MAT106U-MATEMATİK-II
Ünite 2: Diferansiyel Denklemler
Diferansiyel Denklemlere Giriş
En basit tanımıyla, içinde değişkenlerin türevlerini bulunduran denkleme diferansiyel denklem denir. Diferansiyel denklemler mühendislik, fizik, kimya, ekonomi, biyoloji gibi birçok bilim dalında karşımıza çıkmakta ve çok çeşitli problemleri türev içeren denklemler yardımıyla modelleyip çözebilmemize imkan sağlamaktadır.
Bir diferansiyel denklemde hangi değişkene göre türev alınıyorsa, bu değişkene bağımsız değişken denir. Türevi !" alınan değişkene ise bağımlı değişken denir. ifadesinde !" y bağımlı, x bağımsız değişken olarak adlandırılır. Bağımlı değişken ile bağımsız değişkeni göstermek için farklı harfler de kullanılabilir. Bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre bir kere türevi alındığı için bu türevli ifade birinci mertebedendir (veya basamaktandır) !" denir. Diferansiyel denklemlerde y´ = gösterimi de !" kullanılır. Mesela türevi kendisine eşit olan bir fonksiyonun sağladığı diferansiyel denklemi
dy = 𝑦 dt
şeklinde yazılabilir.
Diferansiyel denklemi özdeş olarak sağlayan fonksiyona diferansiyel denklemin çözümü denir.
Diferansiyel denklemin keyfi sabitlere bağlı çözümüne diferansiyel denklemin genel çözümü denir.
Diferansiyel denklemin genel çözümündeki keyfi sabitlere değerler vererek elde edilen çözümlere özel çözümler denilir (S:34, Şekil 2.1).
Diferansiyel denklemlere çözüm bulunması matematikçilerin yüzyıllardır uğraştığı bir konudur. Diferansiyel denklemlerin hepsini birden çözen genel bir metot mevcut olmadığı için çeşitli çözüm yöntemleri geliştirilmiştir.
Bazen bir diferansiyel denklemin bir x0 noktasında belli bir y0 değerini alan özel bir çözümünün elde edilmesi istenebilir. Buradaki y0 = y(x0) koşuluna başlangıç değer koşulu denir. Verilen bir başlangıç değer koşuluna uyan diferansiyel denklemin çözümünün bulunması problemine başlangıç değer problemi denir. Bulunan çözüme de diferansiyel denklemin verilen başlangıç koşuluna uyan özel çözümü denir. Genel çözüm keyfi bir sabit içerirken, özel çözüm başlangıç koşullarına uygun olarak bulunan çözümdür.
Başlangıç değer problemlerinin pek çok uygulama alanı mevcuttur. Uygulamalı bilim dallarında karşılaşılan problemler başlangıç değer problemleri ile ifade edilirler. Örneğin, bir bölgedeki canlı nüfusunun artması veya azalması problemi, bir cismin sıcaklığındaki değişim, organik maddenin yaşının belirlenmesi hatta dedikodunun yayılması gibi problemlerde diferansiyel denklemleri kullanarak çözümler bulunabilmektedir.
Nüfus Problemi
Herhangi bir andaki nüfusu y = y(t) ile gösterelim. Başlangıç anında yani t = 0 anındaki canlı nüfusu da y(0) = y0 kadar olsun. Canlı nüfusunun mevcut nüfus ile orantılı olarak değiştiğini varsayalım. Bu değişim oranını da K ile ifade edelim. Burada K sabit bir değer olup K > 0 iken nüfusun artmakta, K < 0 iken nüfusun azalmakta olduğunu ifade eder (Şekil 2.4 ve 2.5). Bu durumda herhangi bir anda nüfustaki değişim oranı
dy = 𝐾𝑦 dt
şeklinde ifade edilebilir.
Denklem adım adım düzenlenirse,
! dy = K dt !
1 dy = K dt y
lny = 𝐾𝑡 + 𝑐
e!"# = e!"!!
y = e!"!! = e!" e!
Burada 𝑐 = 𝑒! sabiti alınırsa çözüm 𝑦 = 𝑐 𝑒!" olarak ! ! bulunur. Başlangıç değeri olan 𝑦 0 = 𝑦! değerini çözüm fonksiyonunda kullanılırsa, 𝑡 = 0 için 𝑦 = 𝑐 𝑒! ! ! eşitliğinden 𝑐! = 𝑦! olur. Bu değerde çözüm fonksiyonunda yerine yazılırsa,
𝑦 = 𝑦 𝑒!" !
olarak sonuç bulunur.
Böylece herhangi bir andaki canlı nüfusu bu üstel fonksiyon kullanılarak bulunabilir. Kullanılan bu model Malthus modeli olarak da adlandırılmaktadır.
Radyoaktif Bozulma Hesabı
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar kullanılarak bir mumyanın yaşının belirlenmesi için karbon yaşı hesaplama yöntemini kullanılması bilimsel bir gerçektir. Bu yöntemde canlı organizmanın hayatı sona erdiğinde vücuttaki C14’ün yani radyokarbonun azalmaya başladığı
gerçeğini kullanarak organik maddelerin yaşları tahmin edilir.
Radyokarbon testi ile organik maddenin yaşının belirlenmesinde
!" = 𝐾𝑦 !"
diferansiyel denkleminden yararlanılır. Burada K kimyasal maddenin çeşidine bağlı olan bir bozunma sabitidir.
Denklem adım adım düzenlenirse,
1 dy = −K dt y
1 dy = − K dt y
lny = −𝐾𝑡 + 𝑐
e!"# = e!!"!!
𝑦 = 𝑐 𝑒!!" !
olarak bulunur.
Soğuma Problemi
Diferansiyel denklemler kullanarak belli bir sıcaklığa sahip bir cismin sıcaklığındaki değişim hesaplanabilir. Bu tür problemler Newton’un soğuma yasası olarak bilinen yöntem yardımıyla önceki örneklerimizde olduğu gibi bir başlangıç değer problemi biçiminde ifade edilir.
Newton’un soğuma yasasına göre soğuyan bir cismin sıcaklığındaki değişim, cismin sıcaklığı ile ortam sıcaklığı arasındaki farkla orantılıdır. Buna göre eğer herhangi bir andaki cismin sıcaklığı y, ortamın sabit sıcaklığı s ve orantı sabiti K ise cismin sıcaklığındaki zamana göre değişim oranı
dy = 𝐾(𝑦 − 𝑠) dt
diferansiyel denklemiyle ifade edilir. Burada cismin sıcaklığının ortam sıcaklığından daha büyük olduğu kabul edilir.
Bu denklem yukarıdaki diferansiyel denklemlerin çözümüne benzer şekilde çözülürse
𝑦 = 𝑠 + 𝑐 𝑒!" !
olarak bulunur. Cismin başlangıç sıcaklık değerinin y0 olduğu kabul edilirse, herhangi bir andaki cismin sıcaklığı
𝑦 = 𝑠 + (𝑦 − 𝑠)𝑒!" !
denklemiyle ifade edilmiş olur.
Sınırlı Büyüme
Diferansiyel denklemler kullanarak piyasaya yeni bir ürün sürmek isteyen bir firmanın, televizyona vereceği reklamın kaç kişi tarafından izleneceğinin sayısı hesaplanabilir. Reklam yayımlanmaya başladıktan sonra reklamı gören kişi sayısının henüz reklamı görmemiş olan kişi sayısıyla orantılı olarak değiştiği düşünülmektedir. Reklamın ulaşabileceği maksimum kişi sayısı M, reklamı gören kişi sayısı y ve orantı sabiti K olmak üzere değişim oranını veren diferansiyel denklem
dy = 𝐾(𝑀 − 𝑦) dt
şeklinde yazılabilir. Reklamın başladığı anda gören hiç kimse olmadığına göre 𝑡 = 0 için 𝑦 0 = 0 ’dır. Bu modele sınırlı büyüme modeli denilmektedir.
Denklem adım adım düzenlenirse,
dy = K dt M − y
dy = K dt M − y
−ln (M − y) = 𝐾𝑡 + 𝑐
ln M − y = −𝐾𝑡 − 𝑐
e!" (!!!) = e!!"!!
M − y = e!!"!!
olarak bulunur. Başlangıç anında 𝑦 0 = 0 olduğundan
y = 𝑀 1 − e!!"
elde edilir.
Dedikodunun Yayılması
Diferansiyel denklemlerin sosyoloji alanında da ilginç uygulamaları vardır. Mesela bir topluluk içinde dedikodunun yayılması durumu bir diferansiyel denklem ile modellenebilir.
Bir dedikodu ya da söylentinin yayılma hızı, hem dedikoduyu duymuş olan kişi sayısı hem de henüz dedikoduyu duymamış olan kişi sayısıyla doğru orantılıdır.
Topluluktaki toplam kişi sayısı P ve dedikoduyu duymuş olan kişi sayısı da y olsun. Bu durumda henüz dedikoduyu duymamış kişi sayısı P − y olur. K bir orantı sabiti olmak üzere dedikodu yayılmasını modelleyen diferansiyel denklem
dy = 𝐾𝑦(𝑃 − 𝑦) dt
şeklinde olur.
Başlangıçta dedikodu bir kişiden yayılırsa 𝑦 0 = 1 olur. Buna göre bu başlangıç değer probleminin çözümünün
P 𝑦 𝑡 = !!"# 1 + P − 1 e
şeklinde olduğu bulunabilir.