MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 4: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel Fonksiyonlar
a pozitif bir gerçel sayı ve a ≠ 1 olmak üzere her x gerçel sayısı için
f(x) = ax
şeklinde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; değer kümesi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alınabilir.
a=1 olması durumunda her x gerçel sayısı için ax = 1x =1
olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.
a<0 olması durumunda herhangi bir gerçel sayı kuvveti alındığında bu anlamlı olmayabilir. Örneğin (−2)1/2 = −2
olduğundan −2 bir gerçel sayı değildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi −2 değildir.
Üstel fonksiyon tanımında x değişkeni üs’tedir. Örneğin f(x) = 2x veya g(x) = 10x gibi.
Üstel fonksiyonlarda her x gerçel sayısı için ax sayısı
daima pozitif bir gerçel sayı olacaktır. Ayrıca x = 0 için a0 = 1’dir. a > 1 ve x’ler pozitif gerçel sayı ise ax > 1’dir. a > 1 ve x < 0 ise 0 < ax < 1’dir.
Üstel fonksiyonların özellikleri şu şekilde sıralanabilir. a ve b pozitif sayılar, x ve y gerçel sayılar olmak üzere, şu özellikler geçerlidir:
!! ! 1. 𝑎 = ! ! 2. 𝑎!!! = 𝑎!𝑎! !!! !! 3. 𝑎 = ! ! 4. 𝑎! ! = 𝑎!" 5. 𝑎𝑏 ! = 𝑎!𝑏!
Bir üstel fonksiyonun grafiğini çizerken x’e bazı değerler vererek bu değerlerin fonksiyon altındaki görüntüleri olan y değerleri bulunur. Sonra bulunan (x,y) ikililerine karşılık gelen noktalar düzlemde belirlenir. Bu noktalar düzgün bir eğriyle birleştirilerek fonksiyon grafiği bulunmuş olur. Nokta sayısı arttırılarak daha gerçekçi bir grafik elde edilebilir. Örneğin y = 2x üstel fonksiyonunun grafiği için
S:90, Şekil 4.1’i inceleyebilirsiniz.
f(x) = ax üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x < x için 1 2 a!! < a!!
olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.
Üstel fonksiyonların grafikleri çizildiğinde, her x gerçel sayısı için ax > 0 olduğundan üstel fonksiyonun grafiğinin,
daima x ekseninin üstünde kaldığı görülür. Ayrıca x = 0 değerine karşılık y = a0 = 1 değeri karşılık geldiğinden
grafik daima (0,1) noktasından geçmelidir (S:91, Şekil 4.2).
Her x gerçel sayısı için ax > 0 olduğundan üstel
fonksiyonun kümesi (0, ∞) açık aralığıdır.
f : ჼ* ℝ→ ℝ fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ ℝ noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
Değer kümesi olarak gerçel sayılar alındığında üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negative sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesi pozitif sayılar olarak alınırsa üstel fonksiyonlar örten olur. Dolayısıyla üstel fonksiyon bundan sonra;
f : ℝ→ (0, ∞)
f(x) = 𝑎!
şeklinde fonksiyonlar olarak düşünülecektir. (0, ∞) aralığı ℝ+ ile de gösterilir. Bu şekilde düşündüldüğünde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur. Bu sayede ax’in ters
fonksiyonu tanımlanabilmektedir.
y = ex fonksiyonu özel bir üstel fonksiyondur.
e = 2,7182818284590… şeklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu üstel fonksiyonun grafiği y = 2x ve y = 3x üstel
fonksiyonları arasındadır (S:93, Şekil 4.4).
Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel fonksiyonların değer kümesi (0 , ∞) açık aralığı alındığında üstel fonksiyonların bire-bir ve örten fonksiyonlar olduğu öğrenilmişti. Bu durumda;
a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f : ჼ*ℝ→ ℝ+, f(x) = ax üstel
fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve loga ile gösterilir. Buna göre;
log : ℝ+→ ℝ a
y= logx ⇔ x = ay a
y = ax üstel fonksiyonunda a tabanı 1’den farklı pozitif bir
gerçel sayıydı. Bunun tersi olan logaritma fonksiyonunda da a tabanı 1’den farklı bir gerçel sayı olmalıdır.
