MAT106-MATEMATİK-II
Ünite 8: Oyunlar Kuramına Giriş
Giriş
Taş, makas, kağıt oyununu ile oyun kuramının kavramlarını inceleyelim. Oyunun kuralları şu şekildedir: iki kişi aynı anda taş, makas ve kağıttan birini seçip söyler. Kağıt taşı sarar, makas kağıdı keser ve taş da makası kırar. I. oyuncunun seçeneklerine bakarsak “taş”, ”makas” veya “kağıt”. Buna göre I. oyuncunun strateji kümesine X dersek,
𝑋 = {𝑡𝑎ş, 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑠, 𝑘𝑎ğı𝑡}
Benzer şekilde II. oyuncunun strateji kümesine de Y dersek bu küme de
𝑌 = {𝑡𝑎ş, 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑠, 𝑘𝑎ğı𝑡}
olacaktır. Her bir oyuncunun seçimine göre getirilerini hesaplayalım. I. oyuncunun taş dediğini varsayalım. Bu durumda II. oyuncu da taş derse her ikisi sıfır puan alır. Eğer II. oyuncu makas derse I. oyuncunun getirisi 1, II. oyuncunun getirisi -1 olur. Eğer II. oyuncu kağıt derse I. oyuncunun getirisi -1 II. oyuncunun getirisi 1 olur.
II. oyuncu
T M K
I. oyuncu T (0,0) (1,-1) (-1,1)
I. oyuncunun makas dediğini varsayarsak da şu şekilde gösterilebilir:
II. oyuncu
T M K
I. oyuncu M (-1,1) (0,0) (1,-1)
I. oyuncunun Kağıt dediği durumu da katarak son tablo şu şekilde oluşturulur.
II. oyuncu
T M K
T (0,0) (1,-1) (-1,1)
I. oyuncu M (-1,1) (0,0) (1,-1)
K (1,-1) (-1,1) (0,0)
Yukarıdaki tabloya oyunun matrisi denir. İkililerin birinci terimi I. oyuncunun getirisini, ikinci terimi ise II. oyuncunun getirisini gösterir. Bütün ikililer için getirilerin toplamı sıfırdır. Bu nedenle oyuna sıfır toplamlı bir oyun denir.
İki Kişilik Sonlu Oyun
İki kişilik sonlu oyunlar aşağıdaki özellikleri sağlar.
1. Oyuncuların strateji kümeleri sonlu kümelerdir. 2. Oyunlar matrislerle verilebilir. I. oyuncu matrisin satırını, II. oyuncu ise sütununu seçebilir. Bu satır-sütunların kesişimindeki ikilide birinci terim I. oyuncunun, ikinci terim ise II. oyuncunun
getirisi olur. Her iki oyuncu kendi getirisini maksimize etmeye çalışır.
İki kişilik sonlu oyunun tanımı şu şekildedir:
𝑋 = {𝑥!, 𝑥!, … , 𝑥!}
kümesi I. oyuncunun,
𝑌 = {𝑦!, 𝑦!, … , 𝑦!}
kümesi ise II. oyuncunun strateji kümeleri olsun. Bu kümeler sayı kümeleri olmak zorunda değildirler.
I. oyuncu X kümesinden herhangi 𝑥! stratejisini (i=1,...,n), II. oyuncu Y kümesinden herhangi 𝑦! stratejisini (j=1,...,m) seçtiklerinde I. oyuncunun kazancı 𝑎!" , II.
oyuncunun kazancı 𝑏!" olsun. O zaman sonlu oyun bir tablo ile verilebilir. İki kişilik sonlu oyun aşağıdaki matris ile verilir. Oyunla ilgili tüm bilgiler bu matriste toplanmıştır. I. oyuncuya satır oyuncusu, II. oyuncuya sütun oyuncusu denir. Bu 𝑎!" ve 𝑏!" sayılarından (𝑎!", 𝑏!") ikililerini oluşturup bir tablo yazalım:
(𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!", 𝑏!") … (𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!", 𝑏!") (𝑎!!, 𝑏!!) … (𝑎!!, 𝑏!!) . ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!!, 𝑏!!) … (𝑎!", 𝑏!")
