MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 4: Önerme Eklemleri Mantığında Çözümleyici Çizelge Yöntemi
Giriş
İkinci ünitede, bir önermenin doğruluk tablosunun nasıl oluşturulduğu, doğruluk tablosu yöntemi ile bir önermenin semantik statüsünün nasıl belirlendiği ve bir çıkarımın geçerliliğinin nasıl denetlenebileceği incelendi.
Bu ünitede ise önermeler mantığı için bir diğer denetleme yöntemi olan çözümleyici çizelge yöntemini inceleyeceğiz.
İlk kısımda, çözümleyici çizelgenin ne olduğu, neden gerek duyulduğu, önerme eklemeleri için kurallarının ne olduğunu göreceğiz.
İkinci kısımda, önerme eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallarını kullanarak, bir önermenin çözümleyici çizelgesinin nasıl oluşturulduğunu göreceğiz.
Üçüncü kısımda, bir çıkarımın çözümleyici çizelgesini oluşturmayı ve çözümleyici çizelgeleri çıkarımların denetleme yöntemi olarak kullanmayı göreceğiz.
Çözümleyici Çizelgeler
İkinci ünitede incelenen doğruluk tablosu yöntemi ile bir önermenin semantik statüsü belirlenebiliyordu ve bir çıkarımın geçerliliği denetlenebiliyordu. Fakat doğruluk tablosu yöntemi, önermeler mantığı için çok fazla değişkeni hesaba katması gerektiğinden çok kullanışlı bir yöntem değildir. Bu sebeple denetleme yöntemlerinden biri olarak, çözümleyici çizelge yöntemi geliştirilmiştir.
Çözümleyici çizelge yönteminde, her önerme için; çözümleyici çizelge kuralları tanımlanır ve her önerme, ana-eklemine ait kurala göre işlem görür.
Çözümleyici çizelgenin ana fikri; bir önermenin çözümleyici çizelgesi, bu önermenin doğru olması için gereken koşulların bir çizgesini (grafiğini) vermesidir.
Çözümleyici çizelge kurallarından ilki, alt alta yazmadır. Bu kurala göre, mevcut dala yeni bir ya da iki önerme eklememizi gerekir. İkincisi, çatal açmadır. Bu kurala göre de çizelgeye iki yeni dal eklenmesi gerekir.
Kural, önermenin;
1. Tümel-evetleme (A˄B), değillemesi ~(A˄B) ya da (~A˅~B), 2. Tikel-evetleme (A˅B), değillemesi ~(A˅B) ya da (~A˄~B), 3. Koşul eklemi (A→B), değillemesi ~(A→B) ya da (A˄~B), 4. Karşılıklı koşul eklemi (A↔B), değillemesi ~(A↔B) ya da ((A˄~B) ˅(~A˄B)), 5. Çifte değilleme kuralı (~~A) ya da A, olmasına göre farklı farklı şekillerde tanımlanmaktadır.
Çözümleyici Çizelge İle Önermelerin Denetlenmesi
Bir Önermenin Çözümleyici Çizelgesinin Oluşturulması: Sembolik önermeler mantığında her sembolik önermenin
bir tek biçimi ve bileşik önerme ise, bir tek ana-eklemi vardır ve kesinlikle bir bileşik önermenin biçimi; ~A, (A˄B), (A˅B), (A→B), (A↔B), şeklinde gösterilen sembollerden biridir. Sembolik önermeler mantığında her hangi bir sembolik önerme:
a. Ya bir önerme değişkeni, ya bir değilleme önermesi, ya bir tümel-evetlemeli önerme, ya bir tikel-evetlemeli önerme, ya bir koşul önermesi, ya da karşılıklı-koşul önermesidir ve b. Bu biçimlerden sadece birine sahiptir.
Bu sentaktik özellik, sembolik önermeler mantığının dilinin “tekbiçimcilik” olarak adlandırılmasıdır ve bir sembolik önermeye hangi kuralı uygulayacağımızdan emin olmamızı sağlar.
Çizelge oluşturulurken çizelgedeki her numaralı önermeye bir “nokta”, 1. numaralı noktaya çizelgenin “kökü”, kökten en aşağıya kadar birbirini izleyen noktalara da bir “dal” adı verilir. Örneğin önerme eğer bir önerme değişkeni ise, çözümleyici çizelgesi aşağıdaki şekildeki gibi gösterilir:
1. A
Eğer kökteki önerme bir bileşik önerme olsaydı, o önermenin ana-eklemine ait çözümleme kuralına göre devam edilmesi gerekecek ve dallar oluşturulacaktı. Hangi çözümleyici kuralın uygulandığının belirtilmesi gerekmemekle birlikte, buna karşın çizelgeye yazdığımız her bir önermenin numarasını ve bu önermenin hangi noktaya çözümleyici çizelge kuralı uygulandığı için yazıldığı belirtilmelidir.
n. A (k)
a. n. kökten itibaren sayıldığında A önermesinin kaçıncı önerme olduğunu, b. (k) sayısı A önermesinin hangi noktadaki önermeye kural uygulayarak elde edildiğini gösterir.
Fakat bir dalda ilerlerken, sadece o daldaki önermelere işlem uygulamaya dikkat edilmelidir.
Hem A hem ~A önermesi içeren bir dal “kapalıdır” denir. Çünkü bir dalda birbirinin değili olan iki önerme bulunmaktadır. Böyle bir durumda, o dalda devam edilmeden dalın altına x (çarpı) işareti konulur ve bu işaretin yanına o dalın hangi iki noktasının birbirinin değili olduğu belirtilir. Çizelge tamamlandığında tüm dalları kapanan bir çizelge kapalıdır. Bir dal kapanmış ise, ya da işlem uygulanmamış hiç bir bileşik önerme içermiyor ise o dal tamamlanmış bir daldır. Tüm dalları tamamlanmış bir çizelge tamamlanmıştır.
Çözümleyici Çizelge ile Bir Önermenin Doğruluk Değerinin Denetlenmesi: Çözümleyici çizelgesini yaparak, bir önermenin bir doğruluk değerlemesindeki doğruluk değerini hesaplayabiliriz.
1
Çizelgenin köküne önerme yazılır ve çözümleyici çizelge kurallarına göre ilerlenir. Bir daldaki önerme değişkenine ya da değillemesine, doğruluk değerleri yazılır. Dalda, Y değeri çıkarsa o dal, yanlıştır ve o dalda ilerlenemez. Tamamlanan bir dalda hepsi D değeri almışsa o dal, doğrudur. Çizelge bittiğinde en az bir dal doğru ise önerme doğruluk değerlendirmesinde doğrudur. Ya da çizelge yapılırken tamamlanmış bir dal doğru ise, devam etmeden, önermenin verilen doğruluk değerinin doğru olduğu ifade edilir. Ancak eğer tüm dallar yanlış ise önerme yanlıştır.
Çözümleyici Çizelge İle Bir Önerme İçin Doğrulayıcı Yorumlama Oluşturulması: Bir sembolik önermenin çözümleyici çizelgesindeki açık kalan tamamlanmış dallara göre önerme için doğrulayıcı yorumlama oluşturabiliriz. Çizelge tamamlandığında, kapanmadan kalan her dal o önerme için bir doğrulayıcı yorumlama sağlayacaktır. Doğrulayıcı yorumlama da aşağıdaki şekilde oluşturulur:
a. Bir önerme değişkenine D değeri verilir, ancak ve ancak açık kalan dalda bir önerme değişkeni değillemesiz olarak geçiyor ise. b. Bir önerme değerine Y değeri verilir, ancak ve ancak açık kalan dalda önerme değişkeni değillemeli olarak geçiyor ise. c. Bir önerme değişkeni önermede geçtiği halde, açık kalan tamamlanmamış bir dalda bu önerme değişkeni ne değillemeli ne de değillemesiz olarak geçmiyor olabilir. Bu durumdaki değişkenlere istenilen değer verilebilir. Bu da iki ayrı doğrulayıcı yorumlamama sağlar.
Tamamlanmış açık dala göre yorumlama, o dalda geçemeyen önerme değişkenlerinin değerine D/Y yani “hem D hem de Y değeri alabilir” anlamında belirtilerek yazılır.
Bir önermenin çizelgesinde tamamlanmış bir açık dal varsa, direk bu açık dala göre bir doğrulayıcı yorumlama yazılır.
Tamamladığımız bir çözümleyici çizelgeye göre, doğrulayıcı yorumlama yazarken, sadece bir açık dala göre yorumlama oluşturmaya dikkat etmeliyiz. Bir açık dala göre bir önerme değişkenine, bir başka dala göre bir diğer önerme değişkenine değer atamak başlangıçta sık yapılan hatalardan biridir.
Çözümleyici Çizelge İle Bir Önerme İçin Yanlışlayıcı Yorumlama Oluşturulması: Bir önermenin yanlışlayıcı yorumlaması o önermeyi yanlış yapan doğruluk değerlemesidir. Bir önermenin yanlış olması, önermenin değilinin doğru olması demektir. O halde A önermesi için yanlışlayıcı yorumlama aramak, ~A önermesi için doğrulayıcı yorumlama arama demektir.
Bir A önermesinin totoloji önermesi olup olmaması ~A önermesinin çizelgesi oluşturularak denetlenebilir. Sonuç olarak A önermesinin yanlışlayıcı yorumlaması yok ise bu önerme bir totolojidir. ~A önermesinin en az bir doğrulayıcı yorumlaması var ise A önermesi bir totoloji değildir.
Çizelge oluştururken karşımıza birden çok seçenek çıkar ise, iki ipucuna dikkat etmek gerekir:
a. Birincisi, bu yöntem ile bir önermenin doğrulayıcı ya da yanlışlayıcı yorumlaması araştırılırken, çatal açılmasının gerekli olduğu kurallar, alt alta yazmamız gereken kurallara göre önceliklidir. b. İkincisi ise, bu yöntem ile ~A önermesinin çizelgesinin oluşturulması A önermesinin totoloji olduğunu göstermeye çalışılırken, alt alta yazmamızı gerektiren olduğu kurallar, çatal açmamızı gerektiren kurallara göre önceliklidir.
Özet olarak, ilk ipucunda olabildiğince çok sayıda dal üretilmeli ikicisinde ise olabildiğince az dal üretilerek çizelge tamamlanmalıdır.
Çözümleyici Çizelge İle Çıkarımların Denetlenmesi
Bir çıkarımın geçerli olması demek, tüm öncüllerin doğru olması ve o halde sonucun yanlış olmamasıdır. Bir çıkarımın geçerli olup olmamasını denetlemek, öncüller ile sonuç önermesinin değillemesinin birlikte doğru olup olmyacağını denetlemektir. O sebeple çizelge ile bir çıkarımın geçerliliği, ilk noktalara öncülleri ve sonucun değillemesi yazılarak ve çizelge kurallarına göre ilerlenerek denetlenir. Çıkarımın çözümleyici çizelgesinde tüm dalların kapanması durumunda, öncüller ile sonucun değillemesi birlikte doğru olamayacağından, denetlediğimiz çıkarım geçerlidir.
Bir çıkarımın geçerliliğini çözümleyici çizelge ile denetlerken tepe noktalara alt alta öncülleri ve sonuç önermesinin değilini yazarız. Tüm dallar kapanırsa çıkarım geçerlidir. Tamamlanmış bir dal açık kalırsa çıkarım geçersizdir.
Bir çıkarımın geçerli olması, çıkarımın öncüllerinin sonucunun değillemesi ile birlikte tutarsız olması demektir. Bir çıkarımın geçersiz olmasının da çıkarımın öncüllerinin sonucunun değillemesi ile birlikte tutarlı olması demektir.
Bir grup önermenin birlikte tutarlı olduğunu göstermek için kökten başlayarak bu önermeler alt alta yazılır ve çizelge kurallarına göre ilerlenerek çizelge tamamlanır. Tüm dalların kapandığı durum bu önermelerinin tümünün birlikte doğru olamayacağı anlamına gelir ve bu önermeler birlikte tutarsızdır. En az bir açık dalın kalması durumunda bu dala göre bu önermelerin tümünü birden doğru yapan bir yorumlama oluşturulabilir ve bu önermeler birlikte tutarlıdır.
Çizelge ile bir grup önermenin birlikte tutarlı olduğunun gösterilmesi sırasında çatal açma kurallarının önceliği varken, birlikte tutarsız olduklarının gösterilmesi sırasında ise alt alta yazma kurallarının önceliği vardır.
Çıkarımın geçerliliğinin gösterilmesi için ise, öncüller ile sonucun değilinin birlikte tutarsız olduğunun gösterilmesi gerekir. Çıkarımın denetlemesinde de öncelik alt alta yazma kurallarına aittir.
2