MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 5: Yüklemler ve Niceleyiciler
Gündelik Dilde Nicelemeli Önermeler
İfade gücü yüksek bir mantık sistemi olan niceleme mantığında, “her” kelimesi ile ifade edilen tümel niceleyici ve “bazı” kelimesiyle ifade edilen tikel niceleyici olmak üzere iki temel niceleyici olduğu kabul edilmektedir.
Tümel niceleyiciyi gündelik dilde ifade etmek için “her”, “tüm” ve “bütün” kelimeleri kullanılır. Gündelik dilde tikel niceleyiciyi ifade etmek için “bazı”, “kimi” ve “en az bir” ifadeleri kullanılır. “bir kelimesi kullanıldığı yere göre hem tümel hem tikel niceleyici görevi görebilmektedir.
Önerme eklemlerini birlikte ya da bir önerme eklemini birden çok kez önermelere uygulayabilir, bir önermede niceleyici ifadeleri birlikte kullanabilir ya da bir niceleyici ifadeyi birden çok kez uygulayabiliriz. Nicelemeli önermeler “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi ikili önerme eklemleri kullanılarak nicelemeli veya nicelemesiz önermelerle birleştirilebilir. Niceleyicilerle karmaşık önermeler elde etmek için bileşik önermeler nicelenebilir.
Nicelemeli önermelerin değillenmesinde, tümel nicelemeler ele alındığında “her F G dire önermesinin değili olarak “bazı F G değildir” önermesi kullanılır. Tikel nicelemeli önermelerin değillenmesinde “bazı F G dir” önermesinin değili “hiçbir F G değildir” önermesidir.
En az bir nicelemeli önerme içeren çıkarımlara “nicelemeli çıkarım” denir. Önermeler mantığı ile sezgisel olarak apaçık geçerli kimi çıkarımların biçimsel geçerliliğini ortaya koyulamaz. “Tüm”, “bazı” ifadelerini ve özne yüklem yapısını ortaya koyan bir mantık sistemi olan niceleme mantığı bu sebeple önemlidir.
Niceleme Mantığının Sembolik Dili
Bir sembolik dilin belirlenmesi için, bu dilde kullanılan semboller belirtilmeli ve bu sembolleri düzgün ifadeleri oluşturmak için hangi şekillerde bir araya getirilebileceği tanımlanmalıdır.
Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir: • Önerme eklemleri: ~, ∧ , ∨ , → , ↔ • Birey değişkenleri: x, y, z , ... • Ad sembolleri: A, B, C , ... • Yüklem sembolleri: F, G, H , ...
• Tümel-niceleyici: ∀ (“her” olarak okunur). Tikel-
niceleyici: ∃ (“bazı” olarak okunur) • Parantezler: (, ).
Niceleme mantığının düzgün deyimleri “terimler” ve “formüller” olmak üzere iki gruba ayrılır. Her bir birey değişkeni ve ad sembolü dışında hiçbir sembol dizisi terim değildir.
t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür. Bunun gibi sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan formüllere “basit formül”, “atomik
formül” ya da atom denir. Bunun dışındaki formüllere “bileşik formül” denir.
• A bir formül ise ~ A bir formüldür. • A ve B birer formül ise, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ↔ B) ve (A →B) birer formüldür.
• ν bir değişken A bir formül ise, ∀νA ve ∃νA birer formüldür, • Bunlar dışında hiçbir sembol dizisi formül değildir.
“∀” ve “∃” sembollerine niceleyici denirken bir niceleyici ve bir v değişkeninden oluşan ifadelere “niceleme” denir.
Ad sembolleri belirli varlıklara işaret ederken yüklem sembolleri varlıkların özelliklerini belirtir. Birey değişkenleri gündelik dildeki “bu”, “şu” zamirleri gibi yer tutucu bir işlev görürler ama belirli varlıklara işaret etmezler.
Bir nicelemenin bir formüldeki etki alanı, o nicelemeyi izleyen formüldür.
Bir ν değişkenin bir formüldeki geçişi, bir ∀ν veya ∃ν nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin “bağlı”
geçişidir. Eğer, ν değişkeninin bu geçişi ne ∀ν ne de ∃ν nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir.
Tüm değişken geçişleri bir aynı değişkenle yapılan bir nicelemenin etki alanında olan formüller niceleme mantığının önermeleridir. Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında “kapalı formül” veya “önerme” olarak tanımlanır. En az bir serbest değişkeni olan bir formül “açık formül” olarak tanımlanır.
Bir ν değişkeninin serbest geçişlerini içeren bir açık formüle kapalı bir formüle dönüştürmenin iki yöntemi bulunmaktadır: Formülü ∃ν ya da ∀ν ile nicelemek veya ν değişkeninin serbest geçişleri yerine bir ad sembolü koymak.
Niceleme mantığında, aynı değişkenin hem serbest hem de bağlı geçişlerini içeren bir formülü, bu değişkenin sadece serbest geçişleri olan eş değer bir formülle ifade edilebilir.
Niceleme mantığında, bir önermenin totoloji olması durumuna benzer bir şekilde, bir önermenin geçerli olması bu önermenin tüm yorumlamalarda doğru değerini alması, iki önermenin eşdeğer olması da, bu önermelerin tüm yorumlamalarda aynı doğruluk değerini almaları biçiminde tanımlanır.
Totolojilerden önerme değişkenleri yerine niceleme mantığının önermelerinin konmasıyla elde edilen niceleme mantığı önermeleri niceleme mantığında geçerli önermelerdir. Aynı durum içerme ve eşdeğerlik için de geçerlidir.
Bir önermede ∀ν veya ∃ν nicelemesine bağlı tüm değişkenlerin yerine önermede geçmeyen bir w değişkeni konur ve söz konusu ∀ν veya ∃ν nicelemesinin yerine
∀w veya ∃w konursa, elde edilen önerme ilk önerme ile eşdeğerdir.
Tüm niceleyicileri başta olan ve ardından nicelemesiz bir formül gelen formüller ön-nicelemeli normal biçimde formüllerdir. İçinde hiçbir niceleyici geçmeyen bir formülün ön-nicelemeli normal biçimi kendisine eşittir.
Niceleme mantığında, P formülünün ön nicelemeli normal biçimini oluşturmak için sırasıyla;
• Önce koşul ve karşılıklı koşul eklemleri elenerek önerme sadece değilleme, tümel-evetleme ve tikel- evetleme eklemlerini içeren bir biçime dönüştürülür. • Eşdeğerliklerden uygun olanları, önermede tüm değilleme eklemleri sadece atomik formüllere uygulanacak hale getirilir. • Gerekli bağlı değişkenler, bir değişkenin hem bağlı hem de serbest geçmesini ve aynı değişkenin birden çok nicelemede geçmesini engellemek amacı ile formülde hiç geçmeyen değişkenlerle değiştirilir. • Tüm niceleyiciler önermedeki geçiş sıralarına göre başa geçirilir.