MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 8: İntegral ve Uygulamaları
Alan Problemi
Düzlemde sonlu sayıda doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşturulan kapalı bölgeye çokgensel bölge denir.
Dairenin alanının hesaplanması için, Arşimed, daireye içeriden ve dışarıdan yaklaşan çokgenler kullanmıştır (S:187, Şekil 8.1).
Bu yaklaşımı kullanarak [a, b] aralığı üzerinde tanımlı, sürekli ve pozitif değerler alan bir f(x) fonksiyonu tarafından belirlenen bir D bölgesinin alanı hesaplanabilir (S:187, Şekil 8.2).
D alanı y = f(x) eğrisinin altında, y = 0 doğrusunun üstünde, x = a doğrusunun sağında ve x = b doğrusunun solunda kalan alandır. [a, b] aralığının içindeki belli sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (a ve b dahil olmak üzere), bu aralığın bir bölüntüsü diyebiliriz. Hesaplamak istenen alan, bu bölüntüler yardımıyla dikdörtgenler oluşturularak hesaplanabilir ve bölüntü sayısı arttıkça hesaplanmak istenen alanın gerçek değerine yaklaşılır.
Sayfa 187 ve 188’deki [0,1] aralığı üzerinde tanımlı f(x)=x2 fonksiyonunun alanını hesaplarken 10 (S:188,
Şekil 8.7) ve 20 (S:188, Şekil 887) dikdörtgensel yaklaşım örneği incelenebilir.
Başka Problem, Yine Toplamlar
Bir aracın hız bilgisini ve geçen süreyi kullanarak yol bilgisine ulaşılabilir. Her bir zaman dilimindeki hızı sabit kabul ederek, bu zaman dilimlerinde alınan yol yaklaşık olarak hesaplanabilir. Bu ifadeler eğer fonksiyonlara benzetilmeye çalışılırsa; fonksiyondaki değişken zaman, fonksiyon ise zamana bağlı olarak aracın hızıdır.
Belirli İntegral
Alan ve yol problemlerinde, kaşımıza birtakım toplamlar çıktı ve bu işlemlerde fonksiyonlar negatif değer almayan fonksiyonlardı. Fonksiyon üzerindeki bu koşuldan vazgeçip, [𝑎, 𝑏] kapalı aralığı üzerinde tanımlı sürekli bir 𝑓 fonksiyonu alarak da aynı işlemleri yapabiliriz. Bunun için [𝑎, 𝑏] aralığını her birinin boyu;
𝑏 − 𝑎 ∆𝑥 = olan 𝑛 eşit parçaya bölebiliriz. 𝑛
Bu durumda bölüntü noktaları;
𝑥! = 𝑎, 𝑥!
𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + , 𝑥! 𝑛
𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + 2. , … , 𝑥! 𝑛
𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + 𝑖. , … , 𝑥! 𝑛
𝑏 − 𝑎 = 𝑎 + 𝑛. = 𝑏 olur. 𝑛
Sayfa 192’nin üst kısmında [a, b] aralığının n eşit parçaya bölünmüşü grafik olarak verilmiştir.
i. alt aralığın sağ ucunu xi ile gösterelim. Bu verilere göre aşağıdaki toplam oluşturulur.
[𝑓 𝑥! + 𝑓 𝑥! + ⋯ + 𝑓 𝑥! ]∆𝑥
toplamı bir gerçel sayıdır ve bu sayıya 𝑓 fonksiyonunun bir Riemann toplamı denir (S:192, Şekil 8.9).
Bu toplamda, bölüntüdeki nokta sayısı arttırıldıkça karşılık gelen değerlerin yaklaştığı sabit sayıya 𝑓 fonksiyonunun [𝑎, 𝑏] kapalı aralığı üzerindeki belirli integrali denir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir:
!
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
!
Burada 𝑑𝑥 ifadesi Riemann toplamındaki ∆𝑥!𝑡𝑒 esinlenerek yazılmaktadır ve integralin hangi
değişkene göre hesaplandığını belirtir.
Bu ifadede;
• ∫ sembolüne integral,
• 𝑎’ya integralin alt sınırı,
• 𝑏’ye integralin üst sınırı,
• 𝑓(𝑥)’e integrand ve
• 𝑑𝑥’e diferansiyel denir.
Daha matematiksel ifadeyle;
!
𝑓(𝑥)𝑑𝑥= lim 𝑓 𝑥! + 𝑓 𝑥! + ⋯ + 𝑓 𝑥! . ∆𝑥 olur. !→! !
Belirsiz İntegral
Türev demek değişim oranı ya da hız demekti. Şimdi, bir olayın hızını ya da değişim oranını biliyorken, olayın kendi formülünü bulmaya çalışıyoruz..
𝐓𝐚𝐧ı𝐦: 𝐹(𝑥) fonksiyonunun türevi 𝑓(𝑥) fonksiyonuna eşitse 𝐹(𝑥) fonksiyonuna 𝑓(𝑥)’in bir ilkeli denir, yani
F′ (x)=f(x) oluyorsa, F(x) fonksiyonuna f(x)’in bir ilkeli denir.
F(x) ve 𝐺(𝑥) fonksiyonlarının bir aralık üzerinde türevleri eşit ise, yani 𝐹′(𝑥) = 𝐺! 𝑥 oluyorsa, bu fonksiyonlar
arasında 𝑐 ∈ ℝ sayısı için;
𝐺 𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
ilişkisi vardır.
