MNT102U-SEMBOLİK MANTIK
Ünite 2: Önerme Eklemleri
Önerme Eklemleri
Bir varlığın belirli bir niteliğe sahip olduğunu ya da belirli varlıklar arasında belirli bir ilişki olduğunu dile getiren, başka bir deyişle anlamlı ve kesin yargı bildiren tümceler basit önermeler’dir. Basit önermeler, başka bir önermeden türetilmemiş olan önermelerdir. Basit önermeler “değil” ve “ve” gibi ifadelerle birleştirilerek bileşik önerme haline getirilirler. Önermeler birbirlerine eklenerek ya da birleştirilerek yeni önermeler elde edilir ve bunu sağlayan ifadelere de önerme eklemleri denilmektedir. Her önermeye “değil” ifadesi eklenerek ya da iki önerme “ve” ifadesi ile birleştirilerek de yeni bir önerme haline getirilir. Örneğin, “Dünya yuvarlaktır.” ve “Dünya güneşin etrafında döner.” tümceleri anlamlıdır ve yargı bildirdikleri için birer önermedir. “Dünya yuvarlaktır ve (dünya) güneşin etrafında döner” önermesi ile dünyanın hem yuvarlak olduğu hem de güneşin etrafında döndüğü yargısı elde edilir. “Dünya yuvarlak değildir” önermesi ise yeni bir önermeyi ortaya çıkarır.
“Değil”, “ve” vb. önerme eklemlerinin en önemli özelliği birer doğruluk fonksiyonu belirtmeleridir. Doğrusal eklemler ise eklemle oluşturdukları bileşik önermenin doğruluk değerinin bileşen önermelerin doğruluk değerine göre belirlenen eklemlerdir. Doğrusal olmayan eklemlere örnek olarak “için” ifadesi ele alınmış ve iki önerme eklenip yeni bir önerme elde edilmiştir. Yeni önermenin doğruluk değeri sadece “için” ifadesinin anlamına ve birleştirilen iki önermenin doğruluk değerine bakarak belirlenemez. “İçin” ifadesi ile birleştirilmiş iki önermeden oluşan bir önermenin doğruluk değeri sadece mantık bilgisi ile değil, önermenin ait olduğu alan bilgisi ile belirlenmektedir.
Önerme eklemi olarak tanımlanmış ifadeler, gündelik hayatta önerme eklemi olarak yorumlanamayacak biçimde de karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, “Ahmet ve Mehmet kardeştir” önermesi “Ahmet kardeştir ve Mehmet kardeştir” biçiminde yazıldığında doğruluk değeri bakımından anlam değişikliğine uğrar. Artık bu ifadeler doğruluk fonksiyonu olmanın ötesine geçen bir anlamı da bildirmektedirler. Örneğin, “Otomobilini hızla sürmeye devam etti ve yaşlı bir kadına çarptı” önermesinde “ve” ifadesi “ve sonra” anlamında zamansal bir ilişkiyi de belirtir. Önermenin iki bileşeni yer değiştirecek olursa bambaşka bir anlam ortaya çıkacaktır. Bu durumda önermeler sadece önerme ekleminin doğrusal anlamına göre değerlendirilmelidirler.
Temel doğrusal önerme eklemleri ve bunlara yönelik semboller şu şekilde verilmektedir:
• “değil” değilleme eklemi (sembolü: ∼), • “ve” tümel evetleme eklemi (sembolü: ∧), • “veya” tikel evetleme eklemi (sembolü: ∨), • “ise” koşul eklemi (sembolü: →),
• “ancak ve ancak...ise” karşılıklı koşul eklemi (sembolü: ↔)
olarak adlandırılmaktadır. Bileşik önermeler ana eklemlerine göre adlandırılmaktadır. Bileşik önermenin ana eklemi değilleme eklemi ise değilleme önerme, tümel evetleme eklemi ise tümel evetlemeli örnekleme, tikel evetleme örneği ise tikel evetlemeli önerme, koşul eklemi ise koşullu önerme, karşılıklı koşul eklemi ise karşılıklı koşullu önermedir. Koşullama önermesinde özel olarak “ise” ifadesinden önceki bileşen ön bileşen, sonraki önerme ise ard bileşen olarak adlandırılmaktadır.
Günlük kullanılan dilde önerme eklemlerinin eş anlamlıları vardır. O ifade eş anlamlısı olan önerme eklemi gibi kabul edilerek sembolleştirilmelidir.
