MAT105U-MATEMATİK-I
Ünite 2: Fonksiyonlar
Kelime aranıyor
Gerçek hayattan bir örnek ile fonksiyonlara arasında analoji kuruluyor. Sözlükteki kelimelerin kümesi S, alfabemizdeki harflerin kümesi de A olsun. Sözlükten kelime bulma, S kümesinden alına bir kelimeyi bu kelimenin ilk harfine götüren fonksiyona benzetiliyor. Fonksiyonların önemi, matematiğin omurgası olduğu vurgusu ile pekiştiriliyor. Tanım (S) ve değer kümesi üzerinden (A), görüntü kümesi açıklanıyor. Türkçemizde ğ ile başlayan kelime olmadığı gerçeği üzerinden, söz konusu fonksiyonun örten fonksiyon olmadığı anlatılıyor.
Tanım: A ve B boş kümeden farklı herhangi iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getiren bir f eşleşmesine A’dan B’ye bir fonksiyon denir. A’ya fonksiyonun tanım kümesi, B’ye ise değer kümesi denir. Bu fonksiyon f : AàB şeklinde gösterilir.
Tanım f, A’dan B’ye bir fonksiyon ise, f(A) = {f(x)| x ∈ A} kümesine f ’in görüntü kümesi denir. Eğer f(A) = B ise f’ye örten fonksiyon denir.
Söz konusu örnekte, tanım ve değer kümesinin yer değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan şey fonksiyon değildir. Çünkü d harfine hem derya kelimesini hem de dondurma kelimesini getirmiş oluyoruz. Fonksiyon olmamasının bir başka nedeni ise sözlükte ğ ile başlayan bir kelime olmamasıdır.
Sözlükten kelime bulmanın matematik ile olan ilişkisi anlatılırken, alfabemizde harflerin sıralı olduğuna dikkat çekiliyor. Harflerin kullanım sıklığına göre sıralandığı bir alfabe ile sadece göz kırpabilen felçli bir adamın nasıl kitap yazabildiğini anlatılıyor. Hayatta sabırlı olmanın önemi de vurgulanıyor.
Dalgıç ve Kelebek adlı filmde konu edilen felçli adamın kullandığı, kullanılış sıklığına göre dizilmiş Fransız alfabesi: ESARINTULOMDPCFBVHGJQZYXKW’dur.
Sözlükte aradığımız bir kelimeyi bulurken, kelimelerin alfabetik olarak sıralı olmasından nasıl faydalandığımız örneği ile günlük hayatta farkında bile olmadan matematik ve fonksiyonları kullandığımız gösteriliyor.
İle plaka numarası mı, plaka numarasına il mi?
Bu bölümde, illerimize atanmış olan plaka numaraları örneği üzerinden bire-bir fonksiyon anlatılıyor. Bu öyle bir fonksiyon ki, tanım kümesi şimdilik 81 elemanlı illerin kümesi, değer kümesi ise {01, 02, ... , 79, 80, 81}. Bir ilin birden fazla plaka numarası olamayacağından, bir başka değişle, tanım kümesindeki farklı elemanları değer kümesindeki faklı elemanlar ile eşlediğinden bu tür fonksiyonlara bire-bir fonksiyon denir.
Tanım f, A’dan B’ye bir fonksiyon olsun. x, y ∈ A ve x ≠ y iken f(x) ≠ f(y) ise f’ye bire-bir fonksiyon denir.
Boşta plaka numarası kalmadığından dolayı ise örten fonksiyondur. Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyonların tersi de vardır.
Tanım f : AàB fonksiyonu ve bire-bir ve örten olsun. Bu durumda B kümesinden herhangi bir y elemanı aldığımızda, A kümesinin f altında görüntüsü y olan bir tek x elemanı vardır. Böylece tanım kümesi B, değer kümesi A olan ve B’den aldığımız y elemanına A’nın x elemanını karşılık getiren bir fonksiyon tanımlanabilir. İşte bu fonksiyona f’nin ters fonksiyonu denir ve f -1 şeklinde gösterilir. Yani f -1: BàA ve f(x) = y ise f -1(y) = x dir.
Tanım kümesindeki her elemanı kendisine götüren fonksiyona birim fonksiyon denir.
Tanım f : AàA, f(x) = x fonksiyonuna birim fonksiyon denir.
İki fonksiyonu f: AàB ve g: BàC art arda uygulayarak oluşturulan fonksiyona bileşke fonksiyonu denir ve gof: AàC şeklinde gösterilir. gof(x) = g(f(x)).
Tanım f : AàB ve g : BàC fonksiyonları verilsin. A’nın bir x elemanını g(f(x)) ile eşleşen fonksiyona f ile g’nin bileşke fonksiyonu denir ve g o f şeklinde gösterilir: g o f : g : AàC, (g o f)(x) = g(f(x)).
Birim fonksiyondan pek çok fonksiyona
Eğer bir fonksiyon tanım kümesinden alınan her elemana değer kümesindeki aynı elemanı karşılık getiriyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Tanım Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı elemanla eşleyen bir fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Bu dersin kapsamında genel olarak tanım ve değer kümesi, gerçel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan fonksiyonlar işlenecektir. Bu türlü fonksiyonların toplama çıkarma bölme ve çarpma dört işlemini sayılardaki gibi yapılabilir. Örneğin iki fonksiyonun toplamı (f + g) = f(x) + g(x) olarak verilir. Yani toplam fonksiyonunun herhangi bir noktadaki görüntüsü, toplamı oluşturan fonksiyonların o noktadaki görüntülerinin toplamı şeklinde tanımlanıyor.
Tanım A ⊂ ℝ olmak üzere 𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ ve 𝑔: 𝐴 ⟶ ℝ fonksiyonları verilsin.
𝑓 + 𝑔: 𝐴 ⟶ ℝ, 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑓 − 𝑔: 𝐴 ⟶ ℝ, 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
ve
𝑓 ∙ 𝑔: 𝐴 ⟶ ℝ, 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) dir.
! Her 𝑥 ∈ 𝐴 için 𝑔(𝑥) ≠ 0 ise : 𝐴 ⟶ ℝ, !
! !(!) 𝑥 = dir. ! !(!)
Örneğin, ülkemizde metrik sistem (milimetre, santimetre) kullanılmaktadır. Ancak bilgisayar monitörlerinin uzunlukları inç cinsinden verilmektedir. 1 inç yaklaşık olarak 2,54 santimetre olduğundan inç cinsinden verilen bir uzunluğun kaç santimetre olduğunu bulmak için, bu sayısı 2,54 ile çarpmak gerekir. Bu dönüştürme işini,
f : ℜ+ à ℜ+, f(x)=2,54 x şeklindeki bir fonksiyonla ifade edebiliriz. Burada ℜ+ pozitif gerçel sayılar kümesini
göstermektedir.
Ancak bazı işlemler gerçel sayılar kümesinden dışarı çıkmamıza neden olurlar. Bu sebepten dolayı bazı fonksiyonların tanım kümesine sınırlama getirmek gerekir. Örneğin f(x)=1/x fonksiyonunda 0 ile bölme olmayacağından, f fonksiyonu R\{0} kümesi üzerinde tanımlanabilir.
Bir başka örnek ise, karekök fonksiyonu, bu örnekte ise tanım kümesinden negatif sayıları çıkarmak gerekir. Çünkü negatif bir sayının karekökü gerçel sayı değildir.
Sınır getirilmiş tanım kümelerinin matematiksel ifadeleri şu şekilde yapılır: a bir gerçel sayı olmak üzere;
• {x | x > a} kümesi (a, ∞), • {x | x < a} kümesi (-∞, a), • {x | x ≥ a} kümesi [a, ∞) ve • {x | x ≤ a} kümesi (-∞, a] şeklinde gösterilir.
! Örneğin, 𝑓 𝑥 = fonksiyonun tanım kümesi 2’den !!! büyük gerçel sayılar kümesidir ve (2, ∞) olarak gösterilir.
Fotoğraf çekme zamanı
Bu kısımda fonksiyonların grafiğini çizdirmek fonksiyonun fotoğrafını çekmeye benzetilmiştir. Kartezyen koordinat sistemi üzerinde fonksiyonların grafiklerini çizmek mümkündür. Yatay sayı doğrusuna x ekseni, düşey sayı doğrusuna ise y ekseni denir. Düzlem üzerindeki bir noktanın adresi (x, y) sıralı ikilisidir.
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, yani resmini çekmek için, tek tek (x, f(x)) noktalarını düzlemde işaretlemek gerekir. Gerçel sayı kümeleri üzerinde tanımlı bir fonksiyonun grafiğinin bazı noktalarını belirleyip, o noktadan geçen bir eğri çizmekten yöntemi ile nasıl çizilebileceği anlatılıyor.
Sabit fonksiyonun ve birim fonksiyonun çizilmiş grafikleri sayfa (S:48)’de verilmiştir. f(x) = x fonksiyonun resmi sayfa (S:49)’da, f(x) = -x fonksiyonun resmi ise sayfa (S:50)’da gösterilmiştir.
Mutlak değer fonksiyonunun f(x) = |x| grafiği sayfa (S:51)’de verilmiştir. Mutlak değer fonksiyonu f : ℜ à ℜ, parçalı tanımlı fonksiyon dur ve,
−𝑥, 𝑥 < 0 𝑖𝑠𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0 𝑖𝑠𝑒
şeklinde parçalı olarak (iki farklı kural ile) ifade edilebilir.
Ve son olarak ta f(x) = x2 fonksiyonun grafiği sayfa (S:52)
verilmiştir. Bu fonksiyonun resmine bakarak şunlar söylenebilir:
a. Negatif değerler almıyor b. Sıfırın görüntüsü sıfırdır
Tanım A ⊂ ℜ olmak üzere f : A à ℜ bir fonksiyon olsun. x < y şeklindeki her x, y ∈ A için
• f(x) < f(y) oluyorsa f fonksiyonuna artan fonksiyon, • f(x) > f(y) oluyorsa f fonksiyonuna azalan fonksiyon
denir.