İST203U-İSTATİSTİK
Ünite 7: İstatistiksel Tahminleme ve Karar Alma
İstatistiksel Tahminleme
Rassal bir örneklemden elde edilen istatistikler aracılığıyla göz önüne alınan evrenin ilgili parametre değerlerinin bulunmasına tahminleme denir. Yani, tahminleme ele alınan evrenden seçilen rassal örneklemlerden elde edilen istatistikler yardımıyla ilgili evrenin dağılımının parametrelerinin belirlenmesi işlemidir. Tahminleme yapabilmek için uyulması gereken işlem adımları aşağıdaki gibidir:
• İlgili evrenden n birimlik rassal örneklem seçilir ve veriler derlenir. • Bu veriler yardımıyla parametre tahmini için ilgili istatistikler hesaplanır. • Hesaplanan istatistiğin örnekleme dağılımı yardımıyla parametre değerleri tahmin edilir.
Tahmin bir sayısal değer, tahminleyici ise bir formülasyondur.
İstatistiksel Tahminle Türleri
İstatistiksel tahminleme nokta ve aralık tahmini olarak ikiye ayrılır.
Nokta tahminlemesi, rassal bir örneklemden hesaplanan istatistiğin değerini ilgili evren parametresi 𝜃’nın değeri olarak kabul eden tahminlemeye denir. 𝜃 ilgili evren parametresinin nokta tahmincisidir. Nokta tahmininde aşağıdaki adımlar izlenir:
• İlgili evrenden n birimlik örneklem rassal olarak seçilir ve veriler derlenir. • Elde edilen veriler yardımıyla 𝜃 parametresinin tahmini için gerekli olan istatistik hesaplanır ve bu istatistiğin değeri 𝜃 parametresi için tahmin değeri olarak alınır.
Evren aritmetik ortalaması μ’nün nokta tahminlenmesi, örneklem aritmetik ortalaması olan 𝑋 bir rassal değişkendir. 𝑋 ’nın değerini bu istatistiğin bilgi ürettiği μ’nün değerine eşit kabul eden tahminlemeye μ’nün nokta tahmini denir. 𝑋 ise nokta tahmincisi adını alır (S:195, Örnek 1).
Evren oranı 𝚷’nin nokta tahminlenmesi, hakkında bilgi edinmek istenen evren oranı π, örneklem oranı ise p ile gösterilir. Evren oranına ilişkin nokta tahmini, n birimlik bir örneklem için, 𝑝 = 𝑛 𝑟 oranının π’ye eşit kabul edilmesidir. Burada ki r binom rassal değişkenidir (S:195, Örnek 2).
Aralık tahminlemesi, aynı evrenden seçilen n birimlik örneklemlerde çok büyük farklılık göstermeyen tahmine güvenilir tahmin denilir. Nokta tahmini sınırlı bir tahminlemedir. Çünkü tahminin güvenirliliği hakkında bilgi veremez. Aralık tahminlemesi, hakkında bilgi edinilmek istenen evren parametresini, belirli bir olasılıkla simetrik bir aralıkta tahmin etme sürecidir.
Örneklem istatistiklerinin ve standart hatalarının değeri seçilen örneklemlere göre değişmektedir. Bu da güven aralığının sınırlarının değişmesine neden olur. Aralık tahmininde, araştırmacı tarafından önceden belirlenen olasılık düzeyine güven düzeyi denir ve 1-α ile gösterilir. α ise anlam düzeyidir. Güven düzeyi güven aralığı tahmininde parametre değerini kapsayan olasılıktır. Aralık tahmini sürecinde izleyen adımlar uygulanır:
• Güven düzeyi belirlenir. • n birimlik rassal bir örneklem seçilerek, 𝜃 hesaplanır. • 𝜃 ’nın dağılımıyla ilgili bilgiler kullanılarak güven aralığı oluşturulur.