• Değilleme ekleminin eş anlamlısı ele alınacak olursa, “A değildir” önermesi Türkçe’de yükleme eklenen olumsuzluk eki ile ifade edilir. • Tümel evetlemeli bir önerme olan “A ve B”; hem A hem de B, A olmasına rağmen B, A ama (fakat, ancak) B, A olmasının yanı sıra B biçimlerindeki gibi çeşitlendirilebilmektedir. • Tikel Evetleme eklemi olan “veya” önerme ifadesinde “A veya B” şeklindeyken, ya A ya da B biçiminde de ifade edilebilmektedir. • “A ise B” koşul önermesi ise; eğer A ise B, A (olması) B için yeterli bir koşuldur, B (olması) A için gerekli bir koşuldur, A durumda B olur, A olduğunda B olur eş önermeleri ile aynı yargıyı dile getirmektedir. • “A ancak ve ancak B” karşılıklı koşul önermesi; ancak A olması durumunda (koşuluyla) B, A B için gerekli ve yeterli koşuldur gibi biçimlerde de dile getirilebilmektedir.
Bir önerme ekleminin anlamı, onun doğruluk tablosu ile belirtilmektedir. Tablonun sütunları, ana bileşenlere ve bileşik önerme için birer sütundan oluşurken, satırları ise ana bileşenlerin birlikte alabileceği doğruluk değerlerine karşılık gelmektedir. Öyleyse 1-li eklemin doğruluk tablosu iki satırdan, 2-li eklemin doğruluk tablosu ise dört satırdan oluşmaktadır. Her satırın en sağında bileşik önermenin aldığı doğruluk değeri belirtilir.
• Değilleme eklemi: Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. • Tümel evetleme eklemi: Tümel evetlemeli bir önerme ancak her iki bileşeni de doğru ise doğrudur. Diğer tüm hallerde bu önerme yanlış olacaktır. • Tikel evetleme eklemi: Tikel evetlemeli önermede ancak iki bileşeni de yanlış ise yanlış olur. Diğer tüm hallerde önerme doğrudur. Tikel evetleme eklemi gündelik dilde çoğu zaman seçenekler birbirini dışlayacak biçimde kullanılmaktadır. Örneğin, “Yarın ya alışverişe
gideceğim ya da bir arkadaşımı ziyaret edeceğim.” önermesinde tikel evetlemeyi ifade eden “ya... ya da”, eklemi bu anlamda kullanılmıştır. • Koşul eklemi: Koşullu önerme ancak ön bileşeni doğru, ard bileşeni yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer tüm hallerde önerme doğrudur. Bazı koşullu önermelerde, ön-bileşen ile ard-bileşen anlamca bağımsız önermelerdir. Bu nedenle, önermenin doğru veya yanlış olarak değerlendirilmesi kabul edilmesi zor görülmektedir. Bu ve benzer itirazlara verilebilecek en iyi yanıt, tabloda anlamı belirlenen “→” ekleminin, “ise” sözcüğünün gündelik dildeki anlamını tamamen yansıtma amacını gütmediğini, bu sözcüğün kısıtlanmış bir anlamını ifade ettiğini söylemek olacaktır. • Karşılıklı koşul eklemi: Karşılıklı koşul önerme her iki bileşeni de aynı doğruluk değerini aldığında doğru, bileşenlerinin doğruluk değerleri farklı olduğunda yanlıştır.
Sembolik Önermeler ve Doğruluk Tabloları
Sembolik dil tanımlanırken öncelikle işaretler belirlenmelidir. Bu işaretler bir araya getirildiğinde düzgün bir ifade oluşturabilmesi için dizim kuralları saptanmıştır. Sembolik önerme eklemleri mantığında kullanılan semboller:
• Önerme değişkenleri: p, q, r, ... • Değilleme eklemi: ∼ • Tümel evetleme eklemi: ∧ • Tikel evetleme eklemi: ∨ • Koşul eklemi: → • Karşılıklı koşuk eklemi: ↔ • Parantezler: ( )
Önermeler mantığının sembolik önermeleri iki kurala göre oluşturulur:
• Her önerme değişkeni bir sembolik önermedir. • A bir sembolik önerme ise, ∼ A bir sembolik önermedir. • A ve B birer sembolik önerme ise, (A ∧ B), (A ∧ B), (A → B), (A ↔ B)
Bir sembolik önermenin doğruluk tablosu o sembolik önermenin içindeki önerme değişkenlerinin birlikte alabileceği doğruluk değerlerine göre alacağı doğruluk değerini gösteren tablodur. Önerme eklemlerinin doğruluk tablolarına göre, tüm bileşik önermelerin doğruluk tablolarını oluşturabilir. Öncelikle en sol sütundan başlayarak, önermenin içinde geçen tüm önerme değişkenleri alfabetik sırayla yazılmalıdır. Satır sayısı da, önerme değişkenlerinin sayısı n ise, 2n olacaktır. En
sağdaki önerme değişkenin altına bir D bir Y gelecek şekilde 2n satırı doldurulmalıdır. Bir sütun sola geçince, bu
kez iki D iki Y şeklinde doldurulmalıdır. Böyle devam
edildiğinde en sol sütunun üst yarısı D, alt yarısı Y değerlerini içerecektir. Önerme değişkenlerine ait sütunlar, karmaşıklık derecesi de gözetilerek, sağa doğru oluşturulmalıdır. En sağdaki sütun, önermenin kendisine ait olacaktır.
