MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 3: Fonksiyonlar
Fonksiyonlarla Tanışma Partisi
Tanım: Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada;
• A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, • B kümesine ise değer kümesi denir.
A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu,
! f : A → B veya A B şeklinde gösterilir.
{1, 2, 3} kümesinden {a, b, c, d} kümesine f ve g fonksiyonları Sayfa 57’deki Şekil 3.1 ve Şekil 3.2’de Venn şeması ile gösterilmiştir.
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri için, yukarıda verilen eşlemeler birer fonksiyon olamaz.
Bunun nedeni sol tarafta bulunan eşlemede A kümesinin elemanı olan 2, B kümesinde hem b, hem de c elemanıyla yani birden fazla eleman ile eşlendiği için bir fonksiyon olamaz.
Sağ tarafta bulunan eşlemede ise, A kümesinin elemanı olan 3, B kümesinde hiçbir eleman ile eşleşmemiştir. Bu yüzden bu eşlemeler fonksiyon olamaz.
Bir f : A → B fonksiyonunu ve A kümesinin bir a elemanını düşünelim. f fonksiyonunun tanım kümesindeki a elemanını, değer kümesinde eşlediği elemana a’nın f altındaki görüntüsü denir ve f (a) ile gösterilir.
f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir.
O halde f ’nin görüntü kümesi;
f (A) = { f (a) | a ∈ A}
şeklinde oluşturulan kümedir.
Az önce verilen fonksiyon örneğinde;
f (1) = a ve g(1) = b
f (2) = c , g(2) = b
f (3) = b , g(3) = c’dir.
Sabit Fonksiyon: f : A → B fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit fonksiyon denir. Yani c 𝜖 B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f (a) = c ise f ’ye sabit fonksiyon denir.
Sayfa 60’daki Şekil 3.3’de A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c, d} kümesine bir sabit fonksiyon görülmektedir.
Bire-bir Fonksiyon: f : A → B fonksiyonu verilsin. 𝑥!, 𝑥! ∈ A olmak üzere 𝑥!= 𝑥! iken f (𝑥!) = f (𝑥!) oluyorsa, f fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir. Buna denk olarak f (𝑥!) = f (𝑥!) iken 𝑥!= 𝑥! ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.
Örneğin, Türkiye’deki iller tanım (kalkış) kümesi olup, değer (varış) kümesi de ilgili ilin şehirlerarası telefon kodu olarak eşlendiğinde, bu bire- bir fonksiyon olur.
Eskişehir’i 222 ile, Ankara’yı 312 ile...
Farklı illerin şehirlerarası telefon kodları birbirinden farklı olduğundan, tanım kümesindeki farklı iki elemana, değer kümesinin aynı elemanı karşılık gelmez.
Örten Fonksiyon: f : A → B fonksiyonu verilsin. Her b ∈ B için f (x) = b olacak şekilde bir x ∈ A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir.
Yani f : A → B fonksiyonu için f (A) = B ise f örten fonksiyondur.
Örten fonksiyonlar, Değer kümesi görüntü kümesine eşit olan fonksiyonlardır.
Örmek olarak, Türkiye’deki illerin kümesinden, şehirlerarası telefon kodlarının oluşturduğu kümeye tanımlı fonksiyon örten bir fonksiyondur.
Ayrıca, Türkiye Cumhuriyeti vatandaşlarına, on bir haneli T.C. kimlik numarası verilir ve farklı kişilerin numaraları da farklıdır. Bu durumda, eğer bir kişinin T.C. kimlik numarası biliniyorsa, o kişinin kim olduğu da biliniyor demektir.
Birim Fonksiyon: f : A → A fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f ’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için 𝐼! ile gösterilir.
Sayfa 62’deki Şekil 3.4’de A = {1, 2, 3} kümesinin birim fonksiyonu görülmektedir.
Ters Fonksiyon: f : A → B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda, f fonksiyonunun ters fonksiyonu 𝑓!!
ile gösterilir.
