MAT105U-MATEMATİK 1
Ünite 4: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel Fonksiyonlar
Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlanan a>0 ve a ≠ 1 olmak üzere
f(x) = ax
denklemi ile tanımlanan fonksiyona bir üstel fonksiyon denir. Kuvvetleri alınan a sayısına da taban denir. Bu fonksiyonu xa ile karıştırmamak gerekir. Çünkü xa’da taban değişirken üs sabit kalır. ax fonksiyonunda ise taban
sabittir, üs değişir. Tanımda a=1’in kapsam dışı bırakılma sebebi, bu sayının tüm kuvvetlerinin yine 1 olmasından dolayı sabit bir fonksiyon olmasından kaynaklanmaktadır. 1x her zaman aynı sayıya (1’e) karşılık gelecektir.
Tanımda, 0’dan küçük a değerleri de kapsam dışında bırakılmıştır. Bunun nedeni ise, negatif tam sayılarda için sorun oluşturma da, tam sayı olmayan kuvvetler için, eşitliğin gerçek sayılar kümesinin dışında olmasıdır. ! ! Örneğin (−3) = 9 için sorun olmasa bile −3 ! = −3 eşitliği için, karesi (-3) olan sayı olamayacağı için tanımsızdır.
Üstel fonksiyonlar kullanarak yazılması ve okunması zor olan sayıları bile kolayca yazabiliriz. 18 446 744 073 709 551 615 sayısını 264-1 olarak ifade etmek mümkündür.
Bir üstel fonksiyonun grafiğini çizebilmek için, o fonksiyona ait noktaların bilinmesi gerekir. Bunun için de x’in farklı değerleri için ax hesaplanmalıdır. Hesaplanan
nokta sayısı arttıkça daha doğru bir grafik elde ederiz. Şekil 4.2’de a=2 değeri için bazı noktalar birleştirilerek grafik oluşturulmuş, Şekil 4.3’te nokta sayısı arttırılarak gerçek grafiğe daha çok benzeyen bir grafik elde edilmiştir. Günümüzde bilgisayar kullanarak çok sayıda nokta için fonksiyon değeri hesaplanarak Şekil 4.4’teki gibi bir grafik elde etmek mümkündür.
Üstel fonksiyonlarda taban değeri (a) sıfırdan büyük değer hesaplandığından kuvvetleri de sıfırdan büyük sayılar olacaktır. Böylece üstel fonksiyon aslında gerçel sayılardan gerçek sayılara giden bir fonksiyon olmak yerine gerçel sayılardan pozitif sayılara bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Bu sebeple üstel fonksiyon, örten fonksiyon olur. Taban değeri a>0 iken, üs değeri (x) arttıkça, fonksiyon değeri Şekil 4.5’teki gibi artan olur. Taban değeri 0<a<1 iken, üs değeri (x) arttıkça, fonksiyon değeri Şekil 4.6’teki gibi azalan olur. Ayrıca Şekil 4.7’de görüldüğü gibi x eksenine paralel çizilen doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiği için, üstel fonksiyonun bire-bir fonksiyon olduğunu söyleyebiliriz. Grafik olmadan da, birbirinden farklı x ve x noktaları için a x1 ≠ ax2 1 2 olacağından farklı noktaların görüntülerinin de farklı olacağını söyleyebiliriz. Üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten olduğuna göre ax’in ters fonksiyonunu da bulabiliriz.
Taban değişirken grafiklerin nasıl değişiğini ise Şekil 4.8 ve Şekil 4.9’da görebiliriz. Herhangi bir a sayısının sıfırıncı kuvveti 1 olduğu için grafiklerin hepsi (0,1) noktasından geçer.
Üslü sayıların bazı özelliklerini hatırlamak gerekirse;
a>0 , b>0 ve x,y ∈ ℝ olmak üzere
i. 𝑎! = 1 ii. 𝑎!!! = 𝑎!𝑎! !! ! iii. 𝑎 = ! ! ! !!! ! iv. 𝑎 = ! ! v. (𝑎!)! = 𝑎!" vi. (𝑎𝑏)! = 𝑎!𝑏!
Üstel fonksiyonlar faiz hesapları, nüfus tahminleri, bir bakteri kültüründeki bakteri sayısının artışı, radyoaktif maddelerin bozulması gibi kullanım alanlarında karşımıza çıkar. Daha genel bir ifadeyle bir büyüklüğün artışı veya azalışı mevcut büyüklüğü ile orantılı ise üstel artma veya azalma söz konusudur. Pozitif bir nicelik zaman içinde değişiyorken mevcut büyüklüğü ile orantılı olarak artıyorsa üstel artış gösteriyor denir ve a>0, K>0 olmak üzere f(t) = Kat
şeklinde modellenir. Eğer bu nicelik mevcut miktarla orantılı olarak azalıyorsa üstel azalma gösteriyor denir ve 0<a<1, K>0 olmak üzere
f(t) = Kat
şeklinde modellenir.