Bu tabloya oyun matrisi denir. Buradaki sayılar negatif de olabilir. Negatif kazanç aslında kayıptır. Terminoloji açısından ona da kazanç denir. Verilen matriste her (𝑎!", 𝑏!") ikilisinde 𝑎!" + 𝑏!" = 0 ise bu oyuna sıfır
toplamlı oyun denir. Sıfır toplamlı oyunlarda 𝑏!" = −𝑎!"
olduğu için onların matris gösteriminde 𝑏!" ’leri yazmayabiliriz. Bu nedenle iki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyun bir 𝑛×𝑚 boyutlu
𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!! ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"
matrisle verilir. I. oyuncu satır seçerek büyük eleman, II. oyuncu ise sütun seçerek küçük eleman elde etmeye çalışmaktadır.
İki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyunlara matris oyunları da denir.
Sıfır Toplamlı Oyunda Denge
Oyuncunun denge stratejisini seçmesindeki mantık “bunu seçeyim, yoksa daha da kötü olabilir” mantığıdır.
Maksimin stratejisi nedir? Bir matris oyununda, yani iki kişilik sıfır toplamlı sonlu bir oyunda, I. oyuncu her satırın karşısına o satırdaki en küçük sayıyı yazar. Sonra sayılar içinde en büyük olanını belirler. Bu sayıya matris oyununun aşağı değeri denir. Oyuncu sonra da bu aşağı
değerin bulunduğu satırı seçer. Bu seçime I. oyuncunun maksimin stratejisi denir.
Minimaks stratejisi nedir? Bir matris oyununda II. oyuncu her satırın karşısına o satırdaki en büyük sayıyı yazar. Sonra sayılar içinde en küçük olanını belirler. Bu sayıya matris oyununun yukarı değeri denir. Oyuncu sonra da bu yukarı değerin bulunduğu satırı seçer. Bu seçime II. oyuncunun minimaks stratejisi denir. I. oyuncunun maksimin, II. oyuncunun minimaks stratejilerine onların savunma stratejileri denir.
Matris oyununda denge ile ilgili iki özellik bulunmaktadır:
1. Matriste öyle bir eleman vardır ki bu eleman bulunduğu satırda en küçük, bulunduğu sütunda ise en büyüktür. Bu elemanın bulunduğu satır- sütun numaraları denge ikilisi olur. 2. Oyunun aşağı değeri yukarı değerine eşittir. Bu durumda maksimin-minimaks stratejileri denge ikilisi olur.
Tanım: Bir oyunun matrisi
𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!! ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"
ile verilsin. Eğer bir (𝑖∗, 𝑗∗) ikilisi için
𝑎!∗! ≥ 𝑎!∗!∗ ≥ 𝑎!!∗
eşitsizliği her i ve j için sağlanıyorsa (𝑖∗, 𝑗∗) ikilisine
oyunun denge ikilisi denir. Verilen eşitsizliğe göre 𝑎!∗!∗ elemanı 𝑖∗ satırında bulunmaktadır ve bulunduğu satırda
en küçük elemandır ( 𝑎!∗! ≥ 𝑎!∗!∗ olduğu için ); diğer yandan 𝑎∗ ∗ elemanı 𝑗∗ satırında bulunmaktadır ve ! ! bulunduğu sütunda en büyük elemandır (𝑎!∗!∗ ≥ 𝑎!!∗ ).
Oyunun matrisinde her satırın sağına o satırın en küçüğü, her sütunun altına da o sütunun en büyüğü yazılır. i. satırdaki en küçük elemana 𝑎! , j. sütundaki en büyük elemana da 𝑦! diyelim.
Buna göre 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑎!, 𝑎!, … , 𝑎! = 𝑎 sayısına oyunun aşağı değeri, min 𝑦!, 𝑦!, … , 𝑦! = 𝑦 sayısına da oyunun yukarı değeri denir. 𝑎!, 𝑎!, … , 𝑎! sayılarının en büyüğünün 𝑖! indisine I. oyuncunun maksimin stratejisi, 𝑦 , 𝑦 , … , 𝑦 sayılarının en küçüğünün 𝑗! indisine II. ! ! !
oyuncunun minimaks stratejisi denir. Dengenin olması aşağı değerin yukarı değere eşit olması, yani 𝑎 = 𝑦 olması demektir. Bu durumda 𝑖! indisi 𝑖∗ ve 𝑗! indisi 𝑗∗ ile
gösterilir ve maksimin-minimaks stratejileri denge ikilisi olur. 𝑎 = 𝑦 = 𝑎!∗!∗ değeri oyunun değeri olur. Oyuncular
bu kazanç-kayıp değerine razı olurlar ve denge stratejilerinden uzaklaşmaları onlara fayda getirmez.
