MAT103U-GENEL MATEMATİK
Ünite 1: Kümeler ve Sayılar
Giriş
İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. “İyi tanımlı” ile anlatmak istenen bir nesnenin bu kümeye ait olup olmadığını kesin olarak ayırt etmemiz için yeterli bilginin verilmiş olmasıdır. Küme belirlenirken, bir nesnenin o kümeye ait olup olmadığı, herkes tarafından net olarak anlaşılacak biçimde ifade edilmelidir.
Kümeler isimlendirilirken genellikle A, B, C… gibi büyük harfler kullanılır. Kümelerin elemanları ise a,b,c… gibi küçük harflerle gösterilir. Kümede bulunan her bir farklı nesne kümenin elemanıdır.
Eğer a nesnesi, A kümesine aitse;
𝑎 ∈ 𝐴
ve b nesnesi, A kümesinin elemanı değilse
𝑏 ∉ 𝐴
olarak gösterilir.
Kümeleri ifade etmek için bir takım gösterimler kullanılır:
• Liste Yöntemi
Kümenin elamanlarını { }
biçiminde iki parantez arasına, aralarına virgül koyarak tek tek ifade etmektir.
Örneğin bir, iki, üç ve dört sayılarından oluşan bir küme {1, 2, 3, 4 } biçiminde gösterilir.
İlk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan oluştuğu anlaşılıyorsa, geri kalan elemanları tek tek yazmak yerine “. . .” (üç nokta) ile ifade edilir. Kümenin elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç elemanı da yazılır.
{1,2, . . . ,99}
• Ortak Özellik Yöntemi veya Kapalı Gösterim
Kümeyi oluşturan elemanları tek tek saymak yerine sağladıkları özellikler bu kümeye dahil edildiğinde, bu gösterime “ortak özellik gösterimi” veya “kapalı gösterim” denir.
Örneğin,
{x| x sayısı 100'den küçük doğal sayı}
biçiminde gösterilir.
• Venn Şeması Yöntemi
Kümeleri göstermek için, küme elemanlarını düzlemde daire, elips, dikdörtgen vs. biçiminde bölgeler içine yazmaktır. Bu yönteme kümelerin “Venn şeması ile gösterimi” denir. Venn seması kullanılarak kümeler arasındaki ilişkiyi görmek kolaylaşmaktadır.
Örneğin A = {1, 2, 3, 4} kümesini Venn şeması ile gösterimi Sayfa 5’deki Şekil 1.1’de verilmiştir.
Küme İşlemleri
A ve B iki küme olsun. Her 𝑥 ∈ 𝐴 için 𝑥 ∈ 𝐵 ise A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve
𝐴⊂B ile gösterilir.
Her küme kendisinin altkümesidir. Yani, A herhangi bir küme olmak üzere
𝐴⊂A olur.
Eğer 𝐴⊂B ve 𝐵⊂A ise A ve B kümeleri eşittir denir ve
A=B olarak gösterilir.
Örneğin “LEBLEBİ” kelimesinin harflerinin kümesi
{B, E, İ, L} olur.
Bu küme aynı zamanda “BELLİ” kelimesinin harfleri kümesine de eşittir.
A ve B kümelerinin eşit olmaması durumu da A ≠ B olarak gösterilir. Ayrıca A ⊂ B ve A ≠ B ise A kümesi B kümesinin öz altkümesidir denir.
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme
∅ simgesiyle gösterilir.
Boş küme her kümenin altkümesidir.
Örneğin, A={1, 2} kümesinin tüm altkümeleri
∅, 1 , 2 , {1,2} olur.
Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri kapsayan kümeye “evrensel küme” denir. Evrensel küme genel olarak 𝐸 ile gösterilir.
A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve
𝐴 ∪B ile gösterilir.
Bir başka deyişle 𝐴 ∪B={x| x∈ 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑥 ∈ 𝐵} olur.
Örneğin A={2, 4, 6} ve B={6, 7, 9} için
𝐴 ∪B={2, 4, 6, 7, 9} olur.
Keyfi A,B,C kümeleri için birleşim ile ilgili şu özellikler geçerlidir.
