MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 6: Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemleri
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini kolaylıkla kavrayabilmek için bir diyet problemi üzerinden yola çıkalım. Varsayalım ki öğle yemeğinde 8 gr protein ve 36 gr karbonhidrat almanız gerekiyor ve iki çeşit yiyeceğimiz var. Bir dilim ekmekte 2 gr protein ve 12 gr karbonhidrat, 1 kâse çorbada 4 gr protein ve 12 gr karbonhidrat var olsun. Diyetteki bir kişinin öğle yemeğinde kaç dilim ekmek yeme ve kaç kâse çorba içme hakkına sahip olduğunu bilmek için iki bilinmeyenli denklemlere ihtiyacımız var. Öncelikle protein ile ilgili denklemlerimizi kuralım. x ile dilim sayısını, y ile de kâse sayısını gösterirsek; bir dilim ekmekte 2 gr protein varsa x dilim ekmekte 2x gr protein olacaktır. O halde çorbanın da bir kâsesinde 4 gr protein varsa y kâse çorbada 4y gr protein olacaktır. Üstelik öğün için gerekli protein miktarı 8 gr olduğundan ekmek ve çorbadaki proteinlerin toplamı da 8 gr olmalıdır. O halde denklemimiz 2x + 4y = 8 olmalıdır. Ekmek ile ilgili denklemimizi de kuracak olursak; bir dilim ekmekte 12 gr karbonhidrat varsa x dilim ekmekte 12x gr karbonhidrat ve 1 kâse çorbada 12 gr karbonhidrat varsa y kâse çorbada 12y gr karbonhidrat olur. Öğün için gerekli olan karbonhidrat miktarı 36 gr idi. Dolayısıyla denklemimiz: 12x +12y = 36 olur. Elimizde iki bilinmeyenli iki adet denklem var. İki veya daha fazla denklemimiz varsa bunlara denklem sistemi diyoruz. Denklem sistemimiz:
2x + 4y = 8 12x + 12y = 36 olduğuna göre bu denklemlerin ortak çözümünü araştırmalıyız. Kurduğumuz denklemlerin her ikisinde de bilinmeyenlerin yani x ile y’nin derecelerinin bir olduğuna dikkat edelim. O halde geometrik olarak bu denklemlerden her biri düzlemde birer doğru gösterir. İlk olarak bu doğruların eksenleri kestiği noktaları bulalım. İlk denklemimizde x = 0 alırsak 2·0 + 4y = 8 olduğundan y = 2 bulunur. y = 0 alırsak 2x + 4·0 = 8 olduğundan x = 4 olur. Bu durumda noktalarımız (0,2) ve (4,0)’dır. İlk denklemimiz bu iki noktadan geçen bir doğrudur (Doğrunun koordinat sisteminde gösterimi için kitabınızda S:134, Şekil 6.1’i inceleyebilirsiniz). Benzer biçimde ikinci doğrunun eksenleri kestiği noktalar da (0,3) ve (3,0) olarak elde edilir (Doğrunun koordinat sisteminde gösterimi için kitabınızda S:135, Şekil 6.2’yi inceleyebilirsiniz). Bu iki doğru aynı düzlemde çizilerek ortak çözüme ulaşılır. Ortak çözümde bu iki doğrunun 1 noktada kesiştiği görülmektedir (bkz: S:135, Şekil 6.3) Kesişim noktasını bulmak için bir çok yöntem mevcuttur. Bunlardan biri ilk denklemdeki bilinmeyenlerden birini çekip ikinci denklemde yerine yazmaktır. Bu durumda ikinci denklem tek bilinmeyenli bir denkleme indirgenecektir. Böylece bulunan denklemin çözümünden bir bilinmeyenin değeri elde edilecektir. Birinci 8−2𝑥 1 denklemden y’yi çekelim istersek y = 4 = 2 - 2x olur.
Bu değer diğer denklemde yerine yazılırsa
denklemi oluşturularak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir ve bu denklemden x = 2 olduğu görülür. Öncesinde 8−2𝑥 y = 4 bulduğumuzdan x = 2 değerini yazarsak y = 1
bulunur. O halde iki doğrunun kesişim noktası (2,1) olarak bulunur ve önceden verdiğimiz iki denklemde bu değerler yerine yazılarak (2,1) noktasının doğru bulunduğundan emin olunur. Yani bu sonuç, diyet yapan kişinin öğle yemeğinde 2 dilim ekmek ve 1 kâse çorba hakkının olduğunu söyler ve bu çözüm yöntemine yerine koyma yöntemi denir.