Önermeler doğruluk değerlendirmelerinin tümünde aldıkları doğruluk değerine göre totolojiler, çelişki önermeleri, olumsal önermeler olarak ayrılırılar. Tüm doğruluk değerlendirmelerinde doğru olan bir önerme totoloji, yanlış olan bir önerme ise çelişki önermesi olarak tanımlanır. En az bir doğruluk değerlendirmesinde doğru, en az bir doğruluk değerlendirmesinde yanlış değerini alan bir önerme ise olumsal önermedir. En az bir doğruluk değerlendirmesinde doğru olan önerme tutarlı bir önermedir. Öyleyse hem olumsal önermeler hem de totolojiler tutarlı önermelerdir. Bir önermenin D değerini aldığı satırlarda önerme değişkenlerinin birlikte aldığı doğruluk değerleri o önermenin doğrulayıcı yorumlamasıdır. Y değerini aldığı satırlarda önerme değişkenlerinin birlikte aldığı doğruluk değerleri o önermenin yanlışlayıcı yorumlamadır. Yani önermenin doğrulayıcı yorumlaması, önermenin değili için bir yanlışlayıcı yorumlamasıdır. Bir totoloji tüm doğruluk değerlendirmelerinde doğru değerini alacağı için, totolojinin değili, bir çelişki önermesi olur. Bir çelişki önermesinin değili ise bir totolojidir. Çünkü çelişki önermesi tüm doğruluk değerlendirmelerinde yanlış olduğundan, değili tüm doğruluk değerlendirmelerinde doğru olacaktır. Olumsal bir önermenin değili yine olumsal bir önermedir. Olumsal önerme en az bir doğruluk değerlendirmesinde doğru, en az bir doğruluk değerlendirmesinde yanlıştır.
A önermesinin doğru olduğu, yani D değerini aldığı, tüm değerlemelerde B önermesi de doğru oluyor, yani D değerini alıyorsa, A önermesi B önermesini mantıksal olarak içerir. Bu durum A|= B şeklinde gösterilir. Genel olarak, A, B, C, ... önermelerinin tümü D değerini aldığında, Ö önermesi de D değerini alıyorsa A, B, C, ... önermeleri Ö önermesini mantıksal olarak içermektedir. Tanımdan hemen anlaşılacağı gibi, A önermesi S kümesinin elemanı ise S kümesi A önermesini mantıksal olarak içerir.
Eğer, hem A|=B hem de B|= A oluyorsa, A ve B mantıksal olarak eşdeğer önermeler olmaktadır. Bu durum A ≡ B şeklinde gösterilir. Buna göre, A ≡ B olması demek A ve B önermelerinin her değerlemede aynı doğruluk değerini alması demektir.
Sonuç önermesinin öncüllerin mantıksal sonucu olduğu çıkarımlar düzgün çıkarımlar olarak kabul edilir ve bu çıkarımlar geçerli çıkarım olarak tanımlanır. Bir sembolik çıkarımın doğruluk tablosuna bakıldığında, tüm öncüllerin “D” değerini aldığı satırlardan hiçbirinde sonuç önermesi “Y” değerini almıyorsa, bu çıkarım geçerli olarak nitelendirilmektedir.
S bir önermeler kümesi olsun. En az bir değerlemede, S kümesi içindeki tüm önermeler D değerini alıyorsa S tutarlıdır aksi durumda ise S tutarsızdır denir.