MAT106U-MATEMATİK-II
Ünite 4: İktisadi Uygulamalar
Tüketici ve Üretici Rantı
Herhangi bir mal veya hizmeti belli bir fiyatın üstünde almaya istekli olan tüketiciler eğer o mal veya hizmeti, almaya istekli oldukları fiyatın altında satın alabilirlerse paralarının bir kısmını korumuş olurlar. Korunan para miktarı o tüketiciler için bir ranttır.
Talep: Belirli bir zaman aralığında piyasada tüketicilerin, satın alma gücüyle desteklenmiş, değişik fiyat düzeyinde satın almaya istekli oldukları mal veya hizmet miktarıdır.
Toplam fayda: Belli bir zaman diliminde, bireyin diğer mal ve hizmetlerden olan tüketimi sabit iken, bir malın çeşitli miktarda tüketilmesi sonucu ulaşılan tatmin düzeyidir.
Örneğin, varsayalım ki bir dizüstü bilgisayara ödenmek istenen en yüksek fiyat 1600 lira olsun. P fiyatı, x miktarı göstermek üzere bu dizüstü bilgisayarın talep fonksiyonu p = 1600-𝑥! şekildedir. Buna göre tüketici rantını bulmaya
çalışalım:
Buna göre 1200 liranın üzerinde ödemeye istekli olup da 1200 liradan alan 𝑥! tüketicinin bu malın tüketiminden elde ettiği toplam fayda söz konusudur. Bu toplam fayda (S:83, Şekil 4.1) grafiğinde gösterildiği gibi [0, 𝑥! ] aralığında talep eğrisi altında kalan alanın değeri (mavi renk ve yeşil renk ile gösterilen toplam alan) kadardır. Tüketici rantı ise mavi renk ile gösterilen alandır. Buna göre tüketici rantı,
!! ! 𝑝𝑑𝑥- 1200∙ 𝑥! olur.
Talep fonksiyonunda p yerine 1200 yazarsak 𝑥! değeri,
1200 = 1600-𝑥 ! ⤏ 𝑥 = 20 olur. Buna göre, ! ! !" ! ! (1600 − 𝑥 )𝑑𝑥-1200∙ 20 = 5333,33 liradır.
Buna göre bu dizüstü bilgisayarı 1200 liradan satın alan 20 tüketicinin toplam korudukları para miktarı 5333,33 liradır.
Herhangi bir mal veya hizmeti belli bir fiyatın altında satmaya razı olan üreticiler, eğer satmaya razı oldukları fiyatın üstünde o mal veya hizmeti satabilirlerse gelirlerini bir miktar artırmış olurlar. Artırabildikleri para miktarı o üreticiler için bir ranttır.
Arz: Belirli bir zaman aralığında piyasada üreticilerin, değişik fiyat düzeyinde satmaya istekli oldukları mal veya hizmet miktarıdır.
Şimdi ise bu dizüstü bilgisayarı 1200 liranın altında bir fiyata satmaya istekli olup da 1200 liradan satan üreticilerin toplam kazancına karşılık gelen üretici rantını hesaplamaya çalışalım:
Varsayalım ki bu dizüstü bilgisayarın piyasa sürülmek istenen en düşük fiyatı 1000 lira olsun. Bu dizüstü bilgisayarın arz fonksiyonu da p=0,5∙ 𝑥!+1000 şeklinde
verilsin.
Grafiğe(S:85, Şekil 4.2) bakarsanız fiyat 1000 lira iken piyasaya sürülen mal miktarı sıfırdır. 1200 liranın altında satmaya hazır olup da 1200 liradan satan üreticilerin elde ettiği toplam gelir dikdörtgenin alanı (kırmızı renk ve yeşil renk ile gösterilen toplam alan) kadar olacaktır. Üreticilerin beklediği gelir [0, 𝑥! ] aralığında arz eğrisi altında kalan alan kadardır. Dolayısıyla toplam gelirden beklenen geliri çıkarırsak üretici rantını buluruz. Buna göre,
!! 1200∙ 𝑥! - ! 𝑝𝑑𝑥 formülü ile hesaplanabilir.
