Olasılığa Giriş İki olay aynı anda meydana gelmiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir. İstatistik biliminin temelini oluşturan olasılık, belirsizlik durumunda karar almayı sağlar. Rassallığı içeren olasılık, Koşullu Olasılık herhangi bir olayın meydana gelme şansıyla ilgilenir. İki bağımlı olaydan birincisinin gerçekleştiği bilindiğinde Genel olarak olasılık, meydana gelmesi arzu edilen olay ikincisinin ona bağlı olarak gerçekleşme olasılığına sayısının, olayın nihai tüm sonuçlarının sayısına olan oranı koşullu olasılık denir. Bir olayın gerçekleşme şansı başka olarak tanımlanır. bir olayın gerçekleşmesine bağlı olduğunda koşullu Belirsizliğin bir ölçüsü olarak tanımlanan olasılık, aslında olasılık kullanılmaktadır. A ve B olayları herhangi iki olay bize tesadüfi deneyin çok defa tekrarlanması durumunda olsun. A olayının gerçekleştiği bilindiğinde, B olayının bu sonuçlarla hangi şansla karşılaşabileceğimizi ortaya çıkma olasılığı koşullu olasılık olarak tanımlanır ve tümdengelim yöntemiyle anlatır. Olasılık kavramını 𝑃 𝐵 𝐴 ile gösterilir. Koşullu olasılık A ve B olayları için açıklayabilmek için üç temel kavramın tanımlanmasına aşağıdaki gibidir (Örnek 5.8’i inceleyin). ihtiyaç vardır. Bunlar tesadüfi deney, örneklem uzayı ve 𝑃 𝐴 𝐵 : B olayı biliniyorken A olayının ortaya çıkma olaydır. olasılığı, Deney, Örneklem Uzayı ve Olay 𝑃 𝐵 𝐴 : A olayı biliniyorken B olayının ortaya çıkma Deney, varsayımsal olarak belirli koşullar altında sonsuz olasılığı, defa tekrarlanabilen ve her denemede hangi sonucun P(A∩B): A ve B olayının aynı anda ortaya çıkma gerçekleşeceği konusunda belirsizliğin bulunduğu en az olasılığıyken, iki sonuçtan oluşan bir süreçtir. Tesadüfi deneye örnek olarak, bir zarın veya bir paranın atılmasını örnek 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 verebiliriz. Bir tesadüfi deneyin tüm olası sonuçlarını 𝑃 𝐴 𝐵 = , 𝑃(𝐵) ≠ 0. 𝑃(𝐵) içeren kümeye örneklem uzayı denir ve S harfi ile gösterilir. Deney sonuçlarından her birine ise olay denir. Ayrık ve Bağımsız Olaylar Olay örneklem uzayındaki temel sonuçların bir alt İki ya da daha fazla olay bir arada meydana gelemiyorsa kümesidir. bu olaylara ayrık olaylar denir. Bu bir olayın otomatik
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının oluşturduğu S olarak diğer olayın meydana gelmesini engellemek kümesinin, örneklem uzayı olarak tanımlandığını anlamına gelir. Ayrık olaylar için A veya B’nin olasılığı belirtmiştik. S’nin her bir elemanına örnek nokta veya 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵), ayrık olmayan olaylar için ise örnek denir. S’nin herhangi bir alt kümesine veya örnek A veya B’nin olasılığı 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − sonuçlardan bazılarının kümesi olaydır. Olay A ile 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)ile hesaplanır.
