MAT105U - MATEMATİK I
Ünite 7: Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Giriş
Fonksiyon tanımlamasını hatırlayalım: A ve B gibi iki küme olsun. A kümesinin her elemanına B kümesinin tek bir elemanını karşılık getiren kurala fonksiyon denmektedir. Fonksiyon f ile gösterilirse, f: A à B şeklinde yazılmaktadır. A kümesine tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denmektedir.
Hava sıcaklığı, nem ve hissedilen sıcaklık arasındaki verilen tabloyu ele alalım (S:172, Tablo 7.1). Hissedilen hava sıcaklığı, nem değerine bağlı olarak değişmektedir. Örneğin, hava sıcaklığı 30 derece ve nem oranı %60 ise, hissedilen hava sıcaklığı 33 derece olmaktadır. Meteoroloji Genel Müdürlüğünün yayımladığı tabloda sıcaklık ve nem oranına göre hissedilen sıcaklık görülmektedir.
A kümesinin elemanlarını sıralı ikiler şeklinde yazalım.
𝐴 = 25,5 , … , 25,90 , … . . , 32,50 … (40,90)
A kümesinden, örneğin, (32,50) değerini alalım. Bu ikili bize hava sıcaklığının 32 derece, nem oranının %50 olduğunu söylemektedir. Hissedilen sıcaklık da 35 derecedir. Yani (32,50) ikilisine karşılık gelen sayı 35’tir. Bu f(32,50)=35 şeklinde gösterilmektedir. Fonksiyonun aldığı değer iki değişkene bağlı. Bu değişkenlerden birincisi hava sıcaklığı, ikincisi nem oranıdır. Bunun için bu fonksiyona iki değişkenli fonksiyon denilmektedir.
Diğer bir örnek olarak da, bir kiraz ve kayısı üreticisinin kazandığı miktarı hesaplamak için bir fonksiyon oluşturalım. Kirazın kilosunu 4 liradan sattığını, kayısı için de 2 lira istediğini düşünelim. Kirazların kilosunu x değişkeni ile, kayısıların kilosunun da y ile ifade edildiğini belirtirsek, g(x,y)=4x+2y fonksiyonu bize satıcının kazancını göstermektedir. Satıcının gelir fonksiyonu, kiraz miktarını gösteren x’e ve kayısı miktarını gösteren y’ye bağlı. Bu durumda g fonksiyonuna iki değişkene bağlı olduğu için, g’ye iki değişkenli fonksiyon diyoruz.
Satıcının, hem kiraz, hem kayısı, hem de erik ağaçları olsaydı, üç değişkenli bir fonksiyonla geliri hesaplayabilecektir.
Satıcının fonksiyonu g(x,y)=4x+2y idi. Burada geliri tek bir harfle göstermek istersek de z harifini kullanıyoruz ve z=g(x,y) yazıyoruz. Kiraz miktarı x ve kayısı miktarı y bağımsız değişkenler. Satıcının geliri z ise x ve y tarafından belirleniyor ve z bağımlı bir değişkendir. İki bağımsız değişken olduğu için fonksiyon iki değişkenlidir.
Bir fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı birden fazla ise, o fonksiyona çok değişkenli fonksiyon denir. Fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı iki ise fonksiyona iki değişkenli, fonksiyonun bağlı olduğu değişken sayısı üç ise fonksiyona üç değişkenli fonksiyon denir.
Bileşenleri gerçel sayılar olan tüm sıralı ikililerin kümesi ℝ×ℝ ile gösterilir. ℝ×ℝ = 𝑥, 𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ile gösterilir.
İki Değişkenli Fonksiyonların Grafikleri
Tek değişkenli fonksiyonların nasıl çizildiğini hatırlayalım. Kısaca y=f(x) fonksiyonunun grafiğini çizerken,biri yatay diğeri dikey iki doğru çiziyorduk. Yatay olanı x ekseni, dikey olanı da y eksenidir. Daha sonra bu eksenlere gerçel sayılar yerleştiriyorduk. Sonra herhangi bir x değeri alarak,y=f(x) değeri hesaplayarak, (x,y) noktasını koordinat düzleminde işaretliyoruz. Örneğin, fonksiyonumuz y=f(x)=x2 olsun. x=2 ise y=4
olmaktadır. Koordinatları (2,4) olan noktayı grafikte işaretliyoruz. Bu işlemi bütün x’ler için yaptığımızda fonksiyonun grafiği ortaya çıkmaktadır.
İki değişkenli fonksiyonların grafiğini çizerken de benzer bir yöntem izliyoruz. Örnek olarak bir fonksiyon alalım ve z=f(x,y)= x2+ y2 diyelim. Herhangi bir noktadaki, (x,y)
değeri için z değeri bu fonksiyonla hesaplanmaktadır. (1,2) noktasını ele alalım ve z değerini, z=f(1,2)=12+22=5
olarak hesaplayalım. (1,2) ikilisine 5 karşılık geliyorsa, koordinatları (1,2,5) olan noktayı işaretleyelim. Bu koordinatları ancak üç boyutlu bir uzayda gösterebiliriz (S:179, Şekil 7.7).
Koordinat uzayını çizebilmek için, her biri diğerlerine dik olan üç doğru çizilmelidir. Bu üç doğrunun kesiştiği nokta O ile gösterilmektedir. Bu üç doğrudan bize doğru olanına x ekseni, sağa doğru olanına y ekseni ve yukarı doğru olanına z ekseni diyoruz.
z=f(x,y)= x2+ y2 fonksiyonunun grafiğini bütün x ve y
değerleri için çizersek, karşımıza (S:182, Şekil 7.15) ile verile şekildeki gibi çıkar.
Kısmi Türev
Türev fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. Türev değeri büyükse fonksiyon hızlı, türev küçükse fonksiyon yavaş değişmektedir. Türevin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artmakta, negatif olduğu aralıklarda da fonksiyon azalmaktadır.
Fonksiyonumuz, f(x,y) gibi iki değişkenli olsun. Eğer x değerini değiştirirsek, fonksiyonumuzun aldığı değer de değişecek. Benzer bir durum sadece y değişkenini değiştirdiğimiz zaman da karşımıza gelecektir. Şimdi şu soruyu kendimize soralım: hem x’i hem de y’yi değiştirirsek fonksiyon ne kadar hızlı değişir.
Sadece bir değişkenin değişmesine izin verip, diğer değişkeni sabit tutarsak, elde ettiğimiz türev değerine kısmi türev diyoruz. Örneğin, z=f(x,y)= x2+ 5y2 olsun.
Eğer y değerini sabit tutup, x’in değişmesine izin vererek aldığımız türevin (2,1) noktasındaki değerine, f fonksiyonunun (2,1) noktasındaki x’e göre kısmı türevi diyoruz ve şöyle gösteriyoruz:
𝜕𝑓 2,1 = 4 𝑦𝑎 𝑑𝑎 𝑓! 2,1 = 4. 𝜕𝑥 !" f(x) şeklindeki bir değişkenli fonksiyonun türevine !" şeklinde gösterilmişti. Fonksiyonumuz f(x,y) şeklinde iki değişkenli ise, y’yi sabit tutarak x’e göre kısmi türev alıyorsak bunu gösterirken normal d değil kıvrımlı d !" kullanarak, kısmi türevi olarak gösteriyoruz. 𝑓! olarak !" da ifade ediyoruz.
Şimdi x’i sabit tutup y’ye göre türevi hesaplayalım. Fonksiyonumuz z=f(x,y)= x2+ 5y2. Seçtiğimiz nokta (2,1)
noktası. x'i sabit tutarak 2 olarak alacağız. O zaman fonksiyonumuz f(2,y)= 22+ 5y2=4+ 5y2 şeklinde sadece
y’ye bağlı olacak. Bu fonksiyonun y’ye göre türevi 10y olacak ve seçtiğimiz nokta y=1 olduğundan türev değeri fy 10 olarak hesaplanacaktır.
fx fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi fxx ile, y’ye göre kısmi türevi ise fxy ile gösterilir.
𝜕 𝜕𝑓 𝑓!! = 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑓 𝑓!" = 𝜕𝑦 𝜕𝑥
fy fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi fyx ile, y’ye göre kısmi türevi ise fyy ile gösterilir:
𝜕 𝜕𝑓 𝑓!" = 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑓 𝑓!! = 𝜕𝑦 𝜕𝑦
Fonksiyonun kısmi türevi ve grafiği arasındaki ilişkiye bakalım. z=f(x,y) yüzeyini bir tepe gibi düşünelim.Tepenin herhangi bir noktasında duruyorum. Eğer x yönünde ilerlerken yukarı çıkıyorsam fx pozitif, eğer aşağı iniyorsam fx negatiftir. Eğer yukarı çıkılıyorsa, yokuş ne kadar dikse fx değeri o kadar büyüktür.
