MAT105U-MATEMATİK 1
Ünite 5: Limit, Süreklilik ve Türev
Limit
Bu bölümde bahsedeceğimiz türev kavramı birçok bilim dalının kullandığı ortak bir kavramdır. Türev kavramını açıklayabilmek için de limit kavramını tanımlamak gerekmektedir. Buradan hareketle bir örnek üzerinden limit kavramını açıklamaya çalışalım.
x gibi bir değişken sayımız olsun ve 2 sayısına yaklaşmaya çalışalım. x değişken sayısına farklı değerler vererek, x ile 2 arasındaki uzaklığı istediğimiz kadar küçük yapabiliriz. Böyle yaparak x değişkenini 2 sayısına yaklaştırmış oluruz. Bu işlemi hem 2’ den büyük sayılarla hem de 2’ den küçük sayılarla yapabiliriz ve bunu sırasıyla x→2+ ve x→2- olarak gösterebiliriz ( S:115, Tablo 5.1). Hem küçük
hem de büyük değerlerle yaklaşma durumunu da x→2 olarak gösterebiliriz ( S:115, Tablo 5.2). Yaklaşma söz konusu ise dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta vardır: x değişkeni 2 sayısına yaklaşır fakat asla 2 olmaz.
Şimdi de limit kavramının matematiksel olarak tanımını yapalım: A kümesi bir aralık olmak üzere; A ⊂ ℝ , f : A → ℝ fonksiyonu ve sabit bir x0 ∈ ℝ noktası verilsin. Eğer 𝑥! ∈ A ve x ≠ 𝑥! için x → 𝑥! iken f ( x ) değerleri tek bir L sayısına yaklaşıyorsa 𝑥! noktasında ya da x → 𝑥! için f fonksiyonunun limiti L olarak tanımlanır.
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 ! → !!
Limit kavramının genel özelliklerini ise şu şekilde sıralayabiliriz:
A ⊂ ℝ , f : A → ℝ , g : A → ℝ ve 𝑥! ∈ ℝ olmak üzere,
lim! → !! 𝑓 𝑥 = 𝐿! 𝑣𝑒 lim! → !! 𝑔 𝑥 = 𝐿! ise
i. İki fonksiyonun toplamının limiti; bu iki fonksiyonun limitlerinin toplamına eşittir.
lim 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥 ) = lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔 𝑥 = 𝐿! + 𝐿! 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0
ii. İki fonksiyonun çarpımının limiti; bu iki fonksiyonun limitlerinin çarpımına eşittir.
lim 𝑓 𝑥 . 𝑔 (𝑥 ) = lim 𝑓 𝑥 . lim 𝑔 𝑥 = 𝐿!. 𝐿! 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0
iii. İki fonksiyonun bölümünün limiti; bu iki fonksiyonun limitlerinin bölümüne eşittir ( paydanın limiti sıfırdan farklı olmak üzere).
!"#! → !! !(!) !! L2 ≠ 0 olmak üzere, lim! → !! = !"#! → !! !(!) !!
Bazı problemlerin çözümünde bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin değerinin bilmesinden ziyade fonksiyonun o nokta civarındaki davranışının bilinmesi daha önemli olur ve işte bu durumda limit kavramı ortaya çıkar. Bir fonksiyonun herhangi bir noktada limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olması gerekmez ve de fonksiyon o noktada tanımlı olsa bile fonksiyonun değeri limit değerine eşit olmak zorunda değildir. ( S:118, Şekil 5.8)
Verilen herhangi bir fonksiyonun bir sayıya o sayıdan büyük değerlerle yaklaştırılmasına sağdan yaklaşma, o sayıdan küçük değerlerle yaklaştırılmasına ise soldan yaklaşma denir. Parçalı tanımlı fonksiyonlar için, fonksiyonun herhangi bir sayıya sağdan ya da soldan yaklaşması durumunda limit değerleri de farklı olur. O sayıya farklı yönlerden yaklaştırıldığında farklı limit değerlerine sahip olduğu için fonksiyonun bu noktada limiti yoktur denir.( S:119, Şekil 5.9) Ayrıca limit noktasal bir kavram olduğu için bir noktadaki limitin varlığı o fonksiyon için başka noktalardaki limitin varlığı ya da yokluğu hakkında bize bilgi vermez.
Limit kavramı ile ilgili bilinmesi gereken diğer bir konu ise (a, ∞) gibi bir aralıkta tanımlanmış fonksiyonlar için limit değeridir. Böyle tanımlanmış bir aralık için x değerlerinin sınırsız büyümesi durumunda fonksiyonun limiti ne olacağını merak edebiliriz. Eğer fonksiyonumuz ! şeklinde tanımlanmışsa, x değeri gittikçe büyüyen ! değerler aldığında pay sabit kalırken payda sonsuza gittiği için kesrin değeri 0’ a yaklaşır ve, x → ∞ için f fonksiyonunun limiti 0’dır.