Eğer verilen iki denklemde de bilinmeyenlerden birinin katsayıları eşit ise ya da uygun bir sayıyla denklemlerden birinin her iki yanı çarpılarak katsayılar eşitlenebiliyorsa bu bilinmeyeni yok edebiliriz. Bu yolla sistemin çözümünü bulmaya da yok etme yöntemi denir. Örneğin elimizde aşağıdaki iki denklem olsun:
4x + 3y = 18 6x – 3y = 12 Bu iki denklem taraf tarafa toplanırsa 3y ile -3y toplamı 0 olacağından 10x = 30 değerine ulaşılır ve buradan x kolaylıkla 3 bulunur. x değeri bulunduktan sonra da denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak y ifadesi bulunur. Örneğin 4·3 + 3y = 18 ifadesinden 3y = 6 dolayısıyla y = 2 sonucu çıkar. İkinci denklemde de aynı sonuca ulaşırız. İki bilinmeyenli denklemleri bir bilinmeyenli denklemlere indirgemek için dikkat edilmesi gereken şey şudur: katsayıları eşit hale getirirseniz, denklemleri taraf tarafa çıkartırsınız; katsayıları zıt işaretli hale getirirseniz, denklemleri taraf tarafa toplarsınız böylelikle bir bilinmeyenden kurtulmuş olursunuz.
Bu anlatımlardan sonra dikkat edilmesi gereken bir husus vardır. İki bilinmeyenli her denklem sisteminin her zaman bir çözümü olmayabilir. Örneğin birbirine paralel iki doğrunun hiçbir ortak noktası bulunmaz dolayısıyla bu iki denklem için ortak bir çözümden bahsedilemez (bkz. S:139, Şekil 6.4). Aynı düzlemde bulunan iki doğru çakışık ise bu sefer de sistemin sonsuz çözümü vardır deriz. l1 ve l2 adında iki adet doğrumuz olsun. Bu doğruların denklemleri l1: y = m1x + n1 ve l2: y = m2x + n2 olmak üzere m1 = m2 ve n1 ≠ n2 ise doğrular paralel; m1 = m2 ve n1 = n2 ise doğrular çakışık olur.
Üç Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Sistemleri
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini kolaylıkla kavrayabilmek için kitabınızda basit bir örnekten yararlanılmıştır. İkişer ikişer birbirine dıştan teğet olan ve merkezleri A, B ve C olan üç tane çemberimiz olsun ve bu çemberlerin merkezlerinin arasındaki uzaklıklar |AB| = 16 birim (br), |AC| = 18 br ve |BC| = 10 br olarak verilen üç adet çember problemimiz olsun (Şekil için kitabınızda S:140, Şekil 6.6’yı inceleyebilirsiniz). Her bir çemberin yarıçapını bulmak için üç bilinmeyenli üç adet denklem oluşturalım. A merkezli çemberin yarıçapına r1, B merkezli çemberin yarıçapına r2 ve C merkezli çemberin yarıçapına
r3 dersek merkezler arasındaki uzaklıklar her defasında iki yarıçapın toplamı olacağından
r1 + r2 = 16 r1 + r3 = 18 r2 + r3 = 10 olur. Böylece üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem bulmuş oluruz. Yerine koyma yöntemi ile birinci denklemden r2’yi, ikinci denklemden r3’ü çekip son denklemde yerine yazarsak (16-r1) + (18-r1) = 10 bulunur ve tek bilinmeyenli bir denkleme ulaşmış oluruz. Buradan r1 = 12 bulunur. 12 + r2 = 16 ve 12 + r3 = 18 olduğundan r2 = 4 ve r3 = 6 bulunur. Böylelikle sistemin tek çözümü olan (12, 4, 6) sonucuna ulaşmış oluruz. Üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir denklem sisteminin çözümleri sıralı üçlüler biçiminde yazılabilir.