gösterilirse 𝐴 ⊂ 𝑆 ′dir. ∅ olayına olanaksız olay, S olayı da kesin olay denir. Bir kesin olayın meydana gelme Tesadüfi Değişkenler olasılığının sayısal değeri 1’ dir. Tesadüfi değişken, S örnek uzayındaki her bir tesadüfi Permütasyon ve Kombinasyon olaya sayısal değerler atayan bir fonksiyondur. Bu fonksiyon aracılığıyla örnek uzayındaki her bir sonuç reel Tesadüfi bir deneyin sonuçlarına ilişkin olasılık hesabı eksende bir değere taşınır. Kısaca tesadüfi değişken, S yapılırken elverişli sonuçların sayısı ve olası tüm örneklem uzayının her bir olayını yalnız bir gerçek değere sonuçların sayısının bilinmesi için permütasyon ve dönüştürür. Bir tesadüfi değişken yalnızca sayılabilir kombinasyondan yararlanılır. Permütasyon n sayıda sayıda değerler alabiliyorsa kesiklidir. Öte yandan bir elemandan oluşan bir kümenin herhangi bir alt kümesinde tesadüfi değişken tanımlı bir aralıktaki tüm değerleri yapılan farklı sıralamadır. Permütasyon ile n elemanın r li alabiliyorsa süreklidir. olarak 𝑛 ≥ 𝑟koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabileceği !! elde edilebilir ve 𝐴!𝑃! = ile gösterilir. Kesikli Olasılık Fonksiyonu (!!!)!
Kombinasyon ise n tane elaman arasından r tanesinin 𝑋 , olasılık fonksiyonu 𝑃(𝑥) olan kesikli bir tesadüfi farklı şekilde seçilebileceğini vermektedir. n’ in r’li değişken olsun. Bu durumda kesikli olasılık fonksiyonu !! kombinasyonu 𝑛 ≥ 𝑟 koşuluyla formülü ile aşağıdaki özelliklere sahip olur (Örnek 5.11’i inceleyin): !!(!!!)! hesaplanır. • Her 𝑥 değeri için 𝑃 𝑥 ≥ 0, Olasılık Hesaplama • Tekil olasılıkların toplamı 1’dir;
Bir olayın gerçekleşmesi için yapılan tesadüfi bir deneyde yani !𝑃 𝑥 = 1
birbirinden farklı ve aynı anda olmayan N tane sonuç içinde bir olayın meydana gelme olasılığı P ile gösterilir ve bu bir olayın meydana gelme şansı olarak tanımlanır.
Sürekli Olasılık Fonksiyonu X, 0,1,2,... olanaklı değerleri alabilen Poisson tesadüfi değişkeni olsun, X’ in olasılık fonksiyonu şu eşitlikteki 𝑋 , olasılık fonksiyonu 𝑓(𝑥) olan sürekli bir tesadüfi gibidir:
değişken olsun. Bu durumda sürekli olasılık fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahip olur 𝑒!!𝜆! 𝑃 𝑥 = , 𝑥 = 0,1,2, … ; 𝜆 > 0 𝑥! • Her 𝑥 değeri için 𝑓 𝑥 ≥ 0, 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎. • ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1’dir.
Sürekli bir tesadüfi değişkenin olasılık yoğunluk 𝜆 , Poisson dağılımının tek parametresidir ve Poisson ! dağılımına sahip X değişkeninin ortalamasıdır. X kesikli fonksiyonu, !! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 şeklinde ifade edilir. Bu fonksiyon aracılığıyla X değişkeninin a ile b arasında bir tesadüfi değişkeni Poisson dağılımına sahip ise ortalaması ! ! 𝜆 , varyansı 𝜆 ve değişim katsayısı ’dır (Örnek 5.15’i değeri alma olasılığı ise, 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥ile ! bulunur. inceleyin).