1 1 1 lim! = ∞, lim! = −∞ , lim = 0 !→! 𝑥 !→! 𝑥 !→!𝑥
( S:120, Şekil 5.10)
Süreklilik
Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması özel bir durumdur. Eğer , f : A ⊂ ℝ → ℝ fonksiyonunun 𝑥! ∈ A noktasındaki limiti, fonksiyonun bu noktadaki değerine eşitse, yani lim! → !! 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥!) ise f fonksiyonu 𝑥! noktasında
süreklidir denir.
Matematikte sıklıkla karşımıza çıkan polinom fonksiyonlar, rasyonel fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve logaritmik fonksiyonlar sürekli fonksiyonlardır, yani bu fonksiyonlar tanım kümelerinin her noktasında süreklidir. Parçalı fonksiyonlarda ise fonksiyonun sağdan ve soldan limiti birbirine eşitse fonksiyon bu noktada süreklidir, eğer eşit değilse fonksiyon bu noktada sürekli değildir. ( S:121, Şekil 5.11, Şekil 5.12)
Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise, fonksiyonun o nokta civarındaki değerlerinde büyük farklılıklar olmayacağından fonksiyon için çizilen grafikte kopmalar görülmez. ( S:121, Şekil 5.11, Şekil 5.12)
Bir fonksiyonun aldığı değerlerin en büyüğü mutlak maksimum, en küçüğü ise mutlak minimum olarak tanımlanır. Fakat her sürekli fonksiyonun mutlak maksimum ve minimumu olmayabilir.
Kapalı bir aralık üzerinde tanımlı bir sürekli fonksiyon için en az birer noktada mutlak maksimum ve minimum değeri vardır. Bu sürekli fonksiyonların bir özelliğidir.
Kapalı bir aralık üzerinden tanımlanan sürekli fonksiyonların bir başka önemli özelliği de bu fonksiyonların, mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri arasındaki her değeri en az bir noktada almasıdır. Buna ‘’ Ara Değer Teoremi ‘’ denir. ( S:122, Şekil 5.13 ) Bu teorem kapalı bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyonun o aralıkta kökü olup olmadığına bakılırken kullanılır. ( S:123, Şekil 5.14 ) Ara değer diğer bir kullanım alanı ise kökleri tam olarak bilinmeyen bir denklemin en azından bir kökünün olup olmadığını hakkında fikir sahibi olmamıza yardımcı olmasıdır. Örneğin 𝑥! +2x+5=0
denkleminin [-2,1] aralığında bir kökü olup olmadığını araştıralım. 𝑓: −2,1 → ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 + 5
fonksiyonu tanımlayalım. 𝑓 −2 = −7 ve 𝑓 1 = 8 olup bu fonksiyon sürekli olduğundan -7 ile 8 arasındaki 0 değerini de ara değer teoremi gereği alacaktır. Dolayısıyla bu denklemin [-2,1] arasında en az bir kökü vardır.
Türev
Öncelikle, bir fonksiyonun grafiği olan bir eğrinin bir noktadaki teğetini tanımlayalım. Bunun için f fonksiyonunun P = (x!, y! ) noktasındaki teğetine bakalım. Fonksiyon grafiğinin üzerinde P noktasından farklı bir Q = (x, y) noktası alalım. Bu durumda PQ keseninin eğimi;
𝑦 − 𝑦! 𝑚!" = 𝑥 − 𝑥!
olur. Eğer biz eğri üzerinde kalarak Q noktasını her iki yönden P noktasına yaklaştırırsak bu aynı zamanda x sayısının 𝑥! sayısına yaklaşması anlamına gelir. Bu !!!! durumda PQ keseninin eğimi olan oranı da bir !!!! sayıya istenildiği kadar yaklaşır veya yaklaşmayabilir. Eğer bu oran belli bir sayıya yaklaşıyorsa, yani;
𝑦 − 𝑦! lim !→!!𝑥 − 𝑥!
limiti varsa, eğimi bu değer olan d doğrusu f fonksiyonunun P noktasındaki teğeti olarak tanımlanır. ( S:125, Şekil 5.17 ) Eğer bu limit yoksa fonksiyonun teğeti yoktur. Limit olması durumda teğetin eğimi,
𝑦 − 𝑦! 𝑚! = lim !→!!𝑥 − 𝑥!
olarak verilir. Burada y ve 𝑦! fonksiyonun x ve 𝑥! apsisli noktalardaki değerine eşit olduğundan, 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝑦! = 𝑓(𝑥!) ’ dır. Bu değerleri teğet eğiminde yerine yazarsak,
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥!) 𝑚! = lim !→!! 𝑥 − 𝑥!
olur.
Bir yolda belirli bir hızla giden bir aracın istediğimiz bir andaki hızını bilmemiz gerekebilir. Bu işlem tam olarak da bizim bahsettiğimiz bir eğrinin bir noktadaki teğetini bulma işlemine benzemektedir. Serbest düşmeye bırakılan bir cismin herhangi bir andaki hızını belirleme işleminden hareketle bu konuyu açıklayabiliriz. ( S:127, Şekil 5.19 )
Hareketlinin anlık hızının bulunması için o andaki hızı civarındaki değerlerin limiti alınır. Buradan hareketle anlık hız
𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑥!) 𝑣 = lim !→!! 𝑥 − 𝑥!
şeklinde ifade edilebilir. Bu limit değeri bize s fonksiyonunun 𝑥! anlık hızını vermektedir. ( S:127)
Yukarıda yaptığımız işlemleri daha da genelleştirip artık türev kavramının tanımını yapabiliriz. f : A ⊂ ℝ → ℝ fonksiyonu verilsin ve 𝑥! ∈ A olsun. Eğer 𝑥 ∈ A olmak üzere
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥!) lim !→!! 𝑥 − 𝑥!
limiti mevcut ise, bu limit değeri f fonksiyonunun 𝑥! noktasındaki türevi olarak tanımlanır ve
! !"(!!) !" 𝑓 (𝑥!) veya veya biçimlerinde !" !" !!!!
gösterilir.
𝑦 = 𝑓(𝑥) eğrisinin bir 𝑥! noktasından geçen teğet doğrusun denklemi 𝑦 − 𝑓(𝑥!) = 𝑓′(𝑥!)(𝑥 − 𝑥!) ile verilir.
Buradaki 𝑥 − 𝑥! artmasını Δ𝑥 ile, fonksiyondaki artmayı da Δ𝑦 ile gösterirsek
! Δ𝑦 𝑓 (𝑥!) = Δ𝑥
olur. Δ𝑥 yeteri kadar küçük alındığında yani sıfıra yakın ! !! olduğunda 𝑓 (𝑥!) ≅ olarak yazılabilir. Buradan da !! 𝑓 𝑥 ≅ 𝑓 𝑥 + 𝑓! 𝑥 . Δ𝑥 diyebiliriz. (S:129, Şekil 5.21) ! !
Yukarıda matematiksel olarak ifade edilen durum şunu anlatır: eğer bir fonksiyondaki bağımsız değişkene küçük bir artma verilirse, fonksiyon yaklaşık olarak bu artma ile türevin çarpımı kadar artar ya da azalır fakat bu yaklaşıklık genellikle verilen artma miktarının sıfıra yakın olduğu durumda geçerlidir.
Özetle söyleyecek olursak, türev bir fonksiyonun anlık değişim hızının bulunmasında ve bazen de bir noktadaki yaklaşık değerinin bulunmasında kullanılan bir kavramdır.
Bir fonksiyonun verilen bir noktadaki türevinin varlığı araştırılırken limitin varlığındakine benzer olarak türev tanımındaki limitin varlığı araştırılmalıdır. Yani o noktadaki sağdan ve soldan limite bakılarak sağdan ve soldan türevlere bulunur. Bu değerler eşit ise fonksiyon o noktada türeve sahiptir denir.
Türev kavramı da limit gibi noktasaldır yani bir fonksiyonun bir noktada türevi olsa bile başka bir noktada olmayabilir (S:130, Şekil 5.22) ve de fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktada kesinlikle türevi vardır diyemeyiz ancak bir noktada türevi varsa o noktada süreklidir. Örneğin; bir fonksiyonun grafiğinin kırıldığı noktalarda yani köşe noktalarında fonksiyon sürekli olmadığı için türevi de yoktur. (S:131, Şekil 5.23)
A ⊂ ℝ , f : A → ℝ , g : A → ℝ ve 𝑥! ∈ A olmak üzere, f ve gibi iki fonksiyonun 𝑥! noktasında türevi varsa
a. f+g fonksiyonunun da bu noktada türevi vardır ve f+g’nin türevine eşittir: 𝑓 + 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑥 + 𝑔′(𝑥 ) ! ! ! b. 𝑓 ∙ 𝑔 fonksiyonunun da bu noktada türevi vardır ve 𝑓 ∙ 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)+𝑔′(𝑥 )𝑓(𝑥) ! ! !
Türevin tanımı ve yukarıda verilen özellikler kullanılarak bir fonksiyonunun türevinin alınmasıyla ilgili aşağıdaki sonuca ulaşılabilir.
𝑟 herhangi bir gerçel sayı olmak üzere, 𝑓(0, ∞) → ℝ , 𝑓 𝑥 = 𝑥! fonksiyonun türevi 𝑓! 𝑥 = 𝑟 𝑥!!!’dir.