• 𝐴 ∪B= 𝐵 ∪A (Değişme özelliği) • 𝐴 ∪ (B ∪C)=(𝐴 ∪B)∪C (Birleşme özelliği) • 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝑣𝑒 𝐴 ∪ 𝐸 = 𝐸 • 𝐴⊂ 𝐴 ∪B ve B⊂ 𝐴 ∪B
İkiden çok küme verildiğinde birleşim kümesi, yine bu kümelerden en az birine ait olan elemanların kümesidir.
Hem A hem de B’ye ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B’nin kesişimi denir ve
𝐴 ∩ B ile gösterilir.
Bir başka deyişle 𝐴 ∩B={x| x∈ 𝐴 𝑣𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} olur.
Birleşime benzer olarak keyfi A, B, C kümeleri için kesişim ile ilgili şu özellikler doğrudur.
• 𝐴 ∩B= 𝐵 ∩A (Değişme özelliği) • 𝐴 ∩(B ∩C)=( 𝐴 ∩B) ∩C (Birleşme özelliği) • 𝐴 ∩ ∅ = ∅ 𝑣𝑒 𝐴 ∩E=A • 𝐴 ∩B⊂A ve 𝐴 ∩B⊂B
İkiden çok kümenin kesişimi ve birleşimi düşünürken, verilen kümelerin kesişim ve birleşimlerinin hangi sırada düşünüldüğünün bir önemi yoktur.
A’ya ait olan ancak B’ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve bu küme 𝑨\B ile gösterilir.
𝐴\B={x | x∈ 𝐴 𝑣𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Benzer olarak;
𝐵\𝐴={x | x∈ 𝐵 𝑣𝑒 𝑥 ∉ 𝐴} olur.
Örnek: A= {1, 3, 5} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için
• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5} • A ∩ B = {1,3} • A \B = {5} ve B \A= {2, 4} olur.
Venn şeması ile gösterimi Sayfa 11’deki Şekil 1.7’de verilmiştir.
E evrensel kümesi ve bunun bir A altkümesi verilsin. E kümesine ait olup A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A kümesinin E kümesine göre tümleyeni denir ve bu küme 𝑨𝒕 ile gösterilir.
E evrensel küme olmak üzere A ve B kümeleri için;
∅! = 𝐸 ve 𝐸! = ∅
(𝐴𝑈𝐵)!=𝐴! ∩ 𝐵!
(𝐴 ∩ 𝐵)!=𝐴!𝑈𝐵! olur.
Örnek: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve A = {2, 4, 6} kümeleri için
At = {1, 3, 5, 7} olur.
Venn şeması ile gösterimi Sayfa 11’deki Şekil 1.9’da verilmiştir.
Sayılar
Sayılar kümeler halinde sınıflandırılabilir:
• Doğal Sayılar
N = {1, 2, 3, … }
şeklinde tanımlanan sayı kümesidir.
• Tam Sayılar
Doğal sayılar kümesine bu sayıların negatiflerini ve bir de 0 sayısını katarak elde edilen kümedir.
𝑍 = … , −2, −1 ∪ {0} ∪ {1,2,3, … }
biçimindedir.
• Rasyonel Sayılar
𝑎 𝑄 = { |𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0} 𝑏
biçiminde tanımlanır.
Doğal sayılar kümesi tamsayılar kümesinin, tamsayılar kümesi de rasyonel sayılar kümesinin altkümesidir.
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄
• İrrasyonel Sayılar
Sayı doğrusu üzerinde herhangi bir rasyonel sayıya karşılık gelmeyen noktalara irrasyonel sayı denir.
Örneğin, 2 = 1,41421356 . . .
sayısında ondalık kısım, hesabımızı ne kadar hassaslaştırırsak hassaslaştıralım, tekrar eden basamak gruplarına ulaşmaz. İşte, irrasyonel sayılar, ondalık açılımı belli bir basamaktan sonra tekrar eden basamak grupları bulundurmayan sayılardır diyebiliriz.
• Gerçel Sayılar
Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların kümesinin birleşiminin oluşturduğu küme gerçel sayılar kümesidir.
Rasyonel sayılar gerçel sayıların altkümesi olduğundan
𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅 yazılır.
Herhangi iki gerçel sayıyı toplayabilir ya da çarpabiliriz. Sonuç yine bir gerçel sayı olur.
a ve b iki gerçel sayı olsun.