Üç bilinmeyenli denklemler yok etme yöntemi ile çözülmek istendiğinde; yok edilmek istenen bir bilinmeyen üç denklem toplamında yok olacak şekilde katsayılarla çarpıldıktan sonra denklemler taraf tarafa toplanır ve iki bilinmeyenin bulunduğu bir denklem sistemine indirgenir. İki bilinmeyenli denklemlerde yer alan bilinmeyenler bulunduktan sonra denklemde yerlerine yazılarak daha önceden yok edilmiş olan bilinmeyen de bulunur. Böylelikle bilinmeyenler ardı ardına bulunmuş olur. Bir örnekle açıklamak gerekirse; elimizde aşağıda verilen 3 adet denklem olsun:
x – 2y + 3z = 9 -x + 3y = -4 2x – 5y + 5z = 17 sistemini çözelim. Varsayalım ki ilk olarak x değişkenini yok etmek istiyoruz. Birinci denklemi -1 ile çarparsak yeni denklemlerimiz
-x + 2y - 3z = -9 -x + 3y = -4 2x – 5y + 5z = 17 olur. Bu denklemler taraf tarafa toplanırsa 2z = 4 bulunur ve z = 2 olur. Artık yeni denklemlerimiz
x – 2y = 3 -x + 3y = -4 2x – 5y = 7 olur. Bu denklemler içerisinde ilk iki denklemi toplarsak y = -1 buluruz. Bu durumda denklemlerden herhangi birini kullanarak x değerini de 1 buluruz. Sonuçta denklemin ortak çözüm noktası (1, -1, 2)’dir.
Üç bilinmeyenli denklem çözümlerinde dikkat edilmesi gereken bir takım hususlar vardır. İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinde olduğu gibi üç bilinmeyenli denklem sistemlerinde de her zaman çözüm olmayabilir. Bir denklem sistemini çözmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanırsa sistemin çözümü değişmez.
İki denklemin yeri değiştirilebilir, Sistemdeki bir denklem sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir,
Bir denklem bir sayı ile çarpılıp, sistemdeki diğer bir denkleme eklenebilir.
Matrisler
Doğrusal denklem sistemini çözmek için matrislerden de faydalanılır. Matrisleri bir örnekle anlatmak gerekirse elimizde aşağıda belirtilen üç adet denklemimiz olsun:
x + y – z = 6 2x – y + 3z = 11 4x + 2y – 3z = 14 Elimizdeki denklemleri matrise dökmek istersek bir an için x, y, z bilinmeyenlerini ve eşitlik işaretini görmeyip sadece katsayıları yazacak olursak:
1 1 -1 6
2 -1 3 11
4 2 -3 14
Matrise dikkatli bakarsak her satırı sistemin bir denklemine karşılık gelen bir tablo olduğunu görürüz. Birinci sütun x’in, ikinci sütun y’nin ve üçüncü sütun da z’nin katsayılarından oluşmaktadır. Son sütun da eşitliklerin diğer yanındaki sayılardan oluşmaktadır. Bu tabloyu, denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini uygularken x, y, z’leri sürekli taşımadan doğrudan kullanabiliriz. Bu tablo köşeli iki parantez içerisine alınır ve şu şekilde gösterilir:
Bir matristeki düz yatay bir sıraya matrisin bir satırı, dikey bir sıraya matrisin bir sütunu adı verilir. Üç satır ve dört sütundan oluşan bu tabloya 3 × 4 boyutunda bir matris denir. Bu tablonun sütunları x, y ve z’nin katsayılarından oluşan üç sütun ile eşitliğin ikinci yanını veren bir sütundan oluştuğu için buna özel olarak sistemin genişletilmiş matrisi denir. Sadece x, y ve z’nin katsayılarından oluşan
Matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Bu matrisin içindeki her bir sayıya da bu matrisin elemanı denir. Sadece bir satırdan oluşan matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan matrise sütun matrisi adı verilir.
Matriste yok etme yöntemini kullanabilmek için üç değişik işlem yapma hakkımız vardır. Bu işlemler: iki satırın yerlerinin değiştirilmesi; bir satırın sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması; bir satırın bir sayı ile çarpılıp bu çarpımın başka bir satırla toplanmasıdır.