Türevi daha kolay anlamak için S:132, 133 ve 134’ deki örneklere bakılabilir.
Bir olayda hareket ve de değişim söz konusu ise hız ve dolayısıyla türev vardır. Bu bağlamda düşündüğümüzde türev kavramının kullanım alanlarından birisinin de değişim hızının sıfır olduğu noktaların bulunmasıdır diyebiliriz.
Elimizde 𝑎, 𝑏 aralığı üzerinde tanımlı bir sürekli fonksiyon varsa ve her 𝑥!, 𝑥! ∈ 𝑎, 𝑏 için 𝑥! < 𝑥! iken 𝑓(𝑥!) < 𝑓(𝑥!) oluyorsa f fonksiyonu bu aralıkta artan, eğer 𝑥! < 𝑥! iken 𝑓(𝑥!) > 𝑓(𝑥!) ise fonksiyon bu aralıkta azalandır. (S:135, Şekil 5.24, Şekil 5.25, Şekil 5.26, Şekil 5.27)
Matematiksel olarak bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bilmek için türevinin işaretine bakmak yeterlidir. Eğer bir aralıkta türev pozitif ise fonksiyon bu aralıkta artandır, eğer negatifse fonksiyon bu aralıkta azalandır. Ancak fonksiyon bir aralıkta artan veya azalan ise o aralıkta türevi kesin pozitiftir veya negatiftir diyemeyiz çünkü türevi sıfır da olabilir. (S:136, Şekil 5.28)
f : A ⊂ ℝ → ℝ olsun ve bir 𝑥! noktası civarındaki tüm 𝑥 ∈ A noktaları için 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥!) oluyorsa, 𝑥! noktasına f fonksiyonunun yerel maksimum noktası ve 𝑓(𝑥!) sayısına da yerel maksimum değeri, bir 𝑥! noktası civarındaki tüm 𝑥 ∈ A noktaları için 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥!) oluyorsa 𝑥! noktasına f fonksiyonunun yerel minimum noktası ve 𝑓(𝑥!) sayısına da yerel minimum değeri olarak tanımlanır. (S:136, Şekil 5.29)
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve minimum değerlerine yerel ekstremum noktaları denir. Herhangi bir fonksiyonun mutlak maksimum ve minimum değerleri, fonksiyonun tanım kümesini belirleyen aralıkların uç noktalarında aldığı değerler ile yerel ekstremum değerlerinin karşılaştırılması ile belirlenebilir.
Bu durumla ilgili bahsetmemiz gereken önemli bir nokta vardır. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesinin uç noktası olmayan bir ekstremum noktasında türevi varsa o noktada türev sıfırdır fakat türevin sıfır olduğu her nokta yerel ekstremum noktası değildir. Bu noktalar fonksiyonun kritik noktaları olarak adlandırılır. Bir kritik noktada fonksiyonun türevinin işareti değişiyorsa o nokta bir ekstremum noktasıdır. (S:136, Şekil 5.30, S:137, Şekil 5.31)
Türev kavramı ile ilgili son bir noktayı daha açıklayalım. Eğer bir fonksiyonun, tanım kümesinin her noktasında türevi varsa, tanım kümesindeki her elemanı, fonksiyonun bu noktadaki türevine götüren bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonu 𝑓! 𝑥 ile gösterirsek, bu fonksiyonun da
türevinden söz edebiliriz. Tanım kümesine ait bir 𝑥! noktasında 𝑓! fonksiyonunun türevi varsa bu türeve f fonksiyonunun bu noktadaki ikinci türevi denir ve 𝑓!!(𝑥 ) ! olarak gösterilir. (S:137)
Bir fonksiyonun birinci mertebeden türevi bize fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızını veriyordu. Yani 𝑓! türevi ile bir fonksiyonun artan ya da azalan
olduğu aralıklar belirlenebiliyordu. Aynı mantıkla düşündüğümüzde 𝑓! fonksiyonunun artan ya da azalan olduğu aralıklar da bu fonksiyonun türevi olan 𝑓!! ile
belirlenebilir. Buradan diyebiliriz ki; bir fonksiyonun kendisi artan veya azalan iken artma ya da azalma hızlarının nasıl değiştiğine fonksiyonun ikinci mertebeden türevi ile bakabiliriz ve fonksiyonun ikinci mertebeden türevi sıfır ise, fonksiyon sabit bir hızla artar ya da azalır.
Bir fonksiyonun birinci mertebeden türevinin sıfır olduğu kritik noktasında ikinci mertebeden türevi negatif ise bu nokta bir yerel maksimum noktası, pozitif ise yerel minimum noktasıdır. Örnekler için S:139, Şekil 5.36, Şekil 5.37, Şekil 5.38’ e bakılabilir.