Polinom ve üstel fonksiyonların artışı Tablo 4.1’de gösterilmiştir, üstel fonksiyonlar polinomlardan çok daha hızlı artmaktadır.
Faiz hesaplamaları yapılırken, sadece anaparanın bir dönem için getirdiği faiz hesaplanırsa buna basit faiz denir. Faiz dönemi sonunda, faiz getirisinin anaparaya eklenip sonraki faiz döneminde anaparaya önceki dönenim getirisinin de eklendiği zaman, bu dönemde faiz getirisinin de getirisi olacağı için, bu durumdaki hesaplamama bileşik faiz hesabı denir. A lira dönemlik %p bileşik faizle bankaya yatırılırsa n. dönem sonunda
𝑝 ! 𝐴(1 + ) 100
lira olur.
Bankanın yıllık faiz oranı %100 olsun. Faiz dönemleri yıllık, altı aylık (%50), üç aylık (%25) gibi farklı zaman aralıkları ile hesaplandığında, 1 TL para faize yatırıldığında altı aylık dönemde toplam para 1(1 + !" ! ) = 2,2 5 lira, üç aylık dönemlerle yatırıldığında !"" !" ! 1(1 + ) = 2,44 lira olur. Dönem sayısı arttıkça faiz !"" !""/! ! ! ! getirisi artacak ve toplam para (1 + ) = (1 + ) !"" ! kat artacaktır. n sayısı ne kadar artırılsa arttırılsın 2,7182818.. gibi bir sayıya yaklaşır. Bu sayısı e sayısı olarak bilinen bir irrasyonel sayıdır. Bu sayıyı ilk olarak Napier’in bir çalışmasında b ile göstermiş olsa da matematiğin birçok alanına önemli katkılar yapan İsviçreli Matematikçi Euler (1707-1783) tarafından e olarak
kullanılmıştır. Tabanı e olan fonksiyonlar birçok uygulamayla karşımıza çıkar.
Azalan üstel fonksiyonlara örnek olarak radyoaktif yarılanma ömrü verilebilir. Sabit bir yüzde ile azalan bir büyüklük bir süre sonra yarıya iner, bu süreye yarılanma ömrü denir.
Logaritma Fonksiyonu
Üstel fonksiyonun R’den (0, ∞) aralığı üzerine bire-bir ve örten olduğunu gördük. Dolayısıyla üstel fonksiyonun ters fonksiyonu da vardır. ax’in ters fonksiyonuna a tababına
göre logaritma denir. Bu fonksiyon logax olarak yazılır. Üstel fonksiyonun tersi olarak ifade edersek; logax yani x sayısının a tabanına göre logaritması “a’nın hangi kuvveti x’tir?” sorusunun cevabıdır. a>0, a ≠ 1 olmak üzere
y = log 𝑥 ⇔ 𝑎! = 𝑥 !
şeklinde tanımlanan fonksiyona a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir. ⇔ gerek ve yeter koşul işaretidir. Bu işaretin bir tarafındaki ifadenin doğru olması için gerek ve yeter koşul diğer tarafındaki ifadenin de doğru olmasıdır.
Logaritma kelimesi, latince oran anlamına gelen logos ve sayı anlamına gelen arithmos kelimelerinden türetilmiştir. Bazı sayıların logaritmalarını incelersek, örneğin log! 27, 3’ün hangi kuvveti 27’dir sorusunun cevabına eşittir. 33=27 olduğundan log 27 = 3 olur. !
Ters fonksiyonların grafiği, ters olduğu fonksiyonun grafiğinin 𝑦 = 𝑥 doğrusuna göre simetriğidir. Şekil 4.14’te bir logaritma fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Logaritma fonksiyonu da üstel fonksiyon gibi a>1 durumunda artan fonksiyondur.
10 tabanında logaritma fonksiyonu taban belirtmeden sadece 𝑙𝑜𝑔 ile gösterilir. 𝑒 tabanında logaritmaya da doğal logaritma denir ve 𝑙𝑛 ile gösterilir.
Üstel fonksiyonlara benzer şekilde logaritmaların da bazı özellikleri vardır.
a>0 , b>0 C> ve x,y ∈ (0,∞) olmak üzere
i. log! 1 = 0 ii. log! 𝑎 = 1 iii. log! 𝑥𝑦 = log! 𝑥 + log! 𝑦 ! iv. log! = log! 𝑥 − log! 𝑦 ! v. log 𝑥! = 𝑏log 𝑥 ! !