y= 10x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y= log x’dir. 10
y= ex üstel fonksiyonunun tersi de y= log x’dir. e
e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir. 10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir. 10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma olduğundan log10x gösterimi yerine tabana herhangi birşey yazmadan log x gösterimi kullanılır.
x > 0 için logax sayısı, a tabanının x sayısını vermesi için !"#!! gerekli olan üs’tür. Yani x = 𝑎 yazabiliriz.
a > 1 için y = ax üstel fonksiyonunun grafiğinin y = x
doğrusuna göre yansıması y = logax fonksiyonunun grafiğini verecektir. Bir fonksiyonun grafiği biliniyorsa, ters fonksiyonun grafiğini bulabilmek için y= x doğrusuna göre yansımasını almak yeterlidir.
Logaritma fonkisyonların grafiklerinde taban ne olursa olsun logaritma fonksiyonları (1,0) noktasından geçmektedir. Yani bu da loga 1 = 0 olduğu anlamına gelir.
Ayrıca grafiklerde x’e artan değerler verdikçe fonksiyon değerleri de artmaktadır yani logaritma fonksiyonları artan fonksiyonlardır.
Logaritmik fonksiyonların özelliklerine bakıldığında x ve y gerçel sayıları için şu özellikler geçerlidir:
1. 𝑙𝑜𝑔!𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔!𝑥 + 𝑙𝑜𝑔!𝑦 ! 2. 𝑙𝑜𝑔! = 𝑙𝑜𝑔!𝑥 − 𝑙𝑜𝑔!𝑦 ! 3. 𝑙𝑜𝑔 𝑥! = 𝑦𝑙𝑜𝑔 𝑥 ! !
Ne İşe Yarar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bileşik faiz hesaplamakta kullanılmaktadır.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bileşik faiz dışında, nüfus artışının hesabında da kullanılmaktadır. Belli bir zaman başlangıcında nüfus y0, birim zamandaki nüfus artış yüzdesi x olsun. t zaman sonra, başlangıçtaki nüfus ile nüfus artışının toplamı olan toplam nüfus yt olsun. ! ! Nüfus artışını, 𝑦! = 𝑦!. 1 + formülü ile !"" hesaplayabiliriz.
Ülkemizde ve dünyada birçok yerde meydana gelen depremlerin büyüklükleri 10’luk tabanda logaritma kullanılarak bulunan bir değerdir. Dış merkezden 100 km uzaklıkta ve sert zemine yerleştirilmiş özel bir sismografla kaydedilmiş zemin hareketinin, mikron (1 mikron 1/1000mm) cinsinden ölçülen maksimum genliğinin 10 tabanına göre logaritması depremin büyüklüğü olarak tanımlanmıştır. Richter ölçeği logaritmik olduğundan, ölçekteki her tamsayı farklı deprem genliğinde 10 kat artışa denk gelir. Yani, örneğin Richter ölçeğine göre 5 büyüklüğündeki bir depremin genliği, 4 büyüklüğündeki bir depremin genliğinin 10 katı, 3 büyüklüğündeki bir depremin genliğinin ise 100 katıdır.
Üstel ve logaritmik fonksiyonların kullanıldığı bir diğer alan ise kimyadır. Her gün içilen suyun kalite ve sınıflandırma faktörlerinden biri olan pH derişiminin hesaplanmasında logaritma kullanılır. Sulu çözeltilerdeki 𝐻! veya 𝑂𝐻! derişimleri genellikle çok küçük sayılar
olduğundan işlemlerde kolaylık sağlaması için
derişimlerin 10 tabanına göre eksi logaritmalarını alarak derişimler tamsayılarla ifade edilir. pH değeri, sulu çözeltideki 𝐻! iyonu derişiminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani, pH = - log 𝐻! ‘dır. pOH değeri ise, sulu çözeltideki 𝑂𝐻! iyonu derişiminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani pOH = - log 𝑂𝐻! ‘dır.
Yukarıda verilen örneklerin hepsinde üstel artış söz konusuydu. Üstel azalışın en güzel örneği ise radyoaktif bozunmadır. Maddenin başlangıçtaki kütlesi y0 olsun. t zaman sonra kalan kütle y(t) olmak üzere y(t),
y(t) = y . ekt 0
formülüyle bulunur. Buradaki k, üstel azalış katsayısıdır.