MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 7: Türev ve Uygulamaları
Türevin Tanımı
Hayatımızın birçok alanında farkında olarak ya da olmayarak kullandığımız türev kavramını matematiğe Newton (1642-1727) kazandırmıştır.
Türev bir niceliğin bir başka niceliğe göre değişim oranını ifade eden kavramdır.
Örneğin, hava sıcaklığının yere ve zamana göre değişimini; bir uçağın ya da otomobilin konumunun değişimini; elde edilecek gelirin üretilen mal miktarına göre değişimini ve gök cisimlerinin birbirlerine göre konumlarının değişimini ifade etmek için türev kavramından yararlanmamız gerekir.
Ortalama hız, alınan toplam yolun geçen toplam süreye oranı olarak tanımlanmaktadır. Bir doğru üzerinde hareket eden bir cismin katettiği yolu zamanın fonksiyonu olarak f(t) ile gösterirsek ki buna konum fonksiyonu denmektedir, [t1, t2] gibi bir zaman aralığındaki ortalama hızı;
𝑓 𝑡2 − 𝑓(𝑡1) 𝑉!"# = oranı ile hesaplayabiliriz. 𝑡2 − 𝑡1 Örnek: Konum fonksiyonu f (t) = 16t2 (metre) olan bir
cismin [0,2] saniyelik zaman aralığındaki ortalama hızı, t1 = 0 ve t2 = 2 alırsak;
16 𝑥 2𝑥2 − 16 𝑥 0 𝑉!"# = 2 − 0
16 𝑥 4 𝑉!"# = = 32m/sn 2
ortalama hız olarak bulunur.
Keyfi bir 𝑓(𝑥) fonksiyonu için 𝑥 değişkenini 𝑥! dan farklı değerlerle, her iki yandan da 𝑥! noktasına yeteri kadar yaklaştırdığımızda, 𝑓(𝑥) fonksiyonunun alacağı değerler bir 𝐿 sayısına yeteri kadar yaklaşıyorsa, o zaman bu 𝐿 sayısına 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑥! noktasındaki limitidir deriz. Sembolik olarak aşağıdaki gösterimi kullanırız (S:164, Şekil 7.1).
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 !→!!
Bir 𝑥! noktasına her iki yandan da yaklaşıyoruz dendiğinde hem 𝑥! dan küçük değerlerle, hem de 𝑥! dan büyük değerlerle yaklaştığımızı kastedilmektedir. Ayrıca, fonksiyonun 𝑥! ’da alacağı değerlerden ziyade, 𝑥! noktasına çok yakın yerlerde alacağı değerler ile ilgilendiğimizden, fonksiyonun 𝑥! noktasında tanımlı olması bile gerekli değildir.
Örneğin;
𝑓: ℝ ∖ 1 → ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 fonksiyonu
𝑥 = 1 noktasında tanımlı olmamasına rağmen 𝑥 = 1 noktasındaki limitini inceleyebiliriz. 1’den küçük sayılarla 1 sayısına yaklaştığımızda fonksiyonun aldığı değerlerin 2 sayısına; 1’den büyük sayılarla 1 sayısına yaklaştığımızda
da fonksiyonun aldığı değerlerin yine 2 sayısına yaklaştığı görülüyor. O halde bu limiti şöyle yazabiliriz (S:165, Şekil 7.5):
lim𝑓 𝑥 = lim𝑥 + 1 = 2 !→! !→!
Türevin Matematiksel Tanımını: Bir 𝑥! noktasını içeren bir aralıkta tanımlanan bir 𝑓(𝑥) fonksiyonu verilsin. Eğer;
𝑓 𝑥! + ℎ − 𝑓(𝑥!) lim !→! ℎ
limiti varsa bu limit değerine 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑥! !" noktasında türevidir denir. Türev için 𝑓′(𝑥!) ya da (𝑥!) !" gösterimlerinden biri kullanılabilir.
Eğer fonksiyon tanım kümesi üzerindeki her noktada türevlenebiliyorsa, bu fonksiyona türevlenebilir fonksiyon denir.
Örnek: Az önce verilen örnekte, konum fonksiyonu f(t)=16t2 (metre) olan bir cismin keyfi t anındaki anlık hız
(değişim hızı), t ile t + h zamanları arasındaki ortalama hızların h→ 0 iken limiti olarak tanımlanır:
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓 𝑡 𝑉 = 𝑙𝑖𝑚 !→! ℎ
16 𝑡 + ℎ ! − 16𝑡! = 𝑙𝑖𝑚 !→! ℎ
= 𝑙𝑖𝑚 32𝑡 + 16ℎ = 32𝑡 !→!