16. ve 17. yüzyıllarda bazı dallarının ihtiyaç duyduğu ,defalarca yapılan ve çok zaman alan hesapları kolaylaştırmak amacıyla İskoçyalı matematikçi Napier tarafından logaritma matematik dünyasına tanıtılmıştır. Hazırlanan logaritma cetvelleri ve iii numaralı özellik ile iki sayının çarpımı sıradan bir toplama işlemine dönüşmüştür. Şekil 4.17’de görülen logaritma cetvelinde, çarpılacak sayıların logaritmaları tablodan bulunur, daha sonra bulunan sayılar toplanır. Daha sonar yine logaritma cetvelinde bu sayıya eşit olan değer aranır ve sonuca ulaşılır.
Logaritmanın kullanıldığı diğer bir alan da ölçeklerdir. Çok büyük ve çok küçük değerler alabilen bir niceliği eşit aralıklarla göstermek için logaritmik ölçekleri kullanmam mümkündür. Logaritmik ölçekler gösterilmek istenen büyüklüğün kendisini değil, logaritmasını gösterir. Bu sayede niceliğin çok büyük ve çok küçük değerlerini aynı grafik üzerinde görmek mümkün olur. 1, 10, 100, 1000, … gibi değerlere karşılık gelen değerler, 10 tabanına göre logaritma ile ölçeklendirilmiş bir ölçekte 0,1,2,3,.. ! ! sayılarına karşılık gelir. Benzer şekilde , , … gibi !" !"" küçük sayılar da -1, -2.. sayılara karşılık geleceği için küçük değişimleri bile görmek mümkün olur. Ses şiddetini ölçmek için kullanılan desibel ölçeği, suyun sertlik dereceğini ölçmek için kullanılan pH ölçeği 10 tabanına göre hazırlanmış logaritmik ölçeklerdir. Deprem büyüklüklerini ölçmek için kullanılan Richter ölçeği de, 10 tabanına göre logaritmik bir ölçektir. Bir depremin Richter büyüklüğü, depremin dış merkezinden 100 kilometre uzaktaki sismografın ölçtüğü dalganın genliğinin logaritmasıdır. Buna göre, 9 büyüklüğünde bir deprem 7,4 büyüklüğündeki depremin genlik açısından, 9- 7,4 = 1,6 olduğu ve sayılar logaritma 10 tabanında olduğu için, 101,6 kat daha büyüktür.
Logaritma müzikte de kullanılır. Ses dalgaları periyodik basınç dalgalarıdır. Bu basıncın maksimum değerine genlik denir. Genlik arttıkça daha yüksek sesler duyulur. Ses dalgasının bir saniyedeki salınım sayısına frekans denir. Frekans birimi Hertz (Hz)’dir. 1 Hz frekanslı ses dalgası 1 saniyede sadece 1 salınım yapar. Her notanın bir frekansı vardır. Farklı canlı türlerinin frekansları duyma aralıkları farklıdır, Tablo 4.3 bazı hayvanların duyma aralıklarını ifade göstermektedir. İnsanlar 20 Hz ile 20 000 Hz arasında olan sesleri duyabilir. Bir frekanstaki sesle onun iki katı frekanslı sesler insan beyni tarafından uyumlu olarak algılanır. Sadece biri diğerinden daha tizdir. Bir frekans ile iki katının arasındaki seslere bir oktav aralığı denir. Böylelikle insanların duyabilecekleri oktavlar: 20 Hz, 40 Hz, 80 Hz,160 0 Hz, 320 Hz, 640 Hz, 1280 Hz, 2560 Hz, 5120 Hz, 10240 Hz’dir. Bir oktavdan sonrakine geçmek için frekansın iki kat artması gerekir, frekansın 2 tabanına göre logaritmasını alırsak sesi eşit aralıklı ölçek ile gösterebiliriz. Burada oluşan her bir aralığa perde denir. Her bir oktav eş oranlı olarak 12 yarım sese bölünür, sonraki oktavlarda da aynı işlem tekrar edilir. Böylelikle ardışık notaların frekanslarının oranları sabit bir k sayısı olur. Örneğin ilk Do noktasının frekansı a ise, bir üst oktavdaki Do noktasının frekansı 2a olur. Verilen aralığa 12 notayı eş orantılı olacak şekilde yerleştirmek için
𝑎𝑘!" = 2𝑎
olmalıdır, buradan 𝑘!" = 2 eşitliği elde edilir.
𝑘!" = 2 ⇒ 12𝑙𝑜𝑔𝑘 = 𝑙𝑜𝑔2
𝑙𝑜𝑔2 ⇒ 𝑙𝑜𝑔𝑘 = 12
!"#! olur ve 𝑘!" = 10!" bulunur. Bu sayı yaklaşık olarak
1,059 sayısıdır. Herhangi bir notadan başlayıp sonra gelen notaların frekansın bulmak için, notanın frekans değeri ile bu sayı çarpılır. Gitar, piyano gibi çalgı aletlerinde bu sayı kullanılır. Şekil 4.28’de temsili bir gitarda notaların gitar teline yerleştirilmesi gösterilmiştir.