𝑥! = 20 olduğunu bildiğimize göre üretici rantı,
!" ! 1200∙20- ! (0,5 ∙ 𝑥 + 1000)𝑑𝑥
!" ! =24000- ! (0,5 ∙ 𝑥 + 1000)𝑑𝑥= 2666,66 liradır.
Buradan diyebiliriz ki 1200 liradan satılan 20 adet dizüstü bilgisayardan üreticilerin artırabildikleri toplam para miktarı 2666,66 lira olur.
Piyasa fiyatı: Arz ve talep miktarının eşit olduğu noktadaki fiyattır.
Örneğin, x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere bir malın talep fonksiyonu 𝑝 = (x-6)2 ve arz fonksiyonu da ! 𝑝 =(x+2)2 üretici ve tüketicilerin piyasaya katılım ! sonucunda oluşan piyasa fiyatı üzerindeki tüketici ve üretici rantını bulalım.
Arz ve talep fonksiyonunun eşit olduğu noktadaki fiyat, piyasa fiyatı olduğuna göre, 𝑝!= 𝑝! eşitliğinden,
(x-6)2 = (x+2)2 ⤏ x = 2 olarak bulunur. Bulunan bu x
değerini arz ve talep fonksiyonunda yerine yazarsam piyasa fiyatı p = (2+2)2 = 16 olur. Tüketici rantı,
! ! ! (𝑥 − 12𝑥 + 36)𝑑𝑥-2∙ 16 = 18,66 liradır.
Benzer şekilde üretici rantı,
! ! 2∙ 16 - ! (𝑥 + 4𝑥 + 4)𝑑𝑥= 13,33 liradır.
Arz ve talep eğrisi doğrusal bir fonksiyon olursa üretici ve tüketici rantına karşılık gelen bölgeler üçgen şeklinde olacaktır.
Örneğin(S:88, Şekil 4.4) p1 = x +4 doğrusu ile p2 = 10− x talep doğrusunda üretici ve tüketici rantına karşılık gelen bölgeler üçgen şeklindedir.
Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksi
Bir ülkede kişi başına düşen gelir ortalama bir durum belirtir, oluşan gelirin toplumun çeşitli kesimleri arasındaki dağılımı hakkında kesin bir fikir vermez. Gelir dağılımını ölçmek için yaygın olarak kullanılan yöntemlerden biri Lorenz eğrisidir.
Hanehalkı: Ekonomik birim olarak bir çatı altında yaşayan ve ortak mali kararlar alan veya başkasının aldığı kararlara tabi olan bütün kişilerdir.
Lorenz eğrisi, Max Otto Lorenz tarafından gelir dağılımını grafiksel olarak göstermek için geliştirilmiştir. Bu eğri şöyle oluşturulur: Önce toplumdaki kişiler veya hane halkları en alt gelir grubundan başlanarak en üst gelir grubuna doğru sıralanır. Daha sonra herhangi bir gelir düzeyi ve altında gelir elde edenlerin toplamının toplam gelirden aldığı pay hesaplanır. Her gelir düzeyi için bu işlem yapılırsa eğrinin grafiği oluşturulabilir.
Ülkemizde Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) toplumdaki gelir gruplarını en alt gelir grubundan başlayarak yüzde yirmilik dilimlere ayırıp elde ettiği verilerden her bir gelir grubunun toplam gelirden aldığı payı hesaplamıştır.
2010 yılına ait TÜİK tarafından yayımlanan gelir dağılımı gösterilmiştir (S:90, Tablo 4.1). Tabloda, ilk yüzde 20’nin toplam gelirden aldığı pay yüzde 5,8’dir. Yine tabloda, ilk yüzde 40’ının toplam gelirden aldığı pay yüzde 16,4’tür.Buna göre L(0,2)=0,058, L(0,4)=0,164 benzer şekilde devam edilirse L(0,6)=0,317, L(0,8)=0,536 ve L(1)=1 olur. Bu altı noktanın görüntülerini birleştiren bir eğri çizersek kabaca Lorenz eğrisinin grafiğini buluruz (S:90, Şekil 4.5). Dikkat ederseniz, hem kişi sayılarını hem de bunların gelirlerini en alt gelirden başlayarak birikimli olarak hesaplıyoruz.
Grafikte sadece 6 noktadan geçen eğriyi çizdik. Herhangi bir noktanın görüntüsünü bulmak için fonksiyonun denklemini bilmemiz gerekir. En küçük kareler yöntemi kullanarak eldeki verilere uygun düşen fonksiyon bulunur. Bu eğriye karşılık gelen xr şeklinde bir fonksiyon
bulacağız. Buna göre;
(0r −0)2+[(0,2)r − 0,058)]2 +[(0,4)r −0,164)]2
+[(0,6)r −0,317)]2 +[(0,8)r −0,536)]2 +(1r −1)2
İfadesini minimum yapan r değerini bulacağız. Bilgisayar yardımıyla yapılan hesaplamalar sonucunda r değeri yaklaşık 2,34 bulunmuştur. Bu verilere uyan Lorenz fonksiyonu L(x)=x2,34 şeklindedir.
Bulduğumuz fonksiyonun grafiği ile altı nokta yardımıyla oluşturulan Lorenz eğrisinin grafiğini karşılaştırabilirsiniz (S:91, Şekil 4.6).
Gelir dağılımında doğal olarak beklenen durum herkesin eşit pay almasıdır. Bu duruma ne kadar çok yaklaşılırsa gelir dağılımı göreceli olarak iyidir. Herkesin gelirden eşit pay aldığı durumda oluşan eğri y=x doğrusuna karşılık gelir. Bu doğruya mutlak eşitlik doğrusu denir.
Herhangi bir ülke için oluşturulan Lorenz fonksiyonunun grafiğine karşılık gelen Lorenz eğrisinin mutlak eşitlik doğrusuna yakınlığına göre gelir dağılımının nasıl olduğuna karar verilir. Bu yakınlığı şu şekilde hesaplarız:
Lorenz eğrisi ile mutlak eşitlik doğrusu arasında kalan alanı hesaplayıp, bu alanın mutlak eşitlik doğrusu altında
kalan üçgenin alanına oranını bulacağız. Bu değere Gini indeksi denir.
Gini indeksi, gelir yoğunluğunu ölçmek için İtalyan sosyolog Corrado Gini (1884-1965) tarafından tanımlanmıştır.
Burada y=x doğrusu ile Lorenz eğrisi arasında kalan alan ! ! (𝑥 − 𝐿(𝑥))𝑑𝑥integrali ile hesaplanabilir. Mutlak eşitlik
doğrusunun altında kalan üçgenin alanı ½’dir. Buradan,
!(!!!(!))!" ! ! Gini indeksi = ! = 2∙ !(𝑥 − 𝐿(𝑥))𝑑𝑥 !
olur. Lorenz eğrimiz mutlak eşitlik doğrusuyla çakışırsa A bölgesinin alanı (Lorenz eğrisi ile mutlak eşitlik doğrusu arasında kalan alan) 0 olacağından Gini indeksi 0 olur. B bölgesinin alanı (Lorenz eğrisi ile x ekseni arasında kalan alan) 0 olursa Gini indeksi 1 olur. Buna göre Gini indeksi 0 ile 1 arasında bir değer alır.
Buna göre L(x) = x2,34 Lorenz eğrisi için Gini indeksini
hesaplarsak,
! !,!" 2∙ ! (𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 = 0,401 olur.
Gini indeksi sıfıra daha yakın çıktığına göre gelir göreceli olarak iyi dağıtılmıştır.
Lorenz eğrisi sadece gelir dağılımı ölçmek için değil refah, sermaye vb. iktisadi değerlerin dağılımının nasıl olduğunu belirlemek de kullanılabilir. (S:94, Tablo 4.2) burada bazı ülkelerin Gini indeksi ve kişi başına düşen gelirlerini gösteren bir tablo verilmiştir.
Diferansiyel Denklemlerin Uygulanması
Bir çikolata fabrikası 5 ile 9 yaş arasındaki gruba çikolatalı bir kek piyasaya sürmüş ve televizyon kanallarına ürünün reklamını vermiştir. Reklam yayınlandıktan sonra bu yeni ürünün reklamını gören çocukların sayısının değişim oranının, ürünün reklamını görmemiş olan çocukların sayısıyla orantılı olduğu düşünülmektedir. Reklam verildikten 5 gün sonra çocukların yüzde 40’ı ürünün reklamını gördüğüne göre çocukların yüzde 90’ının bu ürünün reklamını görmesi için kaç gün reklamın yayımlanması gerekir?
y reklamı gören çocukların sayısını ve t zamanı göstersin. L 5-9 yaş grubundaki çocuk sayısı olsun. Bu durumda reklamı görmemiş olan çocuk sayısı L-y olacaktır. Buna göre değişim oranını gösteren denklemi,
!" = k(L-y) şeklindedir. !!
Bu diferansiyel denklemin çözümü için gerekli olan başlangıç koşulu: Reklamlar televizyonda dönmeye başladığında reklamı gören çocuk sayısı 0 olduğundan t=0 için y=0 değerini alır. Denklem değişkenlerine ayrılırsa,
!" = k∙ 𝑑𝑡 !!!
eşitliğin her iki tarafının integralini alırsak ve gerekli işlemleri yaparsak sonuç olarak,
y = L - 𝑒!!"!! başlangıç koşulunu kullanırsak,
t = 0 için y = 0 olduğuna göre 0 = L - 𝑒!! buna göre L=𝑒!! bulunur. Buna göre denklem,
y = L - L∙ 𝑒!!" = L(1 - 𝑒!!") olur.
5 gün sonra reklamı gören çocuk sayısı yüzde 40 olarak verilmiş. Buna göre,
0,4∙ 𝐿 = L(1 - 𝑒!!!) ⤏ 𝑒!!! = 0,6
⤏k = -0,51/-5 ≈ 0,102 olur. Buna göre diferansiyel denklemin çözümü y = L(1 - 𝑒!!,!"#!) şeklindedir.
Çocukların %90’ının reklamı görmesi demek 0,9 ∙ 𝐿 anlamına gelip denklemimizin çözümünde yerine yazıp t değerini bulabiliriz. Buna göre,
0,9∙ 𝐿 = L(1 - 𝑒!!,!"#!) ⤏ 𝑒!!,!"#! = 0,1
!!,!"# ⤏t = ≈ 22,56 bulunur. !!,!"#
O halde 5-9 yaş grubundaki çocukların %90’ının reklamı görmesi için reklamın 23 gün dönmesi gerekir.
Türkiye’de 5-9 yaş grubundaki çocuk sayısı altı milyondur. Denklem çözümünde L yerine 6 000 000, t’ye 1-10 arası değerler verilerek hergün yaklaşık kaç çocuğun reklamı gördüğünü bulabiliriz (S:97, Tablo 4.3).
Bir malın talep fonksiyonu verildiğinde malın fiyatındaki yüzdelik değişime karşılık gelen talep miktarında meydana gelen yüzdelik değişime talebin fiyat esnekliği denir.
X miktarı ve p fiyatı göstermek üzere p(x) talep !" ! fonksiyonu verildiğinde talep fiyat esnekliği ∙ !" ! ifadesinin mutlak değeridir.
Buna göre x>0 olmak üzere esneklik değeri 1 ise talep denklemini bulalım. Verilen denklemi 1’e eşitleyelim;
!" ! | ∙ | = 1 !" !
!" Fiyat artarken talep azaldığı için türevi negatiftir. !"
!" ! !" ! - ∙ = 1 veya ∙ = -1 olur. Buna göre; !" ! !" !
!" !" = − ⤏ lnx = -lnp+c ⤏ ln(x∙ 𝑝) = c ! !
𝑥 ∙ 𝑝 = 𝑒! olur. Böyle bir durumda talebin fiyatla ters
orantılı olduğunu gördük.
Sonuç olarak bu bölümde tüketici ve üretici rantının nasıl oluştuğunu inceleyip, tüketici ve üretici rantının nasıl hesaplandığını öğrendik. Bir ülkedeki gelir dağılımını bulmak için Lorenz eğrisi ile Gini indeksini hesapladık. Ayrıca diferansiyel denklemlerin bazı uygulamalarını öğrenmiş olduk.