MAT105U-MATEMATİK 1
Ünite 3: Polinom Fonksiyonlar
Polinomlar
Polinom, Latince bir kelime olup çok terimli anlamına gelmektedir. 𝑎 ≠ 0 olmak üzere 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 şeklinde ifade edilen fonksiyonlara birinci dereceden bir polinom denir. Bu tür polinomlara doğrusal ya da lineer fonksiyonlar da denir. Polinomun içerdiği en büyük kuvvet polinomun derecesini vermektedir.
Genel bir tanım yapılacak olursa;
𝑛 negatif olmayan bir tamsayı ve 𝑎! ≠ 0 olmak üzere 𝑎!, 𝑎!, … , 𝑎! gerçel sayıları için, 𝑓 ∶ ℝ → ℝ
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥! + 𝑎 𝑥!!! + ⋯ + 𝑎 𝑥! + 𝑎 𝑥 + 𝑎 ! !!! ! ! !
şeklinde ifade edilen 𝑓 fonksiyonuna n. dereceden poli- nom fonksiyonu denir.
Tanımda 𝑎! sayısına polinomun baş katsayısı, 𝑎! sayısına da polinomun sabit terimi denir. Tanımdan yola çıkıldığında 𝑎, 𝑏, 𝑐 gerçel sayılar ve 𝑎 ≠ 0 olmak üzere 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 şeklinde ifade edilebilen bir
fonksiyona ikinci dereceden bir polinom denir. Burada 𝑎 = 0 olduğu durumda 𝑎𝑥! = 0 olacağından 𝑓 𝑥 =
𝑏𝑥 + 𝑐 olur, bu da birinci dereceden bir polinom olur. Ama diğer katsayılar 0 olabilir. 𝑛. dereceden bir polinom, değişkenin 𝑛’ye kadar olan her kuvvetini içermek zorunda değildir.
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 à 1. dereceden bir polinom,
𝑔 𝑥 = 𝑥! + 3𝑥 − 2 à 2. dereceden bir polinom,
ℎ 𝑥 = 1 − 𝑥 − 4𝑥!! + 𝑥!"à98. dereceden bir polinom-
dur.
İkinci dereceden polinomlara kuadratik fonksiyonlar da denir.
Baş katsayısı 1 olan bir polinoma monik polinom denir.
Sabit fonksiyonlar, derecesi 0 olan fonksiyonlardır.
Bir polinomun kökü demek o polinomun 0 değerini aldığı sayı demektir. Örneğin 𝑓 ∶ ℝ → ℝ polinomu verilsin. 𝑓 𝑥! = 0 eşitliğini sağlayan 𝑥! ∈ ℝ sayısına polinomun kökü denir. 𝑎 ≠ 0 olmak üzere 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ! polinomunun tek kökü vardır, bu da 𝑥! = − sayısıdır. ! Örneğin 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 2 polinomunda 𝑎 = 4 ve 𝑏 = −2 ! ’dir. Bu durumda polinomun tek kökü de 𝑥! = − = ! !! ! − = ‘dir. ! !
Birinci ve İkinci Dereceden Denklemler
𝑎 ≠ 0 olmak üzere, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Herhangi bir denklemi gerçekleyen sayılara denklemin kökü, bu köklerin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesi bir elemanlıdır. Örneğin 2 𝑥 − 1 + 7 = 13 denkleminin çözümü 𝑥 = 4 şeklindedir. Böylece denklemin kökü 4, çözüm kümesi ise {4} kümesidir.
𝑎 ≠ 0 olmak üzere, 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 eşitliğine ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Birinci dereceden polinomlardan farklı olarak, ikinci dereceden polinomların kökü olmayabilir veya iki tane de olabilir.
Aşağıdaki eşitlikler herhangi iki 𝑥 ve 𝑦 gerçel sayıları için doğrudur. Bu tür eşitliklere özdeşlik denir.
(𝑥 + 𝑦)! = 𝑥! + 2𝑥𝑦 + 𝑦!
(𝑥 − 𝑦)! = 𝑥! − 2𝑥𝑦 + 𝑦!
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ikinci dereceden bir denkleminin
köklerini bulmak için denklem, belirtilen özdeşliklerden ! ! !!!!!" faydalanılarak (𝑥 + ) = ! şeklinde yazılabilir. Bu !! !! !!! !!!!!" eşitliğin sonucunda denklemin kökleri 𝑥! = ve !! !!! !!!!!" ! 𝑥! = olarak bulunur. Buradaki 𝑏 − 4𝑎𝑐 !! değerine bu denklemin diskriminantı denir ve ∆ sembolü ile gösterilir.
