MAT106U-MATEMATİK II
Ünite 1: Belirli ve Belirsiz İntegral
Alan Hesaplamaları
Alan hesaplamaları binlerce yıllık tarihe sahiptir. Babiller ve Mısırlılar, üçgen ve dörtgenin alan hesabını bildiklerinden, alan ölçümlerini üçgenlerin ve dörtgenlerin alanlarına dayandırarak hesaplıyorlardı. Daha sonra Yunan matematikçiler Eudoxus ve Arşimet eğrilerle sınırlı düzlemsel alanların belirlenebilmesi için "Tüketme Yöntemi" adı verilen bir yöntem geliştirerek, bugün hala üzerinde çalışılan integral kavramının temellerini atmışlardır. Tüketme Yönteminde, öncelikle alanı hesaplanabilecek çokgenler kullanılarak bölge dışardan kuşatılır. Daha sonra aynı işlem bölgenin içine de uygulanır. Böylece bölge dıştan ve içten kuşatılıp bu çokgenlerin kenar sayıları adım adım arttırılarak bölgenin alanı istenilen hassasiyette hesaplanabilir. Bu yöntemle çoğu kez gerçek değerlere ulaşmak mümkündür.
Belirli İntegral
𝑓, [𝑎, 𝑏] kapalı aralığı üzerinde sürekli bir fonksiyon olmak üzere [𝑎, 𝑏] aralığının (𝑛 − 1) tane noktası 𝑎 = 𝑥! < 𝑥! < 𝑥! < 𝑥! ⋯ < 𝑥!!! = 𝑥! = 𝑏 şeklinde olsun. Bu durumda [𝑎, 𝑏] aralığının bir 𝐵 = 𝑥0, 𝑥1, ⋯ 𝑥𝑛 bölüntüsü oluşturulmuş olur. Bu bölüntünün 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛 için 𝑥!!!, 𝑥! alt aralığında fonksiyonun en küçük değerine 𝑚! ve en büyük değerine 𝑀! diyelim. Bu durumda ∆𝑥! = 𝑥! − 𝑥!!! ve her 𝑥 ∈ 𝑥!!!, 𝑥! için 𝑚!∆𝑥! ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀!∆𝑥! eşitsizliği yazılabilir. Buradan 𝐴! 𝑓 = 𝑚!∆𝑥! + 𝑚!∆𝑥! + ⋯ 𝑚!∆𝑥! Ü! 𝑓 = 𝑀!∆𝑥! + 𝑀!∆𝑥! + ⋯ 𝑀!∆𝑥! toplamları tanımlanabilir. Bu toplamlara sırasıyla 𝐵 bölüntüsünün alt ve üst toplamları denir. 𝐵 bölüntüsü için 𝐴! 𝑓 ≤ Ü! 𝑓 yazılabilir. Fonksiyon sürekli olduğundan bölüntü sayısı sonsuza giderken alt ve üst toplamlar aynı sayıya yakınsar. Bu sayıya 𝐴 dersek lim!→! 𝐴! 𝑓 = lim!→! Ü! 𝑓 = 𝐴 olur.
Bu 𝐴 sayısına 𝑓’nin [𝑎, 𝑏] üzerinde integrali (belirli integrali) denir ve ! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ! şeklinde gösterilir.
𝑦 = 𝑓(𝑥) negatif değer almayan sürekli bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun belli bir 𝑎, 𝑏 kapalı aralığı üzerindeki parçasının altında kalan bölgenin alanı belirli integral yardımıyla bulunabilir.
𝑓 , 𝑎, 𝑏 aralığında sürekli bir fonksiyon, 𝑎 ∈ 𝑅 ve 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 olmak üzere
! • ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 ! ! • ! 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ! ! ! • ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
olur.
Belirsiz İntegral
Bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe göre değişiyorsa hangi hızla değiştiğini bulmanın yöntemlerine fonksiyonun türevini bulma yöntemleri denir. Bu işlemin tersine, yani türevi belli olan bir fonksiyonun kendisini bulma işlemine belirsiz integral denir. Başka bir deyişle, belli bir 𝑎, 𝑏 aralığındaki tüm 𝑥 ’ler için 𝐹(𝑥) fonksiyonunun türevi 𝑓(𝑥) fonksiyonuna eşit ise, yani 𝐹! 𝑥 = 𝑓 𝑥 oluyorsa, 𝐹(𝑥) fonksiyonuna 𝑓(𝑥) ’in bir
ilkeli denir. Belli bir 𝑎, 𝑏 aralığında 𝐹(𝑥) fonksiyonu, 𝑓 𝑥 fonksiyonunun bir ilkeli ise, 𝐹 𝑥 + 𝑐 ailesine 𝑓 𝑥 fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
şeklinde gösterilir. Belirsiz integral almak için kullanılan bazı kurallar vardır. Bunlar sırasıyla kuvvet, logaritmik ve üstel olarak adlandırılır. • Kuvvet kuralı; ! 1 !!! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝑟 + 1 𝑥 > 0, 𝑟 ≠ 1, 𝑟 ∈ 𝑅 • Logaritmik kuralı; 1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 𝑥 (𝑥 > 0) • Üstel kuralı; !" 1 !" 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝑐 𝑎 (𝑎 ≠ 0) Kuvvet kuralını bir örnek olarak 1 𝑥 + ! 𝑑𝑥 𝑥 integralini inceleyelim. Kuvvet kuralından 1 1 𝑥 + ! 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 + ! 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥!! 𝑑𝑥
1 ! 1 !! = 𝑥 + 𝑐! − 𝑥 + 𝑐! 2 2 1 ! 1 = 𝑥 − ! + 𝑐 2 2𝑥 elde edilir. Üstel kuralına bir örnek olarak
5𝑒!!! 𝑑𝑥
integrali incelenirse kuraldan direkt olarak
5𝑒!!! 𝑑𝑥 = 5 𝑒!!! 𝑑𝑥
1 !!! = 5 − 𝑒 + 𝑐! 2 5 !!! = − 𝑒 + 5𝑐! 2 5 !!! = − 𝑒 + 5𝑐 2
elde edilir. İki fonksiyonun çarpımının integralini bulmak için, iki fonksiyonun çarpımının türev formülünü kullanabiliriz. ! ! ! 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)𝑔!(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓! 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Buna kısmi integrasyon formülü denir. Kısmi integrasyona bir örnek olarak aşağıda verilen integrali inceleyelim.
𝑥𝑒!! 𝑑𝑥
Burada 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑔! 𝑥 = 𝑒!!
olmak üzere 𝑓! 𝑥 = 1
! !! 1 !! 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 2 olduğundan
𝑓(𝑥)𝑔!(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑓! 𝑥 𝑑𝑥
!! 1 !! 1 !! 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 − 𝑒 𝑑𝑥 2 2 1 !! 1 1 !! = 𝑥𝑒 − . 𝑒 + 𝑐 2 2 2 olarak elde edilir.
(𝑥! + 2)!"2𝑥 𝑑𝑥
integralinin hesabı için 𝑢 = 𝑥! + 2 değişken değişimi yapalım. Bu durumda ! !" ! 𝑢 = = 2𝑥 olup 𝑑𝑢 = 𝑢𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 elde edilir. !" Böylece integral
𝑢!" (𝑥! + 2)!"2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢!" 𝑑𝑢 = + 𝑐 21 olarak elde edilir. 𝑢 = 𝑥! + 2 ifadesini yerine yazarsak (𝑥! + 2)!" (𝑥! + 2)!"2𝑥 𝑑𝑥 = + 𝑐 21 olarak hesaplanır.
Temel Teoremler
Sürekli bir 𝑓 fonksiyonu ile bu fonksiyonun grafiğinin
sınırladığı alan arasındaki ilişkiyi inceleyelim. 𝑓 sürekli
bir fonksiyon ve 𝑎, 𝑏 aralığı içindeki her bir 𝑥 için 𝑓(𝑥)
pozitif olsun. 𝑎, 𝑏 aralığı içindeki her bir 𝑥 için, 𝑓’nin
grafiği altında ve 𝑎, 𝑥 aralığı üzerindeki alanı 𝐴 𝑥 ile
gösterelim. 𝑥 değiştikçe 𝐴 𝑥 , 𝑥 ’in bir fonksiyonu olur. Bu durumda 𝐴! 𝑥 = 𝑓 𝑥 olur, bkz. S:21, Şekil 1.23, 124
ve 125. Yani 𝐴 𝑥 𝑓’in bir ilkel fonksiyonu olur. 𝑓’in
diğer bir ilkel fonksiyonu 𝐹(𝑥) ise
𝐴 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
yazılabilir. Ayrıca
! ! 𝑓(𝑥)= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 özelliğinden
𝐴 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 = 𝐹 𝑥 − 𝐹 𝑎
eşitliği elde edilir.
Bir örnek verecek olursak,
! 1 − 𝑥! 𝑑𝑥
!
integralini hesaplayalım.
𝑥! 1 − 𝑥! 𝑑𝑥 = 𝑥 − + 𝑐 3
olup 𝑐 = 0 alınırsa
𝑥! 𝐹 𝑥 = 𝑥 − 3
elde edilir. Böylece
! 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 1 − 𝐹 0 = ! 3
olur.
İki Eğri ile Sınırlanan Alan
Belirli integrali kullanarak iki eğri ile sınırlanan alanı hesaplayabiliriz. 𝑎, 𝑏 aralığı üzerinde sürekli ve bu aralık üzerinde 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) eşitsizliğini sağlayan 𝑓 ve 𝑔 fonksiyonları verilsin. Fonksiyon değerleri arasındaki bu eşitsizlik, 𝑓 ’nin grafiğinin tamamen 𝑔 ’nin grafiğinin altında olduğunu söyler. Bu iki grafik arasındaki alana A dersek,
! 𝐴 = (𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 !
belirli integrali ile belirlenebilir.
Bir örnek verecek olursak,
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4, 𝑔 𝑥 = 𝑥! + 1
fonksiyonlarının 0,3 aralığı üzerindeki grafik parçalarının arasındaki bölgenin alanını hesaplayalım, bkz. S:23, Şekil 1.27.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4 < 𝑔 𝑥 = 𝑥! + 1
! 𝐴 = (𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 ! ! ! (𝑥! + 1 − (2𝑥 − 4))𝑑𝑥 = (𝑥! − 2𝑥 + 5)𝑑𝑥
! ! 𝑥! = − 𝑥! + 5𝑥 = 15 𝑏𝑟! 3
Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri
Sürekli bir 𝑓 fonksiyonunun 𝑎, 𝑏 aralığı üzerindeki ortalama değeri, 𝑓 𝑥 ,
! ! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑏 − 𝑎
şeklinde tanımlıdır. Sürekli bir fonksiyon, 𝑚 en küçük ve 𝑀 en büyük değerleri arasında bütün değerleri alacağından 𝑎, 𝑏 aralığında
! ! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑏 − 𝑎
olan 𝑥 noktası vardır ve
! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 (𝑏 − 𝑎) !
olur.
Bir örnek verecek olursak,
𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2)!
fonksiyonunun 0,2 aralığı üzerindeki ortalama değeri araştıralım.
1 ! 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎 !
olduğundan
1 ! 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2)!𝑑𝑥 2 − 0 !
olup
𝑢 = 𝑥 − 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
değişken değişimi yapılırsa
𝑢! 𝑢! 𝑑𝑥 = + 𝑐 3
(𝑥 − 2)! (𝑥 − 2)! 𝑑𝑥 = 3
! 4 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 = 3
elde edilir. Buradan da
2 𝑥 − 2 = ± 3
𝟐 𝟐 𝐱𝟏 = 𝟐 − 𝐯𝐞 𝐱𝟐 = 𝟐 + 𝟑 𝟑
elde edilir. 2 2 − ∈ 0,2 olduğundan, istenilen nokta 3 2 x = 2 − 3 olur.