Binom Dağılımı Normal Dağılım
Yapılan deneylerin sonuçları, olumlu-olumsuz, başarılı- İstatistikte en çok kullanılan ve çok geniş bir uygulama başarısız, iyi-kötü, ölü-sağ, pozitif-negatif gibi ortaya alanına sahip olan normal dağılım ya da Laplace- Gauss çıkıyorsa, bu tür deneyler sonucunda elde edilen dağılımı ilk olarak 1733 yılında De Moivre tarafından dağılımlar Binom dağılımıdır. Tesadüfi bir deneyin ortaya atılmış, sonra 1809 da Gauss tarafından başarılı ve başarısız olarak iki ayrık ve bütüne geliştirmiştir. Uygulamada ele alınan birçok değişken tamamlayıcı bir şekilde sonuçlanabileceği ve tek bir normale benzer bir dağılım gösterir. Örneğin, ölçme deneydeki başarı olasılığının p olduğunu düşünelim. Eğer hataları, bebeklerin canlı doğum ağrılıkları, diastolik kan birbirinden bağımsız n tane deney yapılırsa, ortaya çıkan basıncı, hemoglobin düzeyi, kadınların yaşam süresi vb. başarı sayısı X’ in dağılımına Binom dağılımı denir. gibi. Aslında, bu tür tesadüfî değişkenlerin dağılımları tam Binom dağılımı kesikli olasılık dağılımıdır. Binom olarak bir normal dağılıma uymasa da yaklaştıkları dağılımı, tüm denemelerin aynı koşullarda tekrarlandığı ve görülür. Fakat uygulamada, çok sayıda birbirinden her tekrarda birbirinden bağımsız iki olaydan birinin bağımsız olarak ortaya çıkan tesadüfî değişkenlerin bir meydana geldiği deneylerde ortaya çıkmaktadır. normal dağılım gösterdikleri kabul edilir. Aritmetik ortalaması ve standart sapması farklı değerler olan çok X, bir tek denemede başarma olasılığı p, başaramamanın sayıda normal dağılım düşünülebilir; herhangi bir normal olasılığı q olan n bağımsız deneme için Binom tesadüfi dağılımın özel denklemini yazabilmek için dağılımın değişkeni ise, X’in olasılık fonksiyonu şu eşitlikteki parametreleri 𝜇 ve 𝜎 olan değerlerini bilmek yeterlidir.
gibidir: X sürekli tesadüfî değişkeni, gerçel sayılar uzayında 𝑛 ! !!! tanımlanmak üzere X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu şu 𝑝 𝑞 , 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 eşitlikteki gibidir: 𝑃 𝑥 = 𝑥 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎. 1 !!!!! 𝑒! ! , 𝜎! > 0, −∞ < 𝜇 < ∞, −∞ < 𝑥 < ∞ X kesikli tesadüfi değişkeni Binom dağılımına sahip ise 𝑓 𝑥 = 𝜎 2𝜋 ortalaması 𝜇 = 𝑛𝑝, varyansı 𝜎! = 𝑛𝑝𝑞, standart sapması 0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎.
!!! 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 ve değişim katsayısı ’dir (Örnek 5.13’ü Burada; 𝜇 normal dağılımın ortalaması, 𝜎 normal !" inceleyin). dağılımın standart sapmasıdır (Şekil 5.1, Şekil 5.2, Şekil 5.3).
Poisson Dağılımı Standart Normal Dağılım
Binom dağılımında p olasılığının oldukça küçük olması (genellikle p<0,05) durumunda Binom dağılımı uygun bir Farklı ortalama ve standart sapmalara sahip normal kuramsal olasılık modeli olmamaktadır. Tesadüfi değişken dağılımlar için X tesadüfi değişkenin verilen iki değer belli bir zaman aralığında veya belli bir mekanda çok az arasında olması olasılığını hesaplamak için integral yinelenen olayları göstermesi durumunda ortaya çıkan almaya gerek vardır. Her olasılık değerini hesaplamak için olasılık dağılımı Poisson dağılımı olarak adlandırılır. integral almak zor olduğundan, normal dağılım özelliğine sahip bütün tesadüfi değişkenlerin yerine standart normal değişkenler geçirilerek bir tablo hazırlanmıştır. Bahsedilen standart dağılım tablosu kitabın sonunda verilmiştir.
Normal dağılım ortalama ve varyans olmak üzere iki parametresi bulunmaktadır. Farklı ortalama ve varyanslara göre çok sayıda normal dağılım eğrisi çizilebilir. Değişen ortalama ve varyanslara göre yeni olasılıkların hesabını yapmak oldukça zordur. Bundan dolayı ortalaması ve varyansı değişmeyen standart normal dağılım için olasılıklar önceden hesaplanıp, ortalama ve varyans değerlerine göre farklılaşan normal dağılımların olasılıkları bu standart dağılım aracılığıyla hesaplanabilir. Bunun için z harfi ile belirtilen standart bir değişken !!! tanımlanır: 𝑧 = . !
Bu z değişkeninin dağılımı, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan normal dağılımdır ve standart normal dağılım olarak tanımlanır. Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunda 𝜇 = 0 ve 𝜎 = 1 yazılırsa standart normal dağılım elde edilir (Örnek 5.18’den 5.21’e kadar inceleyin).