MAT105U-MATEMATİK-I
Ünite 1: Kümeler ve Sayılar
Kümeler
Küme, belli bazı nesnelerin oluşturduğu topluluktur. Topluluğu oluşturan nesneler o kümenin elemanlarıdır. Örneğin, futbol takımlarının mücadele ettikleri ligler, elemanları futbol kulüpleri olan kümelerdir.
Kümeler genellikle büyük harfler ile elemanları ise küçük harfler ile gösterilir. Bir nesnenin bir kümenin elemanı olduğunu göstermek için 𝜖 eleman sembolü kullanılır. Örneğin 𝑎 nesnesi 𝐴 kümesinin elemanı ise 𝑎 𝜖 𝐴 şeklinde gösterilir.
Kümeleri belirtmenin çeşitli yolları vardır.
Bunlar; elemanların daire, elips veya dikdörtgene benzeyen şekillerin içinde gösterildiği Venn Şemaları, küme parantezleri olarak bilinen {} arasına küme elemanları arasına virgül konularak oluşturulan Liste Gösterimi, yine küme parantezleri arasına elemanı temsil eden bir sembol ve sonrasında “öyle ki” anlamında kullanılan dik bir çizgi ile sonrasında elemanın özelliğinin yazıldığı Kapalı Gösterim olarak bilinen yollar vardır.
Kümelerin birleşimi, verilen iki veya daha fazla kümenin en az birisine ait elemanlarla oluşturulan kümedir. Kümelerin kesişimi, verilen iki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye denir.
Boş küme hiç bir elemanı olmayan kümedir ve ∅ ile gösterilir.
İki kümenin eşit olması demek bunların aynı elemanlardan oluşması demektir.
Alt küme ise bir kümenin her elemanı başka bir kümenin de elemanı oluyorsa, bu kümeye diğer kümenin altkümesi denir. Kümenin tanımından dolayı her küme kendisinin alt kümesidir ve boş küme her kümenin alt kümesidir.
Bir küme ile diğer bir kümenin farkı, ilkinde olup ikincide olmayan nesneler kümesine iki kümenin farkı denir ve \ sembolü ile gösterilir. Örneğin A kümesi fark B kümesi A\B şeklinde gösterilir.
Bakkal Hesabı
Temelde sayılar kendinde daha küçük sayıların toplamı seklinde düşünülür. Bu sayılar bir bakıma sayı bankasının banknotları gibi düşünülebilir. İlk önce taban bir banknot seçilir. Örneğin on olsun ama başka beş veya yirmi de olabilirdi. Ondan sonra basılacak banknot on tane on anlamına gelen yüzlük banknot olacaktır. Sonra da on tane on tane on tane on’ un yerine geçecek binlik banknot basılacaktır. Sonra da on binlik banknot basılacaktır. Tabii başta da elimizde birlik banknot olmalı. Örneğin ikiyüzelli dört liralık bir ödeme yapılacağı zaman iki tane yüzlük, beş tane onluk ve dört tanede birlik banknot vermemiz gerekecek. Daha küçük tutarda ödeme yapılacaksa bir liranın onda biri, yüzde biri ve binde biri vs. olarak bozuk paralar basılmalıdır. Bu durumda küsuratlı ödemeler (örneğin 4.99 gibi) yapılabilir. Babilli insanlar ödemelerini yaptıkları sırada hangi banknottan kaç tane verdiklerini
yazarlardı. Örneğin üç bin beş yüz yedi lira yapacakları ödemede üç tane binlik beş tane yüzlük ve yedi tane birlik vermiş olacaklar. Sadece verdikleri paraları yazdıklarında 357 gibi bir sayı yazmış oluyorlardı. Bu durumda kaydedilen para farklı algılanıyordu. Yıllarca bu sistemi kullandılar. Ancak çok sonraları verilmeyen banknotları da not etmeye başladılar. Yani üç tane binlik beş tane yüzlük sıfır tane onluk ve yedi tane birlik şeklinde. Şimdi yazıldığında ise 3507 oldu.