𝑓!! : B → A fonksiyonu b ∈ B için 𝑓!!(b) = a olarak
tanımlanır. Burada a, f (a) = b eşitliğini sağlayan tek bir elemandır.
Sayfa 63’deki Şekil 3.5’de A = {1, 2, 3} kümesinden B = {x, y, z} kümesine 1-1 örten f fonksiyonu görülmektedir.
Sayfa 63’deki Şekil 3.5’da f fonksiyonunun ters f −1
fonksiyonu görülmektedir.
Sadece bire-bir ve örten fonksiyonların ters fonksiyonundan söz edilebilir.
Bileşke Fonksiyon: f : A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Bu durumda g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(a) = g (f (a)) fonksiyonuna, f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.
f : A → B bire-bir ve örten fonksiyonu için;
𝑓!! ∘ 𝑓 = 𝐼 ve !
𝑓 ∘ 𝑓!! = 𝐼 şeklinde olur. !
Bileşke alırken sıraya dikkat etmek gerekir.
Gerçel Sayı Havuzunda Yüzen Fonksiyonlar
Fonksiyonun tanımlı olduğu küme sonsuz elemanlı da olabilir.
Negatif olmayan her sayının karekökünden söz edebildiğimiz için bunu, negatif olmayan gerçel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine giden bir fonksiyon olarak da düşünebiliriz.
Bu fonksiyon;
𝑓: (0, ∞) → 𝑅, 𝑓 𝑥 = 𝑥 şeklinde yazılabilir.
Örneğin, y = f (x) = x2 − 3 ifadesinde y bağımlı değişkeni,
x bağımsız değişkeninin bir fonksiyonudur ve bu fonksiyon her sayıyı kendisinin karesi olan sayının 3 eksiği ile eşler.
Örneğin, 𝑓: 𝑅 → 𝑅, y = f (x) = x2 + x − 2 kuralı ile verilen
fonksiyon için, x = 3’e karşılık gelen y = f (3) değerini nasıl bulabiliriz?
f (x) = x2 + x − 2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3
yazarsak;
f (3) = 32 + 3 − 2 = 9 + 3 − 2 = 10 olarak buluruz.
Konuyla ilgili olarak Sayfa 66’daki “parçalı tanımlı fonksiyon” örneği incelenebilir.
Fonksiyonlarda İşlemler
f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları verilsin. Bu fonksiyonların toplam, fark ve çarpımları, a ∈ A olmak üzere;
f + g : A → R, (f + g)(a) = f (a) + g(a) ,
f – g : A → R, (f − g)(a) = f (a) − g(a),
f · g : A → R, (f · g)(a) = f (a)· g(a)
olarak tanımlanır.
Ayrıca A kümesinin her a elemanı için g(a) ≠0 ise bölüm fonksiyonu da;
𝑓 𝑓 𝑓(𝑎) : 𝐴 → 𝑅, 𝑎 = 𝑔 𝑔 𝑔(𝑎)
olarak tanımlanır.
Tanım Kümesi
Eğer bir fonksiyonu tanımlamaya yarayabilecek bir kural verilmiş, fakat tanım kümesi açıkça verilmemişse, o zaman bu fonksiyonun tanım kümesi olarak, bu kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alınır ve bu küme Df olarak gösterilir.
! Örneğin, 𝑓 𝑥 = ifadesi sıfırdan farklı bütün x’ler için ! anlamlı sayılar verir. O halde fonksiyonun tanım kümesi;
Df = R \ {0}’dır.
Sabit fonksiyon, gerçel sayıların tamamı üzerinde tanımlı bir fonksiyondur.
Örneğin, f : R → R, f (x) = 2 sabit fonksiyonu gerçel sayıların tamamında tanımlıdır.
Yine f : R → R, f(x)= x veya f(x) = x3+1 fonksiyonu da
gerçel sayıların tamamı üzerinde tanımlıdır.
Polinom Fonksiyonlar
n negatif olmayan bir tam sayı, 𝑎! ,𝑎! ,𝑎! ..., 𝑎! gerçel sayılar ve 𝑎! ≠ 0 olmak üzere;
𝑝: 𝑅 → 𝑅, 𝑝 𝑥 = 𝑎 𝑥! + 𝑎 𝑥!!! + ⋯ + 𝑎 𝑥 + 𝑎 ! !!! ! !
biçiminde tanımlanan fonksiyona n. dereceden bir polinom fonksiyon denir.
Örneğin, p(x) = x4 − 2x3 + 5x − 7 polinomu dördüncü
dereceden bir polinom fonksiyondur ve gerçel sayıların tamamında tanımlıdır.
Polinom fonksiyonlarda, x değişkeninin negatif olmayan tam sayı kuvvetleri alınmaktadır. Bu durumda;
1 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑔 𝑥 = 3𝑥
birer polinom fonksiyon değildir. Fakat;
1 𝑓 𝑥 = 3𝑥, 𝑔 𝑥 = 𝑥 3
birer polinom fonksiyondur.
Tanım kümesi bulmayla ilgili olarak Sayfa 68’in sonundaki örnek incelenebilir.
Ters Yöne Yürümek
Bir fonksiyonun bire-bir olmadığını göstermek, birebir olduğunu göstermekten çoğu zaman daha kolaydır. Çünkü, birbirinden farklı tek bir tane sayı çifti için, fonksiyon altında görüntülerinin aynı olduğunu göstermek, bire-bir olmadığını söylemek için yeterlidir.
Örnek: f : R → R, f (x) = x2 fonksiyonu bire-bir midir?
Yanıt: Tanım kümesinde görüntüsü aynı olan iki eleman vardır. 1’in karesi de 1’dir, −1’in karesi de 1’dir.
Yani, −1≠1’dir ama kareleri birbirine eşittir. Dolayısıyla bu fonksiyon bire-bir olamaz.
Örnek: f : [0, ∞) → R, f (x) = x2 fonksiyonu bire-bir
midir?
Yanıt: Bu fonksiyonun tanım kümesi farklı. [0, ∞). Bu fonksiyon bire-birdir, tanım kümesinde, görüntüsü aynı olan iki farklı eleman yoktur.
Bir fonksiyonun örtenliği araştırılırken, görüntü kümesi değer kümesine eşit mi buna bakılır. Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakılır.
Örnek: f : R → R, f (x) = x + 5 fonksiyonu örten midir?
y = x + 5 denkleminden x = y − 5 olur. Yani x = y − 5 için
f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.
Bire-bir ve örten fonksiyonların ters fonksiyonlarından söz edilebilir.
Bu amaçla, fonksiyon bire-bir ve örtense y = f (x) denkleminden x’i y cinsinden çektiğimizde ters fonksiyon bulunabilir.
Örnek: f : R → R, f (x) = x + 5 bire-bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu vardır.
f −1( y) = y − 5¸ şeklindedir. Fakat fonksiyonlarda
değişken olarak daha çok x sembolünü kullandığımız için ters fonksiyondaki y değişkeni yerine x sembolünü kullanalım. Bu durumda;
f −1 : R → R f −1(x) = x − 5 olarak elde ederiz.
Örnek: f: R → R, f (x) = 3x2 + 1 ve g : R → R, g(x) = x − 3
fonksiyonları için sırasıyla (g o f ) ve (f 𝑜 g) fonksiyonlarını bulalım.
Çözüm: (g 𝑜 f )(x) = g( f (x)) olduğundan g fonksiyonunda x gördüğümüz yere f (x) yazarsak;
g o f : R → R,
g( f (x)) = f (x)−3 = 3x2 + 1 − 3 = 3x2 − 2
(f 𝑜g )(x) = f (g (x)) olduğundan f fonksiyonunda x gördüğümüz yere g(x) yazarsak;
f o g : R → R,
f (g(x)) = 3g(x)2 + 1 = 3(x − 3)2 + 1
= 3(x2 − 6x + 9) + 1
= 3x2 − 18x + 28 elde edilir.
Fonksiyonların Resmine Bakmak
f : A ⊆ R → R fonksiyonu verilsin. A kümesinin her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü olan f (x)’in oluşturduğu (x, f (x)) sıralı ikililerinin kümesine f ’nin grafiği denir ve bu küme 𝐺! ile gösterilir ve 𝐺! = (x, f x ) | x ∈ A) şeklinde tanımlanan kümedir.
Bir fonksiyonun grafiğini çizerken kartezyen koordinat sisteminden yararlanılır. Sıralı sayı çiftlerinin kümesine
R’nin kendisiyle kartezyen çarpım kümesi denir ve bu küme; R × R = R2 = { (x, y) | x, y ∈ R } şeklinde ifade
edilebilir.
Kartezyen koordinat sistemi Sayfa 71’deki Şekil 3.7’de verilmiştir.
İki sayı doğrusunun, sıfır noktalarında dik olarak düzleme yerleştirilmesi sonucunda kartezyen koordinat sistemi oluşur. Burada yataydaki sayı eksenine x ekseni ya da apsisler ekseni, düşeydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da ordinatlar ekseni denilmektedir. Ayrıca sayı doğrularının kesiştikleri noktaya başlangıç noktası adı verilmektedir.
Kartezyen koordinat sisteminde (2,3) ve (3,2) ikililerine karşılık gelen noktaların grafiği Sayfa 72’deki Şekil 3.9’da verilmiştir.
(x,y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni; y’ye de ikinci bileşeni denir. Burada (2,3) ile (3,2) noktaların farklı noktalar olduğuna dikkat edilmelidir.
Örnek: Gerçel sayılar kümesinin f : R → R, f (x) = 1 sabit fonksiyonunun grafiği Sayfa 73’deki Şekil 3.10’da verilmiştir.
Örnek: f(x) = x’in grafiği, sırası ile x yerine sayılar verilerek bulunan f(x) değerleri koordinat sisteminde yerine konularak, Sayfa 74’deki Şekil 3.11’de görülen grafiği çizilebilir.
Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru geçmesine karşın, farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
İki Noktası Verilen Doğrunun Denklemi
𝑥! ≠ 𝑥! ve 𝑦! ≠ 𝑦! olmak üzere ( 𝑥! , 𝑦! ) ile ( 𝑥! , 𝑦! ) noktalarından geçen doğruyu düşünelim ve (x, y) bu doğru üzerinde bu iki noktadan farklı bir nokta olsun. Thales Teoremi yardımı ile bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi;
𝑦 − 𝑦! 𝑦! − 𝑦! = 𝑥 − 𝑥! 𝑥! − 𝑥!
eşitliğinde gerekli işlemler yapılarak;
𝑦! − 𝑦! 𝑦 = 𝑥 − 𝑥! + 𝑦! 𝑥! − 𝑥!
!!!!! olarak elde edilir. Burada oranına, bu noktalardan !!!!! geçen doğrunun eğimi denir ve m harfi ile gösterilir.
Bu durumda (𝑥!, 𝑥!) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir:
𝑦 = 𝑚 𝑥 − 𝑥! + 𝑦!
Ayrıca, a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x eksenini x = a noktasında, y eksenini y = b noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir:
𝑥 𝑦 + = 1 𝑎 𝑏
y = 3x+1 doğrusunun eğimi de x’in katsayısı 3 olduğundan 3’dür.
Düzlemde eğimleri eşit olan doğrular paraleldir.
Örnek: y = 3x − 4 doğrusu ile y = −5x + 4 doğruları göz önüne alındığında bu doğruların eğimler, eşit olmadığından paralel değillerdir.
Doğruların kesiştiği noktaların koordinatları bulunurken, iki doğru denklemi birbirine eşitlenir. Önce x değeri, sonra da bu değer denklemlerden her hangi birisinde yerine konularak y değeri bulunur.
f(x)=x2 ikinci derece denkleminin ve parçalı
fonksiyonların grafik çizimleri için 78, 79 ve 80. Sayfaları incelenebilir.