Yerel Maksimum ve Yerel Minimum
f(x,y) şeklinde iki değişkenli bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerinin hesaplanması tek değişkenli duruma benzer. Eğer (a,b) noktasının yakınındaki tüm (x,y) noktaları için f(x,y)≤f(a,b) oluyorsa (a,b) noktasına yerel maksimum diyoruz.
Yerel minimum noktası da benzer şekilde tanımlanmaktadır. Eğer (c,d) noktasının yakınındaki tüm (x,y) noktaları için f(x,y)≥f(c,d) oluyorsa (c,d) noktasına bir yerel minimum noktası diyoruz
Yerel maksimum veya yerel minimum noktalarını bulabilmek için bir değişkenli fonksiyonlarda yaptığımız yaklaşımın aynısını yapabiliriz. Bu noktalarda türev, eğer varsa, sıfır olmalıdır.
Örnek olarak (S:187, Şekil 7.21) ile verilen fonksiyonun (a,b) noktasında, diğer bir deyişle yerel maksimum noktasındaki türevine bakalım. İlk olarak x’e göre kısmi türevi aradığımız için y’yi serbest tutacağız, yani y=b olacak. Bu durumda fonksiyon, sadece x’e bağlı tek değişkenli bir fonksiyona dönüşecek. Bu fonksiyonun x’e göre türevini alarak, sıfıra eşitlersek a değerini buluruz. Benzer bir şekilde, x’i serbest tutup, y’ye göre kısmi türev alarak sıfıra eşitlersek b noktasını hesaplayabiliriz.
f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyonsa ve eğer (a,b) noktasında hem fx(a,b) hem de fy(a,b)=0 ise (a,b) noktasına kritik nokta denilmektedir. f(x,y) fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulmak için fonksiyonun kritik noktalarını yani hem fx hem de fy’nin sıfır olduğu noktaları bulmalıyız.
Fonksiyonun kritik noktalarının, örneğin (a,b) noktasının, yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa hiç biri olup olmadığını bulabilmek için ikinci türevin bulunarak test edilmesi gerekmektedir. Bu amaçla D değerinin bulunarak çeşitli eşik değerleriyle karşılaştırılmalıdır:
𝐷 = 𝑓!! 𝑎, 𝑏 𝑓!! 𝑎, 𝑏 − 𝑓!" 𝑎, 𝑏 𝑓!" 𝑎, 𝑏
• Eğer D>0 ve fxx(a,b)>0 ise (a,b) yerel minimum noktasıdır. • Eğer D>0 ve fxx(a,b)<0 ise (a,b) yerel maximum noktasıdır. • Eğer D<0 ise (a,b) noktası ne yerel minimum ne de yerel maksimum değeridir. • D=0 ise ikinci türev testi kullanılamaz.
En Küçük Kareler Yöntemi ve Regresyon Doğrusu
Eğer elinize belirli bir nokta dizisi verildiyse ve bu noktalardan geçen doğrunun hesaplanması isteniyorsa, çok sayıda deneme yapmanız ve en uygun doğruyu aramanız gerekebilir.
Bir doğrunun denkleminin f(x)=ax+b şeklindedir ve a ve b değerlerini farklı seçtikçe değişik doğrular elde edilir. Verilen noktalara uygun doğrunun seçilmesi işi demek, doğru denkleminde yer alan en uygun a ve b değerlerinin bulunması işidir. Bu amaçla, verilen noktalarla, f(x)=ax+b doğrusu arasındaki hataları ve hataların karelerinin bulunması gerekmektedir. Hataların karelerinin toplamı a ve b’ye bağlı bir formül olarak bulunacaktır.
Hataların karelerinin toplamını en küçük yapan a ve b değerlerinin bulunması için, a ve b’ye göre kısmi türev alarak sıfıra eşitlenmelidir. Kısmi türevleri sıfır yapan a ve b değerleri aradığımız kritik noktaları yani hataların karelerini minimum yapan a ve b değerlerini verecektir. Bunun sonucunda bulunan f(x)=ax+b doğrusuna regrasyon doğrusu bu doğruyu bulurken kullanılan yönteme de en küçük kareler yöntemi denir.