• 𝑎 = 𝑏 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑎 < 𝑏 ise
𝑎 ≤ 𝑏
olarak gösterilir ve a, b’den küçük eşittir denir.
• 𝑎 = 𝑏 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑎 > 𝑏 ise
a ≥b
olarak gösterilir ve a, b’den büyük eşittir denir.
Bir 𝑎 sayısının mutlak değeri, sayı doğrusunda o sayının başlangıç noktasına, yani sıfıra olan uzaklığıdır ve |𝑎| ile gösterilir.
Örneğin, −3 sayısının mutlak değeri 3 ve 5 sayısının mutlak değeri de 5 olur. Bunu;
| − 3| = 3, |5| = 5
olarak ifade ederiz.
Üslü Sayılar Bir a gerçel sayısının kendisiyle çarpımı 𝑎! ile
𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 sayısını 𝑎! ile gösterilir ve bu sayılara sırasıyla a
sayısının karesi ve küpü denir.
Genel olarak 𝑛 ≥ 2 doğal sayısı için n tane a sayısının çarpımı 𝑎! ile gösterilir. 𝑎! = 1 𝑣𝑒 𝑎! = 𝑎 olarak
tanımlanır.
𝑎 ≠ 0 𝑣𝑒 𝑛 ∈ 𝑁 olmak üzere
!! ! 𝑎 = ! ve özel olarak ! !! ! 𝑎 = olarak tanımlanır. !
Üssün negatif olması, sayının negatif olmasını sağlamaz. Örneğin, 2−3 = 1/23 = 1/8 olur.
Tabii sayının kendisi negatif ise o ayrı...
Örneğin, (−2)−3 = 1/(−2)3 = −1/8 olur.
Genel durumda a ve b gerçel sayıları ve m, n tamsayıları için şu özellikler doğrudur.
• 𝑎! ⋅ 𝑎! = 𝑎!!! !! !!! • 𝑎 ≠ 0 olmak üzere ! = 𝑎 ! • (𝑎 ⋅ 𝑏)! = 𝑎! ⋅ 𝑏! • (𝑎!)!=𝑎!⋅! ! ! !! • 𝑏 ≠0 olmak üzere ( ) = ! ! !
Köklü Sayılar
𝑎 ≥ 0 ve 𝑛 bir doğal sayı olmak üzere n. kuvveti a olacak biçimdeki negatif olmayan sayıya “a sayısının n. ! dereceden kökü” denir ve 𝑎ile gösterilir. Özel olarak ! n=2 ise 𝑎yerine 𝑎 yazılır ve buna “karekök” denir.
! • n tane 𝑎sayısının çarpımı a olur. • m ve n birer doğal sayı ve a>0 olmak üzere
! ! 𝑎! = 𝑎!
!! ! 𝑎 ! = ! ! !
olarak tanımlanır.
Özellikle a, b > 0 ve n ∈ 𝑁 olmak üzere aşağıdaki özellikler köklü sayılar için sıkça kullanılan kurallardır.
! ! ! i. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎⋅ 𝑏 ! ! !! ii. = ! ! !
Aralıklar
Aralıklar, gerçel sayılarda seçilen iki sayı arasındaki tüm sayıların oluşturduğu kümelerdir.
• a, b herhangi iki gerçel sayı ve 𝑎 < 𝑏 olsun.
𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥 ∈ 𝑅}
kümesine “kapalı aralık “ denir ve bu küme [a, b] ile gösterilir. [a, b] kapalı aralığı sayı ekseni üzerinde uçları a ve b olan doğru parçası ile gösterilir.
• (a, b)= 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑥 ∈ 𝑅}
kümesine “açık aralık” denir.
Aralığın bir ucu kümeye ait, diğerinin ait olmadığı iki aralık şu şekilde tanımlanabilir.
• [a, b)= 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏, 𝑥 ∈ 𝑅} ve • (a, b]= 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥 ∈ 𝑅}
kümeleri de “yarı açık aralık” olarak adlandırılır.
Örneğin, Sayfa 24’deki Şekil 1.16’da verilen aralıklar şöyle ifade edilir:
• [1,5] ∪[3,7] = [1,7] ve • [1,5] ∩[3,7] = [3,5] olur.