MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 5: Yüzde ve Faiz Hesapları
Bu ünitede yaşantımızın bir parçası olan yüzde ve faiz hesapları incelenip, bileşik faiz uygulamalarından söz edilecek ve sonrasında bankaların kredi kullanırken işin en önemli öğesi olan borç amortismanı formülünden söz edilecektir.
Yüzde Hesapları
Yüzdeler büyüklük değil, yalnızca orandır! Yani bir büyüklüğün ne kadarından bahsettiğimizi ifade eder. Yüzde hesaplarında, hatta genel olarak oranlarda, her zaman değilse de büyük çoğunlukla birden küçük sayılardan bahsederiz. Bundan dolayı 0,20 demek yerine 20 ya da %20 deriz. Yani bu yüzde gösterimi paydası 100 100 olan bir bayağı kesirden başka bir şey değildir. Bir büyüklüğün %60’ı demek, eğer o büyüklük 100 birim 3 olsaydı 60 birimini kastettiğimiz demektir. kesirli sayısı 5 hem "üç bölü beş" olarak hem de "beşte üç" olarak 60 okunur. Bu kesri 20 ile genişletirsek 100 olur. Bu durumda 𝑝 bu ifade %60’tır. Yani 100 demek %p demenin başka bir
yoludur. 𝑝 Bir sayının %p’si sayı x 100 sayısıdır. Örneğin bir sayının 25 1 %25’i dediğimizde bu sayıyı 100 = 4 kesri ile çarpmamız 1 gerektiği sonucu çıkar. Buna göre 12’nin %25’i 12 x 4 =
3’dür. Bir sayı %p kadar artırıldığında yeni sayı, sayı + 𝑝 𝑝 sayı x 100, %p kadar azaltıldığında ise, sayı - sayı x 100
olur. Başka bir ifadeyle bir a sayısını %p kadar artırırsak 𝑝 𝑝 sonuç (1 + 100)𝑎, %p kadar azaltırsak ta (1 − 100)𝑎 olur.
Yüzde hesapları yaparken hangi sayının yüzdesinin alındığı çok önemlidir. Çünkü yüzde değişim o büyüklüğün kendisiyle orantılı bir değişimdir. Örneğin maaşı 50 tl olan birinin maaşını %20 azalttıktan sonra tekrar %20 oranında artırırsak o kişinin maaşında bir değişim olmayacağını söyleyemeyiz. 50 tl %20 oranında azaltıldıktan sonra 40 tl, 40 tl %20 oranında artırıldıktan sonra ise 48 tl olur.
Aritmetik ve Geometrik Diziler
Belli orandaki artışların tekrar tekrar gerçekleştiği durumlar için dizi kavramına değinmek gerekir. Dizi denilen şey her n doğal sayısına, belli bir kuralla, bir sayı karşılık getirme işidir. Eğer n doğal sayısına karşılık
getirilen sayıyı an ile gösterirsek, bazı dizilerde n ne olursa
olsun an+1 − an sayısı sabit olabilir. Hiç değişmeyen bu sayıya ortak fark ve böyle bir diziye de bir aritmetik dizi
denir. Örneğin an = 3n+2 ¸seklinde verilen dizi, ortak farkı
3 olan bir aritmetik dizidir. Bu dizinin ilk bir kaç terimi a1
= 3·1 + 2 = 5, a2 = 3·2 + 2 = 8 ve a3 = 3·3 + 2 = 11
şeklindedir. Benzer bir şekilde de n ne olursa olsun oranı sabit olabilir. Bu sabit orana ortak çarpan ve böyle
bir diziye de bir geometrik dizi denir. Örneğin an = 10n
şeklinde verilen dizi de, ortak çarpanı 10 olan bir geometrik dizidir. Bu dizinin ilk bir kaç terimi a1 = 101 =
10, a2 = 102 = 100 ve a3 = 103 = 1000 şeklindedir.
Aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n adet terimlerinin toplamını bulmak için kullanılan yöntemler şu şekildedir:
1’den 100’e kadar olan sayıların toplamı S olsun. Bu sayılar formüle edildiğinde 1 + 2 + 3 + … + n = 𝑛(𝑛+1) 100.101 formülünden hareketle, S = olduğu 2 2 görülmektedir (ayrıntılı bilgi için kitabınızın 115.sayfasındaki gauss yöntemini inceleyiniz). 1’den 100’e kadar olan dizimizde 100 adet sayı olduğundan 𝑛.(𝑛+1) genel bir ifadeyle bu değer olarak ifade edilir. Bu 2 formülü kullanarak aritmetik bir dizinin ilk n teriminin toplamı şu şekilde yazılabilir:
Benzer basitlikte bir toplam ifadesi geometrik diziler için de yazlacak olursa; an dizisi ortak çarpanı k olan bir geometrik dizimiz olsun. Bu durumda ilk n terimin toplamı:
şeklinde bulunur. Eğer 1+ k + k2 +· · ·+ kn−1 = T dersek,
T·k = T + kn-1, yani T(k-1) = kn-1 olup, buradan T =
elde edilir. Eğer k sayısı 1’den küçükse bu formül
daha estetik olsun diye T = şeklinde de yazılır.
Demek ki a1 + a2 + … + an toplamını a1 · şeklinde
ifade edebiliriz.
