemlerin kaplamları belirlenmeli.
Bu yöntem, nicelemeli çıkarımların geçerliliğini göstermek için de kullanılabilir: Eğer içinde n tane yüklem sembolü geçen bir çıkarım için, en çok 2n elemanlı bir
kümede karşı-model oluşturulamazsa, bu çıkarımın karşı- modeli yoktur. Dolayısıyla, bu çıkarım niceleme mantığında geçerli bir önermedir. Önermeler kısmında belirttiğimiz gibi, kullanışlı olmadığı için, bunu bir yöntem olarak geliştirmeyeceğiz. Niceleme mantığında çıkarımların geçerlilik denetlemesini sekizinci ünitede ele alacağımız çözümleyici çizelge yöntemiyle gerçekleştireceğiz.