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 polinomu için;
∆= 𝑏! − 4𝑎𝑐 < 0 ise kök yoktur.
∆= 𝑏! − 4𝑎𝑐 = 0 durumunda tek kök vardır: ! 𝑥! = − !! ∆= 𝑏! − 4𝑎𝑐 > 0 durumunda ise iki farklı kök
!!! ∆ !!! ∆ vardır: 𝑥! = ve 𝑥! = şeklindedir. !! !! 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 şeklindeki ikinci dereceden polinomun
kökleri 𝑥! ve 𝑥! ise
! ! 𝑥! + 𝑥! = − , 𝑥! ∙ 𝑥! = ! !
şeklindedir.
𝑑𝑥 + 𝑓 𝑔𝑥 + ℎ şeklinde ifade edilebilen ikinci ! ! dereceden bir 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 polinomunun kökleri - ve ! ! − şeklindedir. !
𝑥 ve 𝑥 , 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 polinomunun gerçel kökleri ise ! ! 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 polinomu 𝑎(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) şeklinde ifade ! ! edilir.
! !!! ! Altın oran, = şeklinde ifade edilir. Bu eşitlikte ! ! ! yerine 𝑥 yazıldığında 𝑥! − 𝑥 − 1 = 0 eşitliği elde edilir.
Bu eşitliği sağlayan pozitif 𝑥 değeri altın oranı verir.
Doğrular
Thales Teoremi: Sayfa 69’daki üçgen incelendiğinde, üçgenin 𝐵𝐶 kenarına paralel olarak çizilen 𝐷𝐸 doğru |!"| |!"| |!"| parçası, = = eşitliğini sağlar. |!"| |!"| |!"|
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 polinomunun grafiği düzlemde bir doğrudur. Bu ifade 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 şeklinde de yazılabilir. Doğru üzerinde 𝑥! ≠ 𝑥! olacak şekilde herhangi (𝑥!, 𝑦!) !!!!! ve (𝑥!, 𝑦!) noktaları seçildiğinde, = 𝑎 eşitliği elde !!!!!
edilir. 𝑎 , 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 doğrusunun eğimidir. 𝑎 > 0 ise 𝑥 değişkeninin değeri arttıkça 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 fonksiyonunun da değeri artar ve doğrunun sağa doğru yükselen bir grafiği olur. 𝑎 < 0 olduğu durumda ise x değişkeninin değeri arttıkça 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 fonksiyonunun değeri azaldığından doğrunun sağa doğru azalan bir grafiği olur. 𝑎 = 0 olması durumunda fonksiyon 𝑦 = 𝑏 olur ve doğru her noktada 𝑏 sabit değerini alan x eksenine paralel bir doğru olur.
Düzlemde 𝑦 eksenine paralel olmayan tüm doğrular birinci dereceden bir polinomun grafiğidir. 𝑦 eksenine paralel olan bir doğru ise, 𝑐 sabit bir sayı olmak üzere, apsisi 𝑐 olan (𝑐, 𝑦) şeklindeki noktaların kümesidir. Bu doğrular 𝑥 = 𝑐 şeklinde ifade edilir.
Doğru üzerinde bulunan noktaların sağladığı, doğru üzerinde bulunmayan noktaların sağlamadığı, x ile y arasındaki ilişkiye doğru denklemi denir. 𝑥! ≠ 𝑥! olmak üzere, düzlemde 𝑥!, 𝑦! ve (𝑥!, 𝑦!) noktalarından geçen !!!! !!!!! doğrunun denklemi = şeklindedir. Bu durumda !!!! !!!!! eğimi 𝑎 olan ve (𝑥!, 𝑦!) noktasından geçen doğrunun denklemi de 𝑦 − 𝑦! = 𝑎(𝑥 − 𝑥!) olarak yazılabilir.
Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar bulunmak istenildiğinde 𝑥 ve 𝑦 için eşitlikte sıfır değeri verilir. 𝑥 = 0 için 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑏 olduğundan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 doğrusu 𝑦 eksenini (0, 𝑏) noktasında keser. Eğer 𝑏 = 0 olursa, yani 𝑦 = 𝑎𝑥 ise, doğru başlangıç noktasından geçer. Öte yandan, doğrunun eğimi sıfır değil ise, doğru bir noktada 𝑥 eksenini de kesecektir. Bu noktayı bulmak demek, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 eşitliğini sağlayan 𝑥 sayısını bulmak ! demektir. 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ise 𝑥 = − ’dır. O halde 𝑦 = 𝑎𝑥 + ! ! 𝑏 doğrusu x eksenini (− , 0) noktasında keser. !
Bir fonksiyona sabit bir sayı ilave ederseniz, grafiği o sabit sayı kadar yukarı ya da aşağı kaydırılmış olacaktır.
Bütün noktaları ortak olan iki doğruya çakışık doğru denir. Eğer iki doğru paralel ya da çakışık değilse bir noktada kesişirler. Yani bir 𝑥 sayısı için aynı değeri alırlar.
Paraboller
Düzlemde, odak dediğimiz bir nokta ve doğrultman dediğimiz bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine parabol denir. Noktalar arası uzaklık hesaplanırken Pisagor teoreminden faydalanılır. Pisagor teoremi ile (𝑥!, 𝑦!) ve (𝑥!, 𝑦!) noktaları arası uzaklığı (𝑥 − 𝑥 )! + (𝑦 − 𝑦 )! değeri verir. ! ! ! !
Bir parabol, odaktan geçen ve doğrultmana dik olan bir doğruya göre her zaman simetriktir, bu doğruya simetri ekseni denir.
Herhangi bir ikinci dereceden polinomun grafiği bir parabole denk gelmektedir. Polinom değiştikçe parabolün odak noktası ve doğrultmanı değişmektedir.
𝑦 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 şeklinde verilen ikinci dereceden
polinomda 𝑎 değeri sıfıra yaklaştıkça parabolün kolları daha geniş ve birbirinden uzak, sıfırdan uzaklaştıkça daha
dar ve birbirine yakın olur. 𝑎 > 0 olduğu durumlarda parabolün kolları yukarıya, 𝑎 < 0 olduğu durumlarda ise aşağıya doğrudur.
𝑦 = 𝑎𝑥! parabolünü alıp 𝑥 ekseninde 𝑥 birim kaydırınca ! 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥 )! parabolünü, daha sonra bu parabolü de 𝑦 ! ekseninde 𝑦 birim kaydırınca da 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥 )! + 𝑦 ! ! ! parabolünü elde ederiz.
Parabolün kollarının birleştiği, en büyük ya da en küçük değerini aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir. 𝑦 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 parabolünün tepe noktası ! !!"!!! − , şeklinde hesaplanır. !! !!
Parabolün 𝑥 ve 𝑦 eksenleri ile kesiştiği noktaları, polinomdaki 𝑥 veya 𝑦 değerlerine 0 verilerek bulunmaktadır. Örneğin 𝑦 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 parabolünün 𝑦
eksenini kestiği noktada 𝑥 = 0’dır. Denklemde 𝑥 yerine 0 yazıldığında 𝑦 = 𝑐 elde edilir. Yani parabol 𝑦 eksenini 𝑐 noktasında kesmektedir. Aynı şekilde parabolün 𝑥 eksenini kestiği noktalarda 𝑦 = 0 olacağından denklem, 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 şeklini alır. Bu denklemin kökleri
parabolün 𝑥 eksenini kestiği noktaları verir.
Otomobil farlarının temelinde parabolik far yapısı vardır. Parabolün odağında bulunan ampulden çıkan ışık demeti, parabolik bir yapıda olan yansıtıcıdan parabolün simetri eksenine paralel bir şekilde yansır. Farın ön kısmında bulunan lensin paralel gelen ışığı kırmasıyla istenilen açıda ışık elde edilir.
Eşitsizlikler
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
biçimindeki ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.
Bir eşitsizlikte, eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya çıkartılması eşitsizliği değiştirmez. Bir eşitsizlikte, eşitsizliğin her iki tarafının aynı pozitif sayıyla çarpılması veya bölünmesi eşitsizliği değiştirmez. Ama eşitsizliğin her iki tarafının negatif bir sayıyla çarpılması veya bölünmesi eşitsizliğin yönünü değiştirir.
Örnek: 1 + 2𝑥 ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
1 + 2𝑥 ≤ 3
2𝑥 ≤ 2
𝑥 ≤ 1
olur. Yani 1’den küçük veya eşit her 𝑥 için 1 + 2𝑥 ≤ 3 olur. Çözüm kümesi de (−∞, 1] olur.
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
biçimindeki ifadelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.