MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 3: Sembolleştirme ve Çeviri
Sembolleştirme
Bir gündelik dil önermesinin semantik statüsünün belirlenmesi ve bir çıkarımın denetlenebilmesi için öncelikle önermeler mantığında sembolleştirilmesi gerekmektedir.
Bir gündelik dil önermesini önermeler mantığında sembolleştirilmesi, gündelik dildeki ifadeye karşılık gelen sembolik önermeyi bulmaktır.
Bir çıkarımı önermeler mantığında sembolleştirmek ise önermelerinin sembolleşmesi ve öncüllerle sonuç arasına ∴ ifadesinin konulması ile gerçekleşir.
Bir gündelik dil önermesindeki her basit önermenin farklı bir sembol karşılığı ile eşleştirildiği listeye “sembolleştirme anahtarı” adı verilir.
Her sembolleştirme bir “sembolleştirme anahtarı” kullanır.
Çifteler ya Eskişehir’in bir ilçesi ya da Ankara’nın bir ilçesidir” önermesini oluşturan basit önermeler “Çifteler Eskişehir’in bir ilçesidir” ve “Çifteler Ankara’nın bir ilçesidir” önermeleridir. Buna göre, bu önerme için bir sembolleştirme anahtarı aşağıda verilmiştir:
p: Çifteler Eskişehir’in bir ilçesidir.
q: Çifteler Ankara’nın bir ilçesidir.
Bir gündelik dil çıkarımının önermeler mantığında sembolleştirebilmek için, ilk olarak, bu gündelik dil çıkarımında geçen tüm basit önermelerin hangi önerme değişkenleriyle karşılanacağının belirlenmesi gerekir. Gündelik dil önermelerinde olduğu gibi, gündelik dildeki çıkarımlarda da sembolleştirme sonucunda hangi sembolik çıkarımın elde edileceği, sembolleştirme anahtarına bağlı olarak değişir.
Kalish-Montague (1980) aşamalı yöntemi ile sırasıyla aşağıdaki işlem basamakları gerçekleştirilir:
1) Önerme eklemlerinin eşanlamları yerine standart önerme eklemleri yazılarak, noktalamaya uygun parantezler yerleştirilir. 2) Önerme eklemlerinin yerine semboller konulur. 3) Basit önermeler yerine sembolleştirme anahtarındaki değişkenler konulur. 4) Gerekli olmayan ve okumayı zorlaştıran parantezler kaldırılır.
“Ali’nin mantık dersinden geçmesinin gerekli bir koşulu, Ali’nin mantık dersine düzenli olarak çalışmış ve tüm alıştırmaları çözmüş olmasıdır” önermesini ele alalım. “A B için gerekli bir koşuldur” önermesinin standart biçimi “B ise A” önermesidir. Önermede, Ali’nin mantık dersine düzenli olarak çalışmış ve tüm alıştırmaları çözmüş olmasının, Ali’nin mantık dersinden geçmesinin gerekli bir koşulu olduğu söylendiğine göre, bu önermenin standart biçimi “(Ali mantık dersinden geçer ise (Ali mantık dersine düzenli olarak çalışmıştır ve Ali tüm alıştırmaları çözmüştür))” ifadesidir.
Sembolleştirmek istediğimiz gündelik dil önermesini standart biçimde ifade ettikten sonraki aşama, standart biçimde geçen, gündelik dile ait önerme eklemleri yerine önerme eklemi sembollerinin konmasıdır.
Yukarıdaki örnekte, ilk adımın sonunda, “Ali’nin mantık dersinden geçmesinin yeterli bir koşulu, Ali’nin mantık dersine düzenli olarak çalışmış ve tüm alıştırmaları çözmüş olmasıdır” önermesinden “((Ali mantık dersine düzenli olarak çalışmıştır ve Ali tüm alıştırmaları çözmüştür) ise Ali mantık dersinden geçer) ” önermesini elde etmiştik. İkinci adımda, önerme eklemlerini sembolleriyle değiştirerek aşağıdaki önermeyi elde ederiz:
((Ali mantık dersine düzenli olarak çalışmıştır ∧ Ali tüm alıştırmaları çözmüştür) → Ali mantık dersinden geçer)
Önermenin sembolik biçimini elde edeceğimiz üçüncü ve son adımda, yapmamız gereken tek şey, basit önermelerin yerine sembolleştirme anahtarında verilen önerme değişkenlerinin konmasıdır.
“Ali’nin mantık dersinden geçmesinin yeterli bir koşulu, Ali’nin mantık dersine düzenli olarak çalışmış ve tüm alıştırmaları çözmüş olmasıdır” önermesini sembolleştirmemiz için bize aşağıdaki sembolleştirme anahtarı verilmiş olsun.
p: Ali mantık dersine düzenli olarak çalışmıştır.
q: Ali tüm alıştırmaları çözmüştür.
r: Ali mantık dersinden geçer.
İkinci adımda elde ettiğimiz ifade de, basit önermeler yerine, bize verilen sembolleştirme anahtarına uygun olarak, önerme değişkenlerini koyarsak aşağıdaki sembolik önerme elde edilir:
((p ∧ q) → r)
Şimdi, eğer istersek, ikinci ünitede belirlediğimiz kurallara uygun olarak kimi parantezleri eleyebiliriz. Buna göre, ((p ∧ q) → r)önermesinden p ∧ q → r sembolik önermesi elde edilir.
