İST203U-İSTATİSTİK
Ünite 6: Örnekleme ve Bazı Örnekleme Dağılımları
Tam Sayım ve Örnekleme
Hakkında araştırma yapılacak birimler topluluğu olan evrenin özelliklere hakkında bilgiler evren veri kümesinin ya da örneklem veri kümesinin çözümlenmesiyle ulaşılabilir.
Tam sayım: Sonlu evrenin bütün birimleri üzerinden verinin derlenmesidir. Elde edilen veri kümesinin çözümlenmesi ile elde edilen sayısal niceliklerse parametre olarak adlandırılır.
Örnekleme: Evrenden belirli yöntemlerle seçilmiş olan ve seçildiği evreni temsil ettiği düşünülen birimler kümesine denir.
Örneklemeyi Gerekli Kılan Nedenler
Evren sonsuz ise birim sayısı sınırsızdır dolayısıyla tam sayım mümkün olamayacağından örneklemeye başvurulabilir.
Evren sonlu ise maliyet, zaman, doğru veri elde etme, incelecek birimlerin fiziksel zarara uğraması ve evreni oluşturacak birimlerin değişkenliği kriterleri göz önünde tutularak tam sayım da örnekleme de tercih edilebilir.
Örneklem için Birim Seçme Yöntemleri;
• Keyfi seçim ve • Rassal seçim olmak üzere ikiye ayrılır.
Keyfi seçim, tüm birimlere belli bir olasılıkla seçilme şansı verilmeyip araştırmacı tarafından seçilecek birimlerin belirlenmesi durumudur.
Rassal seçim, sonlu evrenlerde rassal örnekleme seçimi iki şekilde yapılabilir:
• Kura seçimi, • Sistematik seçim.
Örnekleme Sürecinin Aşamaları
Genel olarak örnekleme süreci 5 aşamadan oluşur ve kısaca şöyle açıklanabilir:
• Evrenin tanımlanması: Gözlem birimi, örnekleme birimi, yer ve zamanın belirlendiği süreçtir. Ayrıca gözlem ile örnekleme birimleri aynı ise yalnızca birim kavramı kullanılır ve evren tanımı yapılırken açıklık, kesinlik, amaca uygunluk ile güçlük oluşturmama gibi ilkelerde göz önünde tutulur. • Çerçevenin belirlenmesi: Çerçeve sonlu evrenin tüm birimlerini içeren liste, tablo veya cetveldir. Ayrıca sonsuz evrenlerin örneklendirilmesinde çerçeve aşaması yoktur. Güncel çerçevelerin kullanımı tam sayım içinde örnekleme içinde gereklidir ancak güncel olmayan çerçeve kullanımları da maliyet ve zaman göz önünde tutularak kabul edilebilir.
• Örnekleme yönteminin seçilmