MAT105U-MATEMATİK 1
Ünite 8: İktisadi Uygulamalar
Piyasa Dengesi
İktisatta bir malın talebi söz konusu malın fiyatının yanı sıra, tüketicilerin geliri, benzer malların fiyatları, tüketicilerin zevk ve tercihleri gibi faktörlere bağlı olabilmektedir. Dolayısıyla bir malın talebi, birden çok değişkenin bir fonksiyonu olarak yazılabilir. Ancak iktisadi analizlerde bir malın talebi denildiğinde, diğer değişkenler sabit varsayılarak (cateris paribus varsayımı) bu malın fiyatı ile talep edilen miktarı arasındaki ilişki anlaşılır. Bu bağlamda talep, diğer değişkenler sabit varsayılarak belirli bir zaman aralığında piyasada tüketicilerin farklı fiyat düzeylerinde satın almaya hazır oldukları mal veya hizmet miktarı olarak tanımlanabilir.
Bir malın doğrusal talep denklemini p fiyatı ve x talep miktarını göstermek üzere, fiyatla talep arasındaki ilişkiyi gösteren p = mx + b biçimindeki fiyat-talep doğrusunu bulmak için denklemi sağlayan iki farklı noktaya ihtiyaç duyulur. p = mx + b şeklinde yazacağımız fiyat-talep doğrusunun eğimi:
m = (p2-p1)/(x2-x1) şeklinde hesaplanır. Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden fiyat-talep doğrusu:
p-p1 = m(x-x1) şeklinde bulunabilir. Kitabımızda 8. ünite sayfa 203’te yer alan şekil 8.3 ve 8.4’te tarif edilen örnekler incelenebilir.
Diğer değişkenler sabit olduğunda, belirli bir zaman aralığında piyasada üreticilerin değişik fiyat düzeylerinde satmaya hazır oldukları mal veya hizmet miktarına arz denmektedir. Bir malın veya hizmetin satılmak istenen miktarı ile fiyatı arasındaki doğru yönlü ilişki ise Arz Kanunu olarak isimlendirilmektedir.
Diğer değişkenler sabitken, daha yüksek fiyat düzeylerinde arz edilen mal veya hizmet miktarının daha yüksek, daha düşük fiyat düzeylerinde arz edilen mal veya hizmet miktarlarının ise daha düşük olacağını ifade eden Arz Kanununa göre genel olarak arz doğruları pozitif eğimlidir. Bu doğruların ara kesit noktasına ise denge noktası denmektedir. Talep edilen mal miktarıyla arz edilen miktarın eşit olduğu noktaya denge noktası, yani piyasa dengesi ismi verilmektedir.
Piyasa fiyatında, arz edilen miktarın talep edilen miktardan fazla olduğu durumda piyasada arz fazlası oluşur. Piyasa fiyatında, talep edilen miktarın arz edilen miktardan fazla olduğu durumda ise piyasada talep fazlası (kıtlık) vardır. Talep fazlası olduğu durumda fiyatlar artışa geçer. Fiyatlar artınca talep miktarı azalır ve arz miktarı artar. Piyasa, denge noktasına ulaşıncaya kadar bu süreç devam eder.
Başa-baş Analizi
Doğrusal fonksiyonların bir diğer iktisadi uygulaması da; toplam maliyet, toplam gelir ve toplam kar fonksiyonlarıdır. Bir ürünün üretimindeki maliyetler sabit ve değişken maliyetler olmak üzere iki başlıkta incelenir. Sabit maliyetler; kira, faiz ödemeleri, makine-teçhizat gibi
unsurlardan oluşur. Değişken maliyetler ise işçi ücretleri ve hammadde gibi maliyetlerdir. Üretici firmanın hiçbir üretim yapmadığı durumlarda bile sabit maliyetler ödenmek zorundadır. Değişken maliyetler ise üretilen ürün miktarı arttıkça artmaktadır. a sabit maliyeti, x üretim miktarını ve aynı zamanda satış miktarını, v’de birim maliyeti göstermek üzere toplam maliyet fonksiyonu
C(x) = a + vx şeklinde yazılır.
x satış miktarı ve p bir birim malın satış fiyatı olmak üzere toplam gelir fonksiyonu da R(x) = px olarak gösterilir.
Toplam gelirin toplam maliyete eşit olduğu duruma başa- baş noktası yani sıfır kar noktası denir.
Toplam gelirin toplam maliyete eşitlenmesi durumunda başa-baş satış noktası:
C(x) = R(x)
a + vx = px
𝒂 x = olarak bulunur. 𝒑 – 𝒗
Bir işletme başa-baş satış miktarından daha fazla satış yaparsa kar, tersine bu miktardan daha az satış yaparsa zarar eder.
Toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonlarının farkını alırsak kar fonksiyonu:
P(x) = R(x) - C(x) = px – (a + vx) = x(p – v) – a olur.
Marjinal Analiz
İktisatta, ilave bir birim malın üretiminin toplam maliyet, toplam gelir ve toplam karda yarattığı değişim önemlidir. İktisatçılar, değişim oranları için marjinal ifadesini kullanırlar. Değişim oranı da türeve eşit olduğundan, marjinal maliyet, marjinal gelir ve marjinal kar terimleri sırasıyla toplam maliyet, toplam gelir ve toplam kar fonksiyonlarının türevlerine eşittir.
Örnek olarak haftada x adet ürün üreten bir firmanın üretiminin maliyeti C(x) ile gösterilirse ve haftada üretilen ürün h adet arttırılırsa, ürün başına ortalama üretim maliyeti
!(𝒙!𝒉) – !(𝒙) TL olur. 𝒉
Ortalama üretim maliyeti fonksiyonunun h→0 için limiti, toplam maliyet fonksiyonunun türevine eşittir.
!" ! 𝒙!𝒉 – ! 𝒙 C′(x)= =lim!→! !" 𝒉
Buradan toplam maliyet fonksiyonunun türevi yaklaşık olarak:
!(𝒙!𝒉) – !(𝒙) C′(x)≈ olacaktır. İktisadi anlamda ilave bir 𝒉 birimin üretiminin toplam maliyette yaratacağı değişim, h=1 için C′(x) ≈ C(x+1) - C(x) TL olur.
Bir ürünün x biriminin üretiminin maliyeti C(x), aynı ürünün x biriminin satışından elde edilen gelir de R(x) olarak tanımlanırsa toplam kar, P(x) = R(x) – C(x) olduğuna göre marjinal kar:
P′(x)=[ R(x) - C(x)]′= R′(x) - C′(x) olacaktır.
Buradan da marjinal gelir marjinal maliyete eşit olduğunda marjinal kar sıfıra eşit olacaktır.
R′(x) = C′(x) → P′(x)=0
P′(x) kar fonksiyonu için R′(x) = C′(x) ve R′′(x) < C′′(x) olduğunda, x üretim düzeyinde kar maksimum olacaktır.
Esneklik
Türevin bir diğer iktisat uygulaması da esneklik kavramıdır. Esneklik, bir değişkendeki değişimin ikinci bir değişken üzerindeki etkisini ifade eden oransal bir ölçümdür. Bu kavram yüzde değişim olarak ifade edildiğinde, seçilen değişkenlerin birimlerinden etkilenmez.
İktisatta en sık kullanılan esneklik türü talebin fiyat esnekliğidir. Talebin fiyat esnekliği, bir malın fiyatındaki yüzde değişime karşılık talep miktarındaki yüzde değişimi ifade eden bir kavramdır. q talep miktarını ve p fiyatı göstermek üzere talebin fiyat esnekliği;
!" ! Ep = . formülü ile hesaplanır. !" !
Talebin fiyat esnekliği aldığı değerlere göre:
• Ep<1 ise talep esnek değildir. Fiyattaki değişim talep miktarında daha küçük değişime yol açar. • Ep>1 ise talep esnektir ve fiyattaki değişim talep miktarında büyük değişime yol açar. • Ep=1 ise talep birim esnektir ve fiyattaki değişim talep miktarında aynı oranda değişime yol açar.
Çok Değişkenli Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları
1928 yılında Charles Cobb ve Paul Douglas, ABD ekonomisinin 1899-1922 yılları arasındaki gelişmesini modelleyen bir çalışma yayınlamışlardır. Cobb ve Douglas, üretimin işgücü ve yatırım tarafından belirlendiğini öne sürdükleri basit bir ekonomi modeli almışlardır. Her ne kadar ekonomik etkinliği etkileyen pek çok başka etken varsa da modelleri gerçeğe çok yakın sonuçlar vermiştir.
Bir fabrikadaki üretim süreci sonucunda elde edilen çıktı (Q), sermayenin (K) ve işgücünün (L) bir fonksiyonu olarak ele alınabilir. A parametresi teknoloji katsayısı, α sermayenin üretime göre esnekliğini ve β işgücünün üretime göre esnekliğini gösteren pozitif sabitler ve α+ β=1 olmak üzere, sermaye ve işgücü değişkenlerine bağlı olarak çıktı fonksiyonu:
Q(K,L)=AKαLβ şeklinde yazılır ve Cobb-Douglas üretim
fonksiyonu olarak isimlendirilir.
Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun sermayeye göre !" kısmi türevi sermayenin marjinal verimliliği olarak !" adlandırılır ve işgücü L sabit olduğunda sermaye miktarına göre toplam çıktının değişim oranını ölçer.
!" İşgücünün marjinal verimliliği sermaye K sabit !" tutulduğunda işgücü düzeyine göre toplam çıktının değişim oranını ölçer. Bu konu ile ilgili örnekler kitabımızda sayfa 216 ve 217’de görülebilir.
Bir girdinin miktarı artarken, diğer girdilerin değerleri sabit olmak üzere, toplam çıktının değeri de artmaktadır. Belirli bir noktadan sonra ise girdi miktarındaki artışa karşılık çıktı miktarındaki artış durur ve azalmaya başlar. Üretim fonksiyonunun bu davranışına iktisatta azalan marjinal verimler kanunu denir.
İktisatta bir diğer önemli fonksiyon da fayda fonksiyonudur. Bir tüketicinin a ve b gibi herhangi iki tüketim maddesi için değişik tercihleri söz konusu olabilir. Tüketicinin tercihi a maddesinden x birim ve b maddesinden y birim olduğunda, tüketicinin sağladığı fayda x ve y değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Bu fonksiyona fayda fonksiyonu denir ve U(x,y) ile gösterilir. Tüketicinin a ve b ürünlerine yaptığı harcama k TL ise, bu tüketim maddelerinin miktarına bağlı olarak tüketicinin kısıt fonksiyonu g(x,y)=k denklemi ile gösterilir.
Sınırlı bir bütçeye sahip tüketicinin faydasını maksimum yapması bütçe kısıtı altında iki değişkenli bir fonksiyon olan fayda fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktalarının araştırılması problemine dönüşmektedir. Bir kısıt altında çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum noktalarının bulunmasında kullanılan yöntemlerden bir tanesi Lagrange Çarpanları yöntemidir.
Lagrange çarpanları yöntemine göre g(x,y) = k bütçe kısıtı altında U(x,y) fayda fonksiyonunun yerel maksimum noktalarının araştırılması 3 adımda özetlenebilir:
1. Adım: Lagrange çarpanı olarak isimlendirilen bir λ değişkeni yardımıyla Lagrange fonksiyonu
F(x,y,λ) = U(x,y)- λ[g(x,y)-k] olarak yazılır.
2. Adım: Lagrange fonksiyonunun x, y ve λ değişkenlerine göre kısmi türevleri bulunur ve bu kısmi türevler sıfıra eşitlenir:
!" !" !" !" !" = - λ =0 veya = λ !" !" !" !" !" !" !" !" !" !" = - λ =0 veya = λ !" !" !" !" !"
!" = -(g-k)= 0 veya g=k !𝝀
3. Adım: 2. adımdaki denklemlerin çözümünden elde edilen tüm (a,b) noktalarındaki U(x,y) fonksiyon değerlerine bakılarak, fayda fonksiyonunun maksimum değeri bulunur.