Böylelikle artık her t zamanında hızın ne olacağı söylenebilir.
Belirli bir 𝑥! noktasındaki türevi şöyle de tanımlayabiliriz:
! 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥!) 𝑓 𝑥! = lim !→!! 𝑥 − 𝑥!
Dikkat edilirse, burada da 𝑥 değişkeni türev alınacak nokta olan 𝑥! noktasına yaklaşmaktadır. 𝑥 − 𝑥! değişme miktarını Δ𝑥 ile gösterirsek, 𝑥 < 𝑥! iken Δ𝑥 < 0, 𝑥 > 𝑥! iken Δ𝑥 > 0 olur. Bu Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥! artmasına karşılık fonksiyonun değerlerindeki artma miktarı ise;
𝛥𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥! = 𝑓 𝑥! + 𝛥𝑥 − 𝑓 𝑥! olacaktır.
O halde 𝑥 → 𝑥! iken Δ𝑥 → 0 olacağından türevin bir başka tanımı da aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
! 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥! 𝑓 𝑥! = lim !→!! 𝑥 − 𝑥!
𝑓 𝑥! + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥! = lim !!→! Δ𝑥
Δ𝑦 = lim !!→!Δ𝑥
Bu tanımlarda fonksiyonun türevini aldığımız noktayı vurgulamak için 𝑥! gösterimini seçilmiştir. Ancak bundan
sonra seçilen nokta çoğu kez sadece 𝑥 ile gösterilecek ve aşağıdaki şekilde yazılacaktır:
! 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = lim !→! ℎ
Türev Kuralları
Sabit bir 𝑐 sayısı için 𝑓: ℝ → ℝ, 𝒇 𝒙 = 𝒄 sabit fonksiyonunun bir 𝑥 noktasındaki türevini hesaplayalım:
! 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) 𝑐 − 𝑐 𝑓 𝑥 = lim = lim = 0 !→! ℎ !→! ℎ
Sabit fonksiyonun her noktada türevi sıfırdır.
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓 𝑥 = 𝑥 kuralı ile verilen birim fonksiyonun türevi,
! 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = lim !→! ℎ 𝑥 + ℎ − 𝑥 ℎ = lim = lim = 1 !→! ℎ !→!ℎ
𝑓: ℝ → ℝ, 𝒇 𝒙 = 𝒙 birim fonksiyonunun türevi;
𝒇! 𝒙 = 𝟏!dir.
Türevin tanımı kullanılarak 𝑓 𝑥 = 𝑥! fonksiyonunun türevinin 𝑓! 𝑥 = 2𝑥 olduğu ve yine türevin tanımı kullanılarak 𝑓 𝑥 = 𝑥! fonksiyonunun türevinin 𝑓! 𝑥 = 3𝑥! olduğu görülebilir.
𝑓: ℝ → ℝ, 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏, 𝑛 ∈ ℕ
kuvvet fonksiyonunun türevi;
𝒇! 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏!𝟏′dir.
𝑥 > 0 ve 𝑟 ∈ ℝ olmak üzere 𝑓 𝑥 = 𝑥! kuvvet
fonksiyonunun türevi;
! 𝒓!𝟏! 𝒇 𝒙 = 𝒓𝒙 dir.
Her sürekli fonksiyonun türevlenebildiği yanılgısına düşmemek gerekir. Örneğin;
𝑥, 𝑥 ≥ 0 𝑓 𝑥 = fonksiyonu −𝑥, 𝑥 < 0
tüm gerçel sayılar üzerinde tanımlı olan mutlak değer fonksiyonudur ve her noktada süreklidir (S:171, sağ üstteki fonksiyon grafiği), ancak 𝑥 = 0 noktasında türevi yoktur.
Sayfa 171’de sağ üstteki fonksiyon grafiğine dikkat edilirse, x = 0 noktasında bir köşe yaptığı görülür. Genel olarak fonksiyonların bu tür köşe noktalarında türevleri yoktur.