Belirlenen bir güven düzeyi için 𝜃 istatistiğinin örnekleme dağılımın normal dağıldığı varsayımı altında 𝜃 için güven aralığı sınırları;
𝜃 − 𝑧! !. 𝜎! < 𝜃 < 𝜃 + 𝑧! !. 𝜎! (𝜎 bilindiğinde)
𝜃 − 𝑧! !. 𝑠! < 𝜃 < 𝜃 + 𝑧! !. 𝑠! (𝜎 bilinmediğinde)
formülleri ile bulunur.
Evren aritmetik ortalaması μ’nün aralık tahminlenmesi, evren aritmetik ortalaması için, güven aralığı belirlenmesi işlemine μ’nün aralık tahminlenmesi denir. Bu işlem şu şekildedir.
• Güven düzeyi belirlenir. • n birimlik rassal örneklem seçilir ve 𝑋, 𝑠 istatistikleri hesaplanır. • 𝑋 ’nın dağılımıyla ilgili bilgiler kullanılarak güven aralığı belirlenir.
Büyük örneklemlerde μ’nün aralık tahminlenmesi, bir örneklemin hacmi n ≥ 30 ise bu örnekleme büyük örneklem denir. Eğer örneklem hacmi yeterince büyük ise evren hangi dağılıma sahip olursa olsun, 𝑋’nın örnekleme dağılımı, ortalaması μ ve varyansı 𝜎! 𝑛 olan normal
dağılıma yakınsar. Bu bilgiden hareketle, μ için güven aralığı evren standart sapması bilindiğinde aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanabilir.
𝑋 − 𝑧! !. 𝜎! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑧! !. 𝜎!
𝑋, 𝜇’nün yansız tahmin edicisidir. Yukarıdaki formüldeki z değeri, araştırmacı tarafından belirlenen güven düzeyine bağlı olarak z tablosundan bulunur (S:198, Tablo 7.1).
𝑋’nin standart hatası, 𝜎! örnekleme oranı n/N <0.05 ise ve örnekleme iadeli seçimle gerçekleşmişse ya da ele alınan
evren sonsuz ise 𝜎! = 𝜎 𝑛 ile, eğer iadesiz seçim yapılmışsa ve n/N ≥ 0.05 ise az önce verilen eşitliğe
𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 çarpanı eklenerek hesaplanır.
Eğer evren standart sapması bilinmiyorsa, μ’nün güven aralığı şu formülle hesaplanır.
𝑋 − 𝑧! !. 𝑠! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑧! !. 𝑠!
1
𝑠! ’in tahmini, iadeli seçim olur, n/N<0.05 olur ve ele alınan evren sonsuz olursa 𝑠! = 𝑠 𝑛 ile hesaplanır. Eğer iadesiz seçim yapılır ve n/N > 0.05 olursa yukarıdaki
formüle 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 eklenerek hesaplanır (S:199, Örnek 3).
Küçük örneklemlerde μ’nün aralık tahminlenmesi, küçük örneklemlerde (n<30), örneklem ortalamasının standart değeri normal dağılmaz. Küçük örneklem durumunda, μ’nün aralık tahmini evrenin normal dağılıp dağılmadığına bağlıdır.
Tanımlanan evren normal dağılıyorsa, değer aralığı −∞ < (𝑋 − μ)/𝑠! < +∞ olan istatistiğı s.d =n-1 serbestlik derecesinde t dağılımı adı verilen sürekli bir dağılıma uyar ve
𝑋 − μ 𝑡 = 𝑠!
şeklinde gösterilir. t dağılımı ortalaması sıfır olan tek modlu ve simetrik bir dağılımdır.
μ için güven aralığı, z istatistiği yerine kullanılan t istatistiği yardımıyla eşitlikteki gibi hesaplanır.
𝑋 − 𝑡. 𝑠! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑡. 𝑠!
Burada t, 1-α güven düzeyinde n-1 serbestlik dereceli t
tablo değeri ve 𝑠! = 𝑠 𝑛 − 1’dir (S:201, Örnek 4).
Evren oranının aralık tahminlemesi, özetlenen prosedür, büyük örneklem ya da n/N≤ 0.05 olduğu durum içindir. Büyük örneklemler için, p’nin örnekleme dağılımı yaklaşık normal dağılım gösterir ve standart hatası
! !!! 𝑠! = ile hesaplanır. !
π için aralık tahmini şu şekilde yapılır (S:202, Örnek 5):
𝑝 − 𝑧∝ !. 𝑠! < Π < 𝑝 − 𝑧∝ !. 𝑠!
İstatistiksel Hipotez ve İstatistiksel Hipotez Testi
Hipotez bir duruma ilişkin bir önermedir. İstatistiksel hipotez ise, bir dağılımın evren parametresine ilişkin önermedir.
Bir istatistiksel hipotez, doğru ya da yanlış olabilir. Sonucu öğrenebilmek için evren parametresinin bilinmesi (hesaplanması) gerekir. Ancak bu da tam sayımla gerçekleşir. Tam sayım her zaman yapılamadığından örneklemeye başvurulur. Bu durumda istatistiksel hipotezin geçerliliğine karar verebilmek için, bu hipotezlerin ele alınan evrenden seçilen örneklemden hesaplanan 𝜃 ’dan ve 𝜃 ’nın örnekleme dağılımdan yararlanılarak test edilmesi gerekir.
Bu yapılan işleme istatistiksel hipotez testi denir. Yani, istatistiksel hipotez testi, örneklem istatistiklerinden yararlanarak bir hipotezin geçerliliğini ortaya koymaya yönelik yapılan çalışmalardır.
Örneklemden hesaplanan istatistiğin, parametre hakkında ileri sürülen değere 𝜃! eşit olması beklenemez. Önemli olan 𝜃 − 𝜃! farkının istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığının belirlenmesidir. Eğer anlamlı bir fark belirlenirse hipotez belirli bir hata payıyla reddedilir.
Hipotez Testi Türleri
Hipotez testleri, parametrik ve parametrik olmayan olarak ikiye ayrılır. Parametrik testler, değişkenlerin ölçümünde oranlı ya da eşit aralıklı ölçeğin kullanıldığı testlerdir. En önemli parametrik testler z ve t testleridir. Kitapta sadece parametrik olan testler göz önüne alınmıştır.
Hipotez Testi Sürecinin Adımları
Hipotezlerin ifade edilmesi, sıfır hipotezi ve karşıt hipotez olmak üzere iki çeşit hipotez vardır.
𝐻! ile gösterilen sıfır hipotezi, ele alınan evren parametresinin bilinen değerinde herhangi bir değişimin beklenmediğinin ifade edildiği hipotezdir. Sıfır hipotezi 𝐻!: 𝜃 = 𝜃! şeklinde ifade edilir.
𝐻! ’ın test edilebilmesi için 𝐻! ile gösterilen karşıt hipoteze ihtiyaç vardır. Karşıt hipotez, ele alınan evren parametresinin bilinen değerinde istatistiksel olarak anlamlı bir değişimin beklendiğini ifade eder. Araştırmanın amacına bağlı olarak karşıt hipotez iç şekilde ifade edilebilir. Bunlar; 𝐻!: 𝜃 ≠ 𝜃! , 𝐻!: 𝜃 < 𝜃! ve 𝐻!: 𝜃 > 𝜃! şeklindedir.
Red bölgesi, sıfır hipotezinin reddedilmesine neden olan örneklem istatistiği ile ilgili değer aralığıdır. Hipotez testleri, karşıt hipotezin ifade ediliş biçimine göre, “iki yönlü”, “tek yönlü üst kuyruk” ve “tek yönlü alt kuyruk” testi olarak adlandırılırlar. Bu testlere ait hipotezler aşağıda gösterildiği gibidir:
• İki yönlü testlerde : 𝐻!: 𝜃 = 𝜃! ve 𝐻!: 𝜃 ≠ 𝜃! • Tek yönlü üst kuyruk testinde: 𝐻!: 𝜃 ≠ 𝜃! ve 𝐻!: 𝜃 > 𝜃! • Tek yönlü alt kuyruk testinde: 𝐻!: 𝜃 > 𝜃! ve 𝐻!: 𝜃 < 𝜃!
Anlamlılık düzeyinin belirlenmesi, bir istatistiksel hipotez testinde sıfır hipotezi ya kabul edilir ya da reddedilir. Hipotez testlerinde, sıfır hipotezinin yanlışlıkla kabul ya da reddedilmesi durumuna “çıkarsama hatası” denir. Gerçekte doğru olan sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda I. tip hata (α tipi hata) yapılmış olur. Gerçekte yanlış olan sıfır hipotezinin kabul edilmesi durumunda ise II. tip yani β hatası gerçekleşmiş olur. α tipi hata yapmanın maksimum olasılığına “testin anlamlılık düzeyi” denir.
Anlamlılık düzeyinin belirlenmesi, örneklemden elde edilen bilgiler ışığında doğru olan sıfır hipotezinin reddedilmesi olasılığını belirleyen α’nın seçimidir. Araştırmalarda α genellikle %5 ya da %1 olarak seçilir.
2
Bu seçim doğru olan 𝐻! hipotezinin reddedilme olasılığını gösterir.
Verilerin derlenmesi, hipotezler ifade edilip α belirlendikten sonra, evrenden seçilecek örneklemin büyüklüğü kararlaştırılır. Evrenden örneklem seçilerek veriler derlenir ve test istatistiğinin hesabında kullanılır.
Test istatistiğinin seçilmesi, sıfır hipotezinin test edilebilmesi için, örneklem istatistiğinin dağılımının bilinmesi gerekir. Ayrıca uygun bir test istatistiğine de ihtiyaç vardır.
Test istatistiği, örneklem istatistiği 𝜃 ile 𝜃! arasındaki farkı standart hata birimiyle ifade eden ölçü olarak ifade edilebilir. Örneklemin sıfır hipotezine ne kadar uyduğunun göstergesi olan test istatistiği, test sonunda verilecek istatistiksel kararın dayandığı bir örneklem istatistiğidir.
İstatistiksel kararın verilmesi, istatistiksel karar vermek α anlamlılık düzeyinde sıfır hipotezinin kabul ya da reddedilmesi demektir. Bu kararı verebilmek için gerekli olan ölçüte “test istatistiğinin kritik değeri” adı verilir. Bu ölçüt, bir örnekleme dağılımında ret bölgesin başlama noktasını gösteren değerdir.
Kritik değer seçilen anlamlılık düzeyine, karşıt hipotezin nasıl kurulduğuna ve örneklem istatistiğinin dağılımına göre farklı değerler alabilir. İzleyen açıklamalar 𝜃 test !!!! istatistiği ve bu istatistiğin standart değeri olan 𝑧 = !! istatistiğinin normal dağılıma sahip olduğu ve 𝛼 = 0.05 olarak seçilen durum için yapılmıştır.
Eğer karşıt hipotez 𝐻!: 𝜃 ≠ 𝜃! biçiminde ifade edilmişse, ret bölgesi 𝜃 test istatistiğine ilişkin normal dağılımın her iki ucunda simetrik olarak tanımlanmış ve her bölgenin alanı oransal olarak 𝛼 2 = 0,025 olur. Bu durumda kritik değer 𝑧!"# = 𝑧!.!!!.!"# = 𝑧!.!"# = 1,96 olur.
İki yönlü testte sıfır hipotezinin reddedilebilmesi için;
!!!! 𝑧!!" = > 𝑧!"! = 1,96 olması gerekir. Aksi halde !! sıfır hipotezi kabul edilir (S:209, Şekil 7.4).
Karşıt hipotez 𝐻!: 𝜃 < 𝜃! veya 𝐻!: 𝜃 > 𝜃! şeklinde ifade edilmişse, test istatistiğinin kuyruğunda tanımlanmış alan ilk durum için üst kuyrukta 𝛼 = 0.05, ikinci durum için alt kuyrukta 𝛼 = 0.05 olur. Kritik değer her iki durum içinde simetriktir ve üst kuyrukta pozitif, alt kuyrukta negatiftir. O halde kritik değer 𝑧!"# = 𝑧!.!!!.!" = 𝑧!.!" = 1,64 olur.
Tek yönlü üst kuyruk testinde eğer,
!!!! 𝑧!!" = > 𝑧!"# = 1,64 olursa sıfır hipotezi !! reddedilir (S:210, Şekil 7.5).
Tek yönlü alt kuyruk testinde ise sıfır hipotezinin reddedilmesi için aşağıdaki durumun gerçekleşmesi gerekir (S:210, Şekil 7.6).
𝜃 − 𝜃! 𝑧!!" = < 𝑧!"# = −1,64 𝜎!
Sıfır hipotezinin reddedilmesi, örneklem değeri ile evren parametresi arasında α anlamlılık düzeyinde bir fark olduğu anlamına gelir.
Probleme ilişkin kararın verilmesi, istatistiksel kararın, araştırma problemine ilişkin karara dönüştürülmesi hipotez testlerinde ki önemli noktalardandır.
Tek Evren Parametresiyle İlgili Hipotez Testleri
Bu tür hipotez testlerinde, evrenin göz önüne alınan değişkenine ilişkin bilinen bir parametre değerinin değişmedi şeklindeki sıfır hipotezi test edilir. Örneklem istatistiğinin değeriyle, evren parametresinin bilinen değeri 𝜃! karşılaştırılarak karar verilir.
Evren Ortalamasına İlişkin Hipotez Testi, bu testte ilgilenilen evrenden rassal olarak seçilen bir örneklem için hesaplanan ortalama değeriyle ( 𝑋 ), bu örneklemin seçildiği evren aritmetik ortalaması ile ilgili, önceden belirlenen 𝜇! gibi bir değer arasındaki farklılığın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığı araştırılır.
Evren Ortalamasına İlişkin Büyük Örneklem Testi, test izleyen adımlarla gerçekleştirilir.
• Rassal olarak bir örneklem seçilir. • Seçilen örneklem büyük örneklem olmalı ya da göz önüne alınan evrenin normal dağılımlı ve veryansının biliniyor olması gerekir., • 𝐻!: 𝜃 = 𝜃! hipotezi, seçilen anlamlılık düzeyinde test edilir (S:212, Örnek 6, S:214, Örnek 7).
Evren Ortalamasına İlişkin Küçük Örneklem Testi, bazı durumlarda örneklem büyüklüğünü artırmak zor olabilir. Bu durumlarda küçük örneklemler için geliştirilmiş testlere başvurulur. Küçük örneklem olması durumunda 𝜎 yerine s’nin kullanılması istatistiksel test üzerinde etkiye sahiptir.
Bu durumda tahmin edilen istatistik 𝑋 − 𝜇 𝑠! , n-1 serbestlik derecesiyle t dağılımına sahiptir. t istatistiği ve 𝑠! aşağıdaki formüllerle hesaplanır.
𝑋 − 𝜇 𝑠 𝑡 = , 𝑠! = 𝑠! 𝑛 − 1
Küçük örneklem kullanılarak yapılan tek evren ortalamasına ait hipotez testlerini, büyük örneklemdeki hipotez testinden ayıran tek fark kullanılan test istatistiğidir (S:216, Örnek 8).
Evren Oranına İlişkin Test, evren oranı π ile gösterilir ve bir evrenin ilgilenilen iki şıklı bir değişkeninin, herhangi bir şıkkına sahip birimlerinin oranına denir. Bu test örneklem oranı p ile evren oranı π’nin iddia edilen değeri 𝜋! arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını araştırır.
3
Evren oranı π’ye ilişkin testlerde örneklem hacmi büyük ise standartlaştırılmış z istatistiği kullanılır.
p − Π! 𝑧 = 𝜎!
Burada 𝜎! örneklem oranı p’nin örnekleme dağılımının standart sapmasını gösterir ve z izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır (S:218, Örnek 9 ve S:220, Örnek 10).
Π! 1 − Π! 𝑧 = 𝑛
4