Gündelik Dile Çevirme
Bir sembolik çıkarımın geçersiz olduğunu göstermenin yollarından biri, bu sembolik önermenin geçersiz bir gündelik dil çıkarımına çevrilmesidir. Bunun için, çıkarımda geçen önerme değişkenlerinin, çeviri sonunda öncülleri doğru, sonucu yanlış bir gündelik dil çıkarımı elde edilecek şekilde seçilmesi gerekmektedir.
Önermeler mantığının sembolik önermesinin gündelik dil karşılığı, önermenin gündelik dile çevrilmesidir.
Semantik geçerliliğin değerlendirilmesi için sembolik önermelerdeki değişkenlerin gündelik önermeleri ile karşılaştırılmasıdır.
Sembolik önermedeki değişkenlerin gündelik dil karşılıklarını eşleştiren listeye “çeviri anahtarı” denir. Bir sembolik önermenin hangi gündelik dil önermesine çevrileceği verilen çeviri anahtarına bağlıdır.
p ↔ ((~r ∧ s) ∨ (t ∧ q)) sembolik önermesi için bir çeviri anahtarı, p, q, r ve s önerme değişkenlerine hangi gündelik dil önermelerinin karşılık geldiğini bildirecektir.
Buna göre, bu önerme için bir çeviri anahtarı aşağıda verilmiştir:
p: Ali mantık dersini geçebilir.
q: Ali tüm alıştırmaları çözer.
r: Ali sadece sınav öncesinde ders çalışır.
s: Ali derslerine düzenli çalışır.
t: Ali ders notlarını okur.
Bunun için sembolleştirme yöntemi tersten adım adım uygulanır. Bu adımlar aşağıda verilmektedir:
1) Eksik parantezler yerine konulur. 2) Sembolik değişkenler yerine çeviri anahtarına göre gündelik dil önermeleri yerleştirilir. 3) Sembolik eklemler yerine önermesel eklemler yerleştirilir. 4) Parantezler ve eklemler kaldırılarak noktalama işaretleri konulur.
Yukarıdaki örnekte geçen p ↔ ((~r ∧ s) ∨ (t ∧ q)) sembolik önermesini, örnekte verilen çeviri anahtarına göre gündelik dile çevirelim:
1. adım: Eksik parantez olmadığı için, bu adımın sonunda p ↔ ((~r ∧ s) ∨ (t ∧ q)) önermesi aynen kalır.
2. adım: (Ali mantık dersini geçebilir ↔ ((~Ali sadece sınav öncesinde ders çalışır ∧ Ali derslerine düzenli çalışır) ∨ (Ali ders notlarını okur ∧ Ali tüm alıştırmaları çözer)))
3. adım: (Ali mantık dersini geçebilir ancak ve ancak ((Ali’nin sadece sınav öncesinde ders çalıştığı doğru değildir ve Ali derslerine düzenli çalışır) veya (Ali ders notlarını okur ve Ali tüm alıştırmaları çözer)))
4. adım: Ali mantık dersini ancak ve ancak, sadece sınav öncesinde ders çalışmayıp derslerine düzenli olarak çalışır veya ders notlarını düzenli olarak okur ve tüm alıştırmaları çözerse geçebilir.
p ∧ q → r ∴ p → r sembolik çıkarımının geçersiz olduğunu bu çıkarımı geçersiz bir gündelik dil çıkarımına çevirerek gösterelim. Bunun için aşağıdaki çeviri anahtarını kullanabiliriz:
p: Saat 20:00’dır.
q: Mevsim kıştır.
r: Hava kararmıştır.
Bu çeviri anahtarına göre, çıkarımın gündelik dile çevirisini bulalım:
Öncül: p ∧ q → r
1. adım: ((p ∧ q) → r)
2. adım: ((Saat 20:00’dır ∧ Mevsim kıştır) → Hava kararmıştır)
3. adım: ((Saat 20:00’dır ve Mevsim kıştır) ise, Hava kararmıştır)
4. adım: Saat 20:00 ve mevsim kış olduğunda hava kararmıştır.
Sonuç: p → r
1. adım: (p → r)
2. adım: (Saat 20:00’dır → Hava kararmıştır)
3. adım: (Saat 20:00’dır ise Hava kararmıştır)
4. adım: Saat 20:00 olduğunda hava kararır.
Sonuç olarak, p ∧ q → r ∴ p → r sembolik çıkarımının, verilen çeviri anahtarına göre, gündelik dildeki karşılığı, “Saat 20:00 ve mevsim kış olduğunda hava kararmıştır. O halde, Saat 20:00 olduğunda hava kararır.” çıkarımıdır. Gündelik dildeki bu çıkarımın öncülü doğrudur. Hakikaten, kış mevsiminde isek, saat 20:00 da hava kararmış olur. Ancak, sonuç önermesi yanlıştır. Çoğu yaz gününde, saat 20:00 olduğunda bile hava kararmaz. Dolayısıyla bu çıkarım geçersizdir.
Bu ise, p ∧ q → r ∴ p → r sembolik çıkarımının geçersiz olduğunu gösterir.