Tanım: 𝐹(𝑥) fonksiyonu, 𝑓(𝑥) fonksiyonunun bir ilkeli ise, 𝐹(𝑥) + 𝑐 ailesine, 𝑓(𝑥)’in belirsiz integrali denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
Ayrıca aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
Genellikle kullanılan fonksiyonların belirsiz integralleri şunlardır: 𝑘, 𝑛, 𝑐 ∈ ℝ sabit sayılar olmak üzere;
1. Sabit kuralı:
𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
2. Kuvvet kuralı:
𝑥!!! 𝑥! 𝑑𝑥 = + 𝑐 , 𝑛 ≠ −1 𝑛 + 1
3. Logaritmik kural:
1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 𝑥
4. Üstel fonksiyon kuralı:
!" 1 !" 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝑐 , 𝑘 ≠ 0 𝑘
Türeve benzer şekilde integral için de belirli kurallar vardır. Belirsiz integral için geçerli olan kurallar şunlardır (sabit bir 𝑘 ∈ ℝ için):
1. Sabitle çarpma kuralı:
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (k sabit sayı)
2. Toplam kuralı:
(𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
3. Fark Kuralı:
(𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Konuyla ilgili olarak Sayfa 195 ve 196’daki örnekler incelenebilir.
Hesaplanılan integralin sonucunun doğruluğu, kolay bir şekilde, sonucun türevi alınarak kontrol edilebilir.
Türevdeki;
𝑓 ∘ 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
şeklinde olan z (bileşke) kuralı integrale çevrildiğinde;
𝑓! 𝑔 𝑥 . 𝑔! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 ! 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
= 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 + 𝑐 olur.
𝑓! 𝑔 𝑥 . 𝑔! 𝑥 𝑑𝑥 integralinde, iki tane fonksiyon
türevi ve bileşkeler olduğu için, değişken değiştirme ya da yerine koyma formülü denilen yöntem çok yararlıdır.
u = g(x) türevlenebilir fonksiyonu için du = g! x dx
ifadesine 𝐮 ’nun diferansiyeli denir ve integral hesaplarında kullanışlı bir araçtır.
Verilen integralde 𝑢 = 𝑔(𝑥) denirse, u’nun diferansiyeli;
𝑑𝑢 = 𝑔! 𝑥 𝑑𝑥 olur. Bunları;
Bunları;
𝑓! 𝑔 𝑥 . 𝑔! 𝑥 𝑑𝑥 integralinde yerine yazarsak;
𝑓! 𝑔 𝑥 . 𝑔! 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑓 𝑢 + 𝑐
eşitliğini buluruz. Verilen integrale bu gözle bakıp, sonra x değişkenine geri dönebiliriz.
Konuyla ilgili olarak Sayfa 197, 198, 199 ve 200’deki örnekler incelenebilir.
Temel Teorem
Belirli integral hesabını kolaylaştırmanın bir yolu “Temel Teorem”adlı teorem ile sağlanmaktadır.
Temel Teorem: 𝑓(𝑥), [𝑎, 𝑏] aralığı üzerinde sürekli bir fonksiyon ve 𝐹(𝑥) fonksiyonu da 𝑓(𝑥)’in bir ilkeli, yani 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) olsun. Bu durumda;
! 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐹 𝑥 olur. 𝑎 !
Bu teoreme dayanarak, bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun [𝑎, 𝑏] aralığı üzerindeki belirli integrali o fonksiyonun bir ilkeli bulunarak kolayca hesaplanabilir.
! ! (𝑓 𝑥 𝑑𝑥 belirli integralini hesaplarken, f (x)
fonksiyonunun F(x) ilkeli yerine G(x) = F(x) + c ilkeli de seçilebilir. Bu durumda uç noktalardaki değerler farkı; G(b) − G(a) = (F(b) + c) − (F(a)+c) = F(b)−F(a) olup sonuç değişmez.
Düzlemde iki eğri arasındaki alan integral yardımıyla hesaplanabilir. [𝑎, 𝑏] kapalı aralığında 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) şeklinde tanımlı sürekli fonksiyonlar olsun. Bu iki eğri arasında kalan alan (S:204, Şekil 8.17) aşağıdaki formül ile hesaplanır:
!
𝐴 = (𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 )𝑑𝑥
!
Konuyla ilgili olarak Sayfa 201, 202, 203 ve 204’deki çözümlü örnekler incelenebilir.
Ortalama Değer
[𝑎, 𝑏] aralığını, x0 = a < x1 < · · · < xn = b noktaları yardımıyla n tane eşit alt aralığa ayıralım. Oluşan alt aralıkların boyları;
𝑏 − 𝑎 ∆𝑥 = olur. 𝑛
𝑓 fonksiyonunun alt aralıkların sağ uçlarındaki değerlerini hesaplarsak;
𝑓 𝑥! , 𝑓 𝑥! , … , 𝑓 𝑥! sayıları elde edilir.
Bu sayıların ortalaması;
[𝑓 𝑥! + 𝑓 𝑥! + ⋯ + 𝑓 𝑥! ] olur. 𝑛
Burada;
𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 ∆𝑥 = , 𝑛 = ′yi kullanırsak; 𝑛 ∆𝑥
1 [𝑓 𝑥! + 𝑓 𝑥! + ⋯ + 𝑓 𝑥! ] ∆𝑥 𝑏 − 𝑎
ifadesi elde edilir. Bu değerde;
[𝑓 𝑥! + 𝑓 𝑥! + ⋯ + 𝑓 𝑥! ] ∆𝑥
ifadesi, f fonksiyonunun verilen bölüntüye göre Riemann toplamıdır.
Verilen bir f fonksiyonunun [a, b] aralığı üzerindeki ortalama değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
! 1 𝑓!"# = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎 !
Konuyla ilgili olarak Sayfa 207 ve 208’deki örnekler incelenebilir.