Matris oyununda dengenin olması, aşağı değerin yukarı değere eşit olmasıdır.
Dengenin Olması Neden Önemlidir?
1 4 −3 −1 0 3 5 −2 1
Örneğin yukarıdaki oyunu ele alalım.
𝑚𝑎𝑘𝑠 −3, −1, −2 = −1, min 5,4,3 = 3. I. oyuncunun maksimin stratejisi 2. satır, oyunun aşağı değeri -1, II. oyuncunun minimaks stratejisi 3. sütun, oyunun yukarı değeri 3’tür. Diyelim ki I. oyuncu 2. satırı seçti ve II. oyuncuda onun bu seçimini tahmin etti. O zaman II. oyuncu minimizasyon yaptığı için 3. sütunu değil, 1. sütunu seçmekten yana olur. Çünkü o durumda kaybı azalıp 3 yerine -1 olur. 1. oyuncuda onun bu düşüncesini tahmin ederse maksimizasyon yaptığı için 2. satır yerine 3. satırı seçip kazancını -1’den 5’e çıkarır ve böyle devam eder. Oyun içinden çıkılmaz hale gelir.
Sıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge
(𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!", 𝑏!") … (𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!", 𝑏!") (𝑎!!, 𝑏!!) … (𝑎!!, 𝑏!!) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (𝑎!!, 𝑏!!) (𝑎!!, 𝑏!!) … (𝑎!", 𝑏!")
Sıfır toplamlı olmayan sonlu oyun yukarıdaki matris ile verilsin. I. oyuncu satır, II. oyuncu sütun seçiyor. Bir (𝑖∗, 𝑗∗) ikilisi için
𝑎!∗!∗ ≥ 𝑎!!∗ her i için
𝑏!∗!∗ ≥ 𝑏!∗! her j için
eşitsizlikleri sağlanıyorsa (𝑖∗, 𝑗∗) ikilisine oyunun (J. Nash
anlamında) denge ikilisi denir. I. oyuncunun 𝑎!" ’yi, II.
oyuncunun 𝑏!" ’yi büyütmeye çalıştığını hatırlayalım. Yukarıda verilen 𝑎!∗!∗ ≥ 𝑎!!∗ eşitsizliği şunu ifade eder: Eğer I. oyuncu 𝑖∗. satırı değil de başka bir 𝑖. satırı seçerse
onun kazancı artmaz, 𝑏!∗!∗ ≥ 𝑏!∗! eşitsizliğine göre ise Eğer II. oyuncu 𝑗∗. sütunu değil de başka bir 𝑗. sütunu seçerse onun da kazancı artmaz. Bu eşitsizliklere göre (𝑖∗. satır, 𝑗∗. sütun) çiftinin denge ikilisi olması için bu satır ve
sütun kesişimindeki (𝑎!∗!∗ , 𝑏!∗!∗ ) ikilisinde 𝑎!∗!∗ sayısı, o
sütunda birinci bileşenlerin içerisinde en büyük, 𝑏!∗!∗
sayısı da o satırda ikinci bileşenlerin içerisinde en büyük olmalıdır. İzleyen sıfır toplamlı olmayan oyunda denge stratejilerini bulalım.
(3,2) (4,4) (4,1) (4,1) (7,3) (5,2) (2,0) (6,2) (8,1)
(7,3) ikilisinde 7 sayısı bulunduğu 2. Sütundaki birinci bileşenlerin en büyüğüdür (bu bileşenler 4,7,6’dır). 3 sayısı da bulunduğu 2. Satırdaki ikinci bileşenlerin en büyüğüdür (bu bileşenler 1,3 ve 2’dir). Bundan dolayı (2. satır, 2.sütun) denge ikilisidir.