Tabana Kuvvet
Banknot basımında olduğu gibi sayılar kendi kuvveti ile çarpılmış sonuçlara göre banknot basımı gerçekleşiyordu. Bu tür bir sayıya yani kendisi ile çarpılarak elde edilen sayılara bu sayının üssü veya kuvveti denir. Şimdi doğal sayılar veya sayma sayıları denilen bu kümeyi ele alacak olursak bu küme özel N ile gösterilir. Bu kümeye ait bir a elemanı yani bir a doğal sayısı alındığında, bu sayıyı kendisiyle çarpılarak bulunan sayıya, bu sayının ikinci kuvveti ya da karesi denir ve a2 şeklinde gösterilir. Yani a2=a x a.
Üç tane a’yı alıp çarpınca bulunan sayıya da bu sayının üçüncü kuvveti ya da küpü denilir. a3 şeklinde gösterilir. Yani a3 = a x a x a. Genel olarak n adet a’yı alıp çarptığımızda sonuç an olur. m ve n her ikisi de 2 veya daha büyük bir doğal sayı ise, o zaman am+n=am x an
eşitliği geçerli olur. Burada eğer n sıfıra eşitse, o zaman am+0=amxa0 olur. Bu durumda a0 ifadesi 1 olmuş olur.
a1 ise yine a’ya eşittir. Tabi bu durum a≠0 olduğu
durumlarda geçerlidir.
Halep Ordaysa, Arşın Burda!
Doğal sayılardan sonra hala hesaplamaların ihtiyacı karşılamamaları, bilim insanlarının yeni arayışlar içinde olmalarına yol açmıştır. Örneğin problem olarak m adet bir nesnenin n adet kişiye dağıtılacağı düşünüldüğünde, ortaya büyüklük m/n sayısı olmaktadır. Bu da daha güvenilir işlemler yapmaya imkân sağlamıştır.
10 ölçek buğday 3 aileye dağıtılacaksa 10/3 sayısı ortaya çıkıyor. Buradan yola çıkarak yeni ölçekler geliştirilmiştir. Bu ölçümler rasyonel sayıların varlığını ortaya koymuştur.
İrrasyonel sayılarda rasyonel sayılarla ifade edilemeyen sayılardır. Örneğin karekök iki, irrasyonel bir sayıdır. Bu sayı m/n gibi bir rasyonel sayı ile ifade edilemez. Bu hesaplamalarda yaklaşık değerler kullanılır. √2, kendisiyle çarpıldığında 2 eder. Yani, √2 x √2 = 2’dir.
Kareköklerin çarpımından am+n=am x an eşitliğine geçiş yapabiliriz. a = 2 ve m = n = ½ kabul edersek, 21/2x21/2=21
olacaktır.
Genel anlamda x pozitif(veya 0) ve n bir doğal sayı olmak üzere n√x sayısı, n. Kuvveti x olan sayıdır. (n√x)n = x. Bu sayı x1/n olarak da gösterilebilir. x1/n = n√x.
2√x yerine √ olarak da yazılabilir. √25 = 5 çünkü 52=5x5=25. 3√64=4 çünkü 43=4x4x4=64.
√2 sayısı 1 ile 2 arasına bir sayıdır ama tam olarak hangi sayıya karşılık geldiği bilenemez. 1.5 olarak kabul edilse 1.5x1.5=2.25 olur. 1.4 kabul edilse 1.96 olur. Yani √2 sayısı 1.4 ile 1.5 arasında olmalıdır. Bu şekilde ilerlendiğinde √2 için 1.4142… şeklinde giden sonsuz bir ondalık açılımı bulunur. Buradan ondalık açılım konusu ortaya çıkmış oluyor. Örnek olarak 10/3 sayısına bakacak olursak bu sayı 3 +1/3 demektir. 1/3 sayısının içinde kaç tane 1/10 olduğuna bakılmalıdır. Buradan 3/10 <1/3<4/10 ifadesi üzerine içler dışlar çarpımı çapıldığında üç tane içerdiği bulunur. Sonuç olarak 3.3 yazılır. Geriye 1/3 – 3/10=1/30 kalır. Sonra 1/30 içinde kaç tane 1/100 olduğu bulunur. Yine üç tane olduğu bulunacaktır. O halde 3.33 yazılır. Bu şekilde devam ettiğinde 3.333… diye tekrar eder. Bu özellik rasyonel sayılarla irrasyonel sayıları ayırt etmede kullanılır.
Milyon bin kere bin yani, 103x103=106. Milyar da bin milyon yani 103x106=109. Buradan yola çıkarak milyarda bir ise 1/109 olur. Bunun yazımı da 10-9.
Genel anlamda x≠0 ve n bir doğal sayı olmak üzere ,1/xn sayısı x-n olarak gösterilebilir. x>0 ve m,n doğal sayılar olmak üzere xm/n = n√xm, x-m/n=1/ n√xm.
Örneğin 1000 kilometre 1000 x 1000 metre yani 1 milyon metredir.1 milyon metre de 1000 x 1 milyon milimetre, yani 1 milyar milimetre demektir.
! !! 𝑥 ≠ 0 ve n bir doğal sayı olmak üzere ! sayısı 𝑥 olarak ! gösterilir.
𝑥 > 0 ve m, n doğal sayılar olmak üzere:
!/! ! ! 𝑥 = 𝑥
!!/! 1 𝑥 = ! 𝑥!
İçtima Töreni
Bütün sayıların toplandığı bir doğru üzerinde ilk önce sıfır yerleştirildiğinde ardına bir yazılır ve iki, üç diye devam eder. Sonra negatif tam sayıları sıfırın öncesinden başlayarak -1, -2, -3, … diye sırayla yazılır.
Sıfırında içinde bulunduğu doğal sayılar ve onların negatiflerinden oluşan kümeye tam sayılar kümesi denir ve Z ile güsterilir. Z ={1,2,3,…} U {0} U{-1,-2,-3,…}
Rasyonel olan fakat tam olmayan sayılarda kesirli sayılardır. 5 sayısı rasyonel bir sayıdır çünkü 5/1 şeklinde yazılabilir; ancak aynı zamanda tam bir sayıdır. 5.2 sayısı ise 52/10 şeklinde yazılabildiğinden rasyoneldir fakat tam sayı değildir.
Kesirli sayılar sayı doğrusunda pozitif olanlar sıfırın sağına ölçülü olarak yerleştirilir, negatif olanlarda pozitif kesirli sayıların simetriği olarak sıfırın soluna yerleştirilir.
Rasyonel sayıların kümesi Q ile gösterilir.
İrrasyonel sayılarda (örneğin √2, π sayısı gibi) rasyonel sayılarda olduğu gibi sayı doğrusunda gösterilebilir.
Rasyonel veya irrasyonel olan bütün sayıların oluşturduğu kümeye gerçel sayılar kümesi denir. Gerçel sayılar kümesi R sembolü ile gösterilir. Sayı doğrusu veya sayı ekseni denilen doğru tüm gerçel sayılar kümesini içerir.
Mutlak değer kavramı bir sayının sıfıra olan uzaklığının ifade edildiği kavramdır. Sıfır veya pozitif sayıların mutlak değeri yine kendileridir. Negatif bir sayının mutlak değeri ise onun pozitif değeridir. Bir a sayısının mutlak değeri |a| sembolü ile ifade edilir. Örnek olarak |5|=5 ve |- 5|=5.
Gerçel sayıların bir alt kümesi a ve b gibi iki sayı içerdiğinde, bunların arasında arasında kalan tüm sayıları da içeriyorsa ona bir aralık denir. Örnek olarak {x|xϵR,a≤x≤b} kümesine “a,b kapalı aralığı” denir ve bu aralık [a,b] şeklinde gösterilir. Açık aralık ise {x|xϵR,a<x<b} kümesinde ki “a,b açık aralığı” olarak ifade edilir ve (a,b) şeklinde gösterilir.