Türev Kuralları
𝑓 ve 𝑔 bir 𝑥 noktasında türevlenebilen fonksiyonlar olsunlar. Bu durumda;
• Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir. 𝑓 + 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
• Çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir! “tesadüfler dışında” 𝑓 ⋅ 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
• Bir fonksiyonun sabit sayıyla çarpımının türevi, türevinin aynı sabitle çarpımına eşittir. 𝑐𝑓 ! 𝑥 = 𝑐𝑓′(𝑥)
• İki fonksiyonun bölümünün türevi, aşağıda verilen kural ile belirlidir. 𝑓 ! 𝑓! 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑥 = ! 𝑔 𝑔 𝑥
• Zincir kuralı olarak da bilinen 𝑓 ∘ 𝑔 bileşke fonksiyonunun türevi, aşağıda verilen kural ile belirlidir. 𝑓 ∘ 𝑔 ! 𝑥 = 𝑓! 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′(𝑥)
Örnek: f (x) = 2x − 1 ve g(x) = x2 − 6x fonksiyonları için
h(x) = f (x) g(x) çarpım kuralını uygulayarak bulalım:
h’(x) = (2x −1)’(x2 −6x)+(2x −1)(x2 −6x)’
= 2(x2 −6x)+ (2x −1)(2x −6)
= 2x2 −12x +4x2 −14x +6
= 6x2 −26x +6
Konuyla ilgili olarak Sayfa 173, 174 ve 175’deki örnekler incelenebilir.
Teğet Denklemi
Bir eğriye bir noktasında teğet olan doğrunun denklemini elde etmek için türev kullanılır.
Teğet doğrusu matematiksel olarak şöyle açıklanabilir: 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunun grafiği üzerinde sabit bir 𝑃 = (𝑥!, 𝑓(𝑥!)) noktası ile değişen bir 𝑄 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) noktası alalım. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi;
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥!) 𝑚!" = olur. 𝑥 − 𝑥!
Şimdi 𝑄 noktasını 𝑃 noktasına yaklaştıralım. Bu yaklaşımın her adımında yeni bir kesen doğrusu elde ederiz. 𝑄 noktasının 𝑃 noktasına yaklaşması 𝑥 noktasının 𝑥! noktasına yaklaşması anlamına gelir. 𝑥 → 𝑥! iken 𝑚!" eğimleri bir 𝑚 sayısına yaklaşsın. Bu durumda 𝑃 noktasından geçen ve eğimi 𝑚 olan doğruya 𝑦 = 𝑓(𝑥) eğrisinin 𝑃 noktasındaki teğet doğrusu denir (S:175. Şekil 7.7).
Kesenlerin eğimlerinin limiti, yani;
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥!) 𝑚 = lim 𝑚!" = lim !→!! !→!! 𝑥 − 𝑥!
ifadesi elde edilir ki bu da 𝑓(𝑥) fonksiyonunun 𝑥 = 𝑥! noktasındaki türevinden başka bir şey değildir.
Fonksiyonlar ünitesinden hatırlanacağı üzere, eğimi 𝑚 olan ve bir (𝑥!, 𝑦!) noktasından geçen doğru denklemi;
𝑦 − 𝑦! = 𝑚 𝑥 − 𝑥! denklemidir.
Eğimi türev ile ifade ettiğimize göre 𝑦 = 𝑓(𝑥) fonksiyonunun grafiğine 𝑥!, 𝑓(𝑥!) noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemi aşağıdaki eşitlik ile verilir:
𝑦 − 𝑓 𝑥! = 𝑓′(𝑥!)(𝑥 − 𝑥!)
Şu ana kadar verilen bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun sadece bir kez türevini aldık ve bu türevi 𝑓′(𝑥) ile gösterdik. Bu türeve birinci mertebeden türev denir. Eğer 𝑓′(𝑥) türev fonksiyonunun bir 𝑥! noktasında türevi varsa, bu türeve 𝑓 𝑥 fonksiyonunun 𝑥! noktasındaki ikinci mertebeden türevi denir ve 𝑓′′(𝑥 ) ya da 𝑑!𝑓(𝑥 )/𝑑𝑥! biçiminde ! ! gösterilir.
Örnek: f (x) = x2 +3x +4 fonksiyonunun ikinci mertebeden
türevini bulalım.
f ‘(x) = 2x +3 ve f “(x) = 2
İvme: İlk defa İtalyan Fizikçisi Galileo tarafından açık bir şekilde tarif edildiği bilinen ivme, belirli bir yönde hareket etmekte olan bir cismin hızının belirli bir zaman aralığındaki değişim miktarıdır. Başka bir deyişle ivme, bir cismin hızının değişim hızıdır.
𝑑𝑣(𝑡) 𝑖𝑣𝑚𝑒 = 𝑑𝑡
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun türevi ile fonksiyonun artan veya azalan olması arasında bir ilişki vardır. Bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun tanım kümesinden alınan keyfi 𝑥!, 𝑥! noktaları için;
• 𝑥! < 𝑥! iken 𝑓 𝑥! < 𝑓(𝑥!) oluyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonuna, artan fonksiyon (S:178, Şekil 7.10) ve • 𝑥! < 𝑥! iken 𝑓 𝑥! > 𝑓(𝑥!) oluyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonuna, azalan fonksiyon (S:178, Şekil 7.11) denmektedir.
Türevlenebilen bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun artan ya da azalan olması ile türevin işareti arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilmektedir:
𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ fonksiyonu sürekli ve 𝑎, 𝑏 aralığında türevlenebilir olsun. (𝑎, 𝑏) aralığından alınan her 𝑥 noktası için 𝑓! 𝑥 > 0 ise 𝑓(𝑥) fonksiyonu [𝑎, 𝑏] aralığında artan, benzer olarak (𝑎, 𝑏) aralığındaki her 𝑥 için 𝑓! 𝑥 < 0 ise
𝑓(𝑥) fonksiyonu [𝑎, 𝑏] aralığında azalandır.
Örnek:𝑅: 0,200 → ℝ, 𝑅 𝑥 = 200𝑥 − 𝑥! gelir
fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
R’(x) = 200 − 2x olduğundan
x = 100 için R’(100) = 0’dır.
0 < x < 100 için R’(x) > 0 ve
100 < x < 200 için R’(x) < 0 olur.
Burada R(x) fonksiyonunun [0,100] aralığında artan, [100,200] aralığında ise azalan olduğunu söylenebilir.
Bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun tanım kümesindeki bir 𝑥! noktasının civarında yer alan her 𝑥 için 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥!) oluyor ise bu noktaya fonksiyonun yerel maksimum noktası ve fonksiyonun bu noktada aldığı değer olan 𝑓(𝑥!) sayısına da yerel maksimum değeri denir.
Aksine, 𝑥! civarında 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥!) oluyor ise 𝑥! noktasına yerel minimum noktası ve fonksiyonun bu noktada aldığı değer olan 𝑓(𝑥!) sayısına da yerel minimum değeri denir.
Yerel minimum ve yerel maksimum noktalarına bir fonksiyonun ekstremum noktaları denir ve şu önemli özellik sağlanır:
𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ fonksiyonu sürekli ve (𝑎, 𝑏) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ve 𝑥! ∈ (𝑎, 𝑏) bir ekstremum nokta ise o zaman 𝑓! 𝑥 = 0 dır. Bu nedenle bir
fonksiyonun yerel ekstremum noktaları aranırken fonksiyonunun türevinin sıfır olduğu noktalara bakılır. Fonksiyonun grafiğine ekstremum noktalarda çizilecek teğet doğruları x -eksenine paralel olur ve bu teğet doğrularına fonksiyonun yatay teğetleri denir.
Bir fonksiyonun türevinin bir 𝑥! noktasında sıfır olması o noktayı ekstremum noktası yapmaz. Öneğin, 𝑓 𝑥 = 𝑥!
fonksiyonunun 𝑥 = 0 noktasındaki türevi sıfırdır, ancak 𝑓 0 = 0 , 𝑥 < 0 iken 𝑓 𝑥 < 0 ve 𝑥 > 0 iken 𝑓 𝑥 > 0 olduğundan bu nokta bir ekstremum noktası olamaz.
Bir başka ilginç örnek ise 𝑓 𝑥 = |𝑥| mutlak değer fonksiyonudur. 𝑥! = 0noktasında bu fonksiyonun türevi olmamasına rağmen [−2,2] aralığında |𝑥| en küçük değerini 𝑥! = 0 noktasında alır ve bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Kısaca, ekstremum noktası türevin var olmadığı bir nokta da olabilir.
Bir 𝑓(𝑥) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevinin işareti ile fonksiyon grafiği arasındaki ilişki şöyle özetlenebilir:
• 𝑓! 𝑥 > 0 ve 𝑓!! 𝑥 > 0 olan bir aralıkta
fonksiyonun artışı giderek hızlanır ve bu da grafiğinin yukarıya doğru kıvrıldığı anlamına gelir. • 𝑓! 𝑥 > 0 ve 𝑓!! 𝑥 < 0 olan bir aralıkta
fonksiyonun artışı giderek azalır ve bu da grafiğinin aşağıya doğru kıvrıldığı anlamına gelir.
Logaritmanın türevi:
! 𝟏 f x = ln 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔!𝑥 için 𝒇 𝒙 = 𝒙 Üstel fonksiyonun türevi:
𝑓 𝑥 = 𝑒! için 𝑓! 𝑥 = 𝑒!
𝑓 𝑥 = 𝑒!" için 𝑓! 𝑥 = 𝑘𝑒!