Bileşik Faiz
Bileşik faiz terimi kitabınızda üstel ve logaritmik fonksiyonlar başlıklı konuda tanımlanmıştı. Bu hesaplamanın nasıl yapıldığını bir örnekle tekrar hatırlayacak olursak 5000 TL’nin %15 yıllık bileşik faizle 15 t bankaya yatırıldığında t yıl sonra 5000·(1+ ) TL’ye 100 ulaşacağını söyleyebiliriz. Genelleme yapacak olursak 5000 TL yerine P TL ve %15 faiz oranı yerine %r diyecek olursak formülümüz P·(1+r)t şeklinde olacaktır. Burada
hesaplanan faiz yıl baz alınarak hesaplanmıştır. Yıl yerine dönem terimini kullanarak ilişkiyi ifade etmek istersek,
paramızın n dönem sonra ulaşacağı değeri Pn ile gösterirsek, yeni formülümüz P = P(1+r)n olur. n
Gösterimler sözcüklerin İngilizce karşılıklarının ilk harflerinden gelmektedir. P "principal" sözcüğünden, r
"rate" sözcüğünden ve t de "time" sözcüğünden gelmektedir.
Borç Amortismanı
Borç amortismanı uygun bir faizle borç alınan bir paranın, taksitler halinde geri ödenmesidir. Eskiden bu ifadeye borcun itfası denilirdi. İtfa terimi borç söndürmek anlamını taşır. Günümüzde yangın söndürmek için kullanılan İtfaiye teriminin kökeni itfadır. Borç amortismanı hesaplanırken her ay ödememiz gereken faiz tutarı, her defasında kalan borcumuz üzerinden dönem faizi hesaplanarak bulunur. Her ay ödenen faiz miktarı eşit değildir ve aydan aya ödenen faiz miktarları bir önceki aya göre daha az olacaktır. Durumu basit bir örnekle kavramaya çalışalım. Bankadan aylık %1,37 faizle 5000 TL kredi aldığımızı varsayalım. Bu borcu aylık 1000 TL eşit taksitlerle bankaya geri ödemek istersek bu borcun kaç ayda biteceğini hesaplayalım. Borcu aldıktan bir ay sonra aldığımız borç için aylık bir faiz uygulanacak ve bu faiz de 5000 x 0,0137 = 68,50 TL olacaktır. 1000 TL taksit ödendikten sonra kalan borç miktarı 5068,50 – 1000 = 4068,50 TL olacaktır. Bankaya birinci ay için ödenen 1000 TL’nin 68,50 TL’si faiz 931,50 TL’si ise anaparadır. İkinci ay sonu itibariyle devreden borcumuz olan 4068,50 TL’nin faizi 4068,50 x 0,0137 = 55,74 TL’dir. Dolayısıyla ödenen 1000 TL’nin 55,74 TL’si faiz ödemesi 944,26 TL’si anaparadır. Kalan borcumuz ise 4068,50 + 55,74 – 1000 = 3124,24 TL’dir. Hesaplamalar bu şekilde yapıldıktan sonra görülür ki 5.ay sonunda kalan borcumuz 213,12 TL’dir ve altıncı ayda 213,12 TL’nin faizi olan 2,92 TL ile beraber 216,04 TL ödenerek borç kapatılır. Son ay ödenen 216,04 TL bu borç için fazladan ödenen para, yani ödenen toplam faiz oldu. Faiz miktarı da borç azaldıkça azaldığı için ilk aylarda en yüksek seviyelerde olan faiz, zamanla gittikçe azalmıştır.
Genel durumu anlayabilmek için şu örnek üzerinden işlem yapalım. Bir bankadan A TL borcu dönemlik r faiz oranı ile alalım. Eğer bankaya bu borcu her dönem B TL’lik eşit taksitlerle ödemek istersek borcu hangi dönemde amorti etmiş olacağımızı öğrenmek için uygulamamız gereken yaklaşım şu şekilde olacaktır. Her dönemin sonunda B TL miktarı bankaya ödüyor ve borcumuzu bir miktar azaltıyoruz. Yani her dönemin sonunda borç miktarımız değişime uğruyor. n dönem sonra borcumuzun sıfırlanacağını varsayalım ve k = 1,2, . . . , n olmak üzere,
k’ıncı dönem sonundaki borcumuzu Ak ile gösterelim. Yani,
A1 = Birinci dönemin sonunda kalan borç miktarı
A2 = İkinci dönemin sonunda kalan borç miktarı … …
Ak = k’ıncı dönem sonunda kalan borç miktarı … …
An = 0
Her dönemin sonunda B TL taksit ödeyeceğimizden,
k’ıncı dönem sonunda kalan borç Ak = (1+r)Ak-1 – B olur. Buradan hareketle her bir k için,
olur. Biz An = 0 olan n değerini aradığımız için;
ilişkisine ulaşmış oluruz. İşte bu denklem borç amortismanına hükmeden denklemdir. Bu denklem görüldüğü üzere dört değişkene bağlıdır. Bunlar A, B, r ve n’dir. Bunlardan üçü bilindiği takdirde dördüncüsü denklemden bulunabilir. Eğer bizim için önemli olan aylık taksit miktarı ise, anapara, faiz oranı ve dönem sayısı verildiğinde bu denklemden aylık taksit hesaplanabilir: