MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 2: Denklem ve Eşitsizlikler
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Cebirsel ifade; bilinmeyen denilen x, y, z, … gibi değişkenleri, 1, 2, 3, . . .gibi sayıları ve +, −, ×, . . . , kök alma gibi işlemleri içeren ifadelerdir.
Örneğin,
• 2x −1, • x +3, • x2 + y2,
• 𝑥 + 5 gibi…
Denklem; bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin bazı değerleri için gerçeklenen eşitliklere denir.
2x −1 = x +3
Denklemin çözümü; bir denklemde eşitliği sağlayan bir sayıya, denklemin bir çözümü denir.
• 2×4−1 = 7 • 4+3 = 7
x = 4 değeri, 2x −1 = x +3 denkleminin çözümüdür.
Çözüm kümesi; denklemin çözümlerinin kümesine de çözüm kümesi denir. Denklem bilinmeyenin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa, çözüm yok ve çözüm kümesi boş kümedir denir.
Çözüm için, denklemlerin hepsi aynı türden olmadığından, denklemleri bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenlerin en yüksek kuvvetine göre sınıflandırıp, çözüm aranır.
Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti bir olan denkleme, birinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca birinci dereceden) denklem denir.
Bu denklemlere örnek olarak;
• 3x +1 = 0, • 2x −1 = x +5, . . .
gibi denklemler verilebilir.
Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti iki olan bir denkleme, ikinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca ikinci dereceden) denklem denir. Bu denklemlere de örnek olarak;
• x2 +6x +9 = 0, • x2 −3x +7 = 0, . . .
gibi denklemler verilebilir.
Genel olarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, a, b iki gerçel sayı ve a ≠ 0 olmak üzere;
ax + b = 0
şeklindedir. Bu tür denklemlerin çözümü eşitliği bozmayan işlemlerle kolayca çözülür.
ax + b = 0
ax + b − b = −b
ax = −b
𝑎𝑥 𝑏 = − 𝑎 𝑎
𝑏 𝑥 = − 𝑎 ! Buradan denklemin çözüm kümesi Ç = {− } olarak ! bulunur.
Örnek: Bir öğrenci, babasının verdiği paranın beşte ikisi ile kot, dörtte biri ile kazak aldıktan sonra 35 TL’si kaldığına göre babasının verdiği para kaç TL’dir?
Çözüm: Babasının verdiği paraya x dersek, denklemimiz
2𝑥 𝑥 𝑥 = + + 35 5 4
8𝑥 + 5𝑥 𝑥 = + 35 20
13𝑥 𝑥 = + 35 20
olduğundan;
𝟏𝟑𝒙 𝒙 − = 𝟑𝟓 𝟐𝟎
𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟑𝒙 = 𝟐𝟎
7𝑥 = 35 20
7𝑥 = 35 . 20
35 𝑥 20 𝑥 = 7
𝑥 = 5 . 20
𝑥 = 100 𝑇𝐿
babasının verdiği para olarak bulunur.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
𝑎, 𝑏 𝑣𝑒 𝑐 gerçel sayılar, 𝑎 ≠ 0 olmak üzere;
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 denkleminde 𝑎 ≠ 0 olduğundan;
! ! ! 𝑎 𝑥 + 𝑥 + = 0 yazılabilir. ! !
𝑎 ≠ 0 olduğundan
! ! ! 𝑥 + 𝑥 + = 0’dır. ! !
Tam kareye tamamlarsak;
• (x + y)2 = x2 +2x y + y2 • (x − y)2 = x2 −2x y + y2
eşitlikleri herhangi iki x ve y gerçel sayıları için doğrudur. Böyle eşitliklere özdeşlik denir.
𝑏 ! 𝑏! − 4𝑎𝑐 𝑥 + − ! = 0 𝑎 4𝑎
olur. Daima;
𝑏 ! 𝑥 + ≥ 0!𝑑ı𝑟. 𝑎
Buna karşılık;
𝑏! − 4𝑎𝑐 ! 𝑛𝑖𝑛 𝑖ş𝑎𝑟𝑒𝑡𝑖 4𝑎 4𝑎! > 0 olduğundan 𝑏! − 4𝑎𝑐 nin işaretine bağlıdır.
𝑏! − 4𝑎𝑐 sayısına denklemin diskriminantı denir ve ∆
(Delta) ile gösterilir.
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 denkleminde, ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ;
• ∆> 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır !!± ∆ ve kökler 𝑥!,! = dır. !! • ∆= 0 ise denklemin tek kökü ( iki kat kökü) ! vardır ve bu kök 𝑥! = 𝑥! = − dır. !! • ∆< 0 ise denklemi gerçel kökü yoktur.
Örnek: 2𝑥! − 3𝑥 + 1 = 0 denklemin köklerini bulunuz.
∆ = 𝑏! − 4𝑎𝑐
= 3! − 4.2.1
= 9 − 8
= 1
∆> 0 olduğundan iki kökü vardır. Bunlar;
−𝑏 + ∆ − −3 + 1 3 + 1 𝑥! = = = = 1 2𝑎 2 . 2 4
−𝑏 − ∆ − −3 − 1 3 − 1 1 𝑥! = = = = 2𝑎 2 .2 4 2
! olup çözüm kümesi Ç = 1, dir. !
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
𝒂, 𝒃 gerçel sayılar, 𝒂 ≠ 𝟎 ve 𝒙 herhangi bir gerçel sayı olmak üzere;
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0,
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0,
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0,
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
Şeklinde yazılabilen eşitsizliğe birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Böyle bir eşitsizliği sağlayan 𝑥 değerlerin kümesine bu eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
Denklemlerin çözümünde olduğu gibi, eşitsizliklerin çözümünde de eşitsizliklerle ilgili bazı özellikler kullanılır. Bunlar şöyle sıralanabilir:
• Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya iki tarafından aynı sayının çıkarılması durumunda eşitsizlik bozulmaz. • Bir eşitsizliğin iki tarafının pozitif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda eşitsizlik bozulmaz. • Bir eşitsizliğin iki tarafının negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda eşitsizlik yön değiştirir.
ax + b > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini araştıralım.
Eşitsizliğin her iki tarafına −b eklersek;
ax + b − b > 0 − b
ax > − b buluruz.
! • a > 0 ise 𝑥 > − ! Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi; ! ! (− , ∞ ) = { 𝑥 l x ∈ R, x > − } aralığıdır ! ! (S:46, Şekil 2.9). ! • a <0 ise 𝑥 < − ! Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi; ! ! (−∞, − ) = { 𝑥 l x ∈ R, x < − } aralığıdır ! ! (S:46, Şekil 2.10).
Örnek:
6𝑥 − 18 ≤ 0
6𝑥 − 18 + 18 ≤ 0 + 18
6𝑥 ≤ 18
6𝑥 18 ≤ 6 6
𝑥 ≤ 3
eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞, 3] aralığıdır.
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
𝑎, 𝑏, 𝑐 gerçel sayılar,𝑎 ≠ 0 ve x herhangi bir gerçel sayı olmak üzere,
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0,
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0,
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Şeklinde yazılabilen eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Böyle eşitsizliği sağlayan 𝑥 değerlerin kümesine bu eşitsizliğin çözüm kümesi denir.
Örnek:
x2 − x −2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Önce x2 − x −2 ifadesini sıfır yapan değerleri bulalım.
Yani, x2 − x −2 = 0 denklemini çözelim.
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒙 = 𝟐𝒂
𝟏 + 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟏 = = 𝟐 𝟐
𝟏 − 𝟏 + 𝟖 𝒙𝟐 = = −𝟏 𝟐
Ç = {−1,2}
Bu sayılar sayı doğrusunu üç aralığa ayırır. Bunlar;
• (−∞ ,−1) , • (−1,2) ve • (2, ∞) aralıklarıdır. Bu aralıkların her birinde, x2 − x − 2 ifadesi ya hep pozitif
ya da hep negatif değer alır.
x2 − x − 2 ifadesi, bu aralıkların birisinde farklı işaretli
değerler almış olsaydı bu aralıkta en az bir noktada sıfır değerini alması gerekirdi. Ancak −1 ve 2’nin dışında başka bir noktada sıfır değerini alamayacağını biliyoruz. Bu nedenle −1 ve 2 noktalarında x2 − x − 2 ifadesi, ya
pozitif değerden negatif değere ya da negatif değerden pozitif değere geçer.
x2 − x − 2’nin işaretini belirlemek istediğimiz aralıktan bir sayı seçeriz. Bu sayıyı, x2 − x − 2 ifadesinde yerine
yazarız.
Bulduğumuz değerin işareti x2 − x − 2’nin bu aralıktaki işaretidir. Çünkü bu aralıkta, x2 − x − 2 ifadesinin işaret
değiştirmediğini biliyoruz.
Örneğin;
• Mavi aralıktan −2’yi seçersek;
x2 − x − 2 = (−2)2 − (−2) − 2 = 4 + 2 − 2 = 4,
• Siyah aralıktan 1’i seçersek;
x2 − x − 2 = (1)2 − (1) − 2 = 1 − 1 − 2 = −2,
• Turuncu aralıktan 3’ü seçersek;
x2 − x − 2 = (3)2 − (3) − 2 = 9 − 3 − 2 = 4 bulunur.
Mavi ve Turuncu aralıklarda x2 − x − 2 ifadesi pozitif
değer alır.
x2 − x − 2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi;
Ç = (− ∞, −1) ∪ (2, ∞).
Eşitsizliğin yönü değiştirilirse;
x2 − x − 2 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [−1,2] olur.
Konuyla ilgili olarak Sayfa 52’deki Sorular ile Sayfa 53 ve 54’deki Çözümleri incelenebilir.