Örnek olarak verdiğimiz matris üzerinde yok etme işlemi uygulayalım. Genişletilmiş matrisin birinci satırındaki
elemanları −2 ile çarpıp, ikinci satırdaki elemanlarla toplarsak matrisimiz
matrisine dönüşür. Elde ettiğimiz bu matriste birinci satırdaki elemanları −4 ile çarpıp üçüncü satırdaki elemanlarla toplarsak, bu durumda
matrisini elde ederiz. Birinci satırda ilk eleman 1 olduğu için ikinci ve üçüncü satırdaki sayıların zıt işaretlisi ile birinci satırı çarpıp sırasıyla ikinci ve üçüncü satırlara ekledik ve bu satırların ilk terimleri 0 oldu. Şimdi bir alt satıra geçelim. Burada 0’dan farklı ilk terimi bulalım ve öncelikle bu terimi 1 yapalım. Bu işlem bize bu terimin altındaki elemanları 0 yapmada büyük kolaylık sağlar. −1 Bunun için ikinci satırı ile çarpalım. Bu durumda: 3
matrisi elde edilir. Böylece ikinci satırda sıfırdan farklı ilk terim 1 olur. İkinci satırı 2 ile çarpıp üçüncü satıra eklersek, bu durumda
−3 Matrisi elde edilir. Son olarak son satırı da ile 7 çarparsak matrisimizin son hali
olur ve böylece denklem sistemimiz
x + y – z = 6 5 1 y – z = 3 3 z = 4
şeklinde olur. Buradan z = 4 ile başlayıp basamak basamak aşağıdan yukarı doğru yerine koyarak sistemin çözümü (x, y, z) = (3, 7, 4) olarak bulunur.
Matrisler konusu oldukça geniş bir konudur. Burada ünite dâhilinde matrisler hakkında verilen özellikleri özetleyeceğiz. Öncelikle belirtmek gerekir ki yalnızca boyutları aynı olan matrislerin toplamından ve farkından söz edilebilir. İki matrisin toplamı ya da farkı, elemanları
bu iki matrisin karşılık gelen elemanlarının toplamı ya da farkı olan yeni bir matristir.
ve ise
Bir matrisin bütün elemanları sıfır ise bu matrise bir sıfır matris denir. 2x2’lik A ve B matrisleri düşünün, bu matrislerin birbirine eşit olması demek bütün aynı konumdaki elemanların birbirlerine eşit olması demektir. Örneğin:
matrisleri birbirine eşittir ve A = B şeklinde gösterilebilir. Sıfır matrisi, kendisiyle aynı boyuttaki matrislerin toplama işleminin etkisiz elemanıdır. Ayrıca A+ B = B + A = O özelliğine sahip B matrisine A matrisinin toplamaya göre tersi denir ve −A ile gösterilir. Bir matrisi bir k sayısı ile çarpmak demek matrisin tüm elemanlarını k sayısı ile çarpmak demektir. Özel olarak bir A matrisini (−1) ile çarparsak (−1)A çarpımı −A olacaktır (bkz. S:147).
İki matrisi birbiriyle çarpabilmek için ilk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. Çarpım matrisinin i. satır ve j. sütunundaki elemanını bulmak için birinci matrisin i. satırındaki elemanlar ile ikinci matrisin j. sütunundaki elemanları karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve bu şekilde iki matrisin çarpımından elde edilecek yeni matris bulunur. Bir örnekle göstermek gerekirse:
Matris çarpımının değişme özelliği yoktur, yani A ve B matrisleri için AB ve BA tanımlı olduğunda genel olarak AB ≠ BA’dır.
Her doğrusal denklem sistemi, A katsayılar matrisi, X değişkenlerin sütun matrisi ve B eşitliğin ikinci yanındaki sayıların sütun matrisi olmak üzere AX = B biçiminde yazılabilir.
Satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrise bir kare matris denir. Örneğin,
Matrisi 2 x 2 boyutunda bir kare matristir.
Matrisi de 2 x 2 boyutunda bir kare matristir ve aynı zamanda birim matristir. A·I = I·A= A sonucu verir. Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matrisi verir yani A·B = B·A= I denkleminde B matrisi A matrisinin çarpımsal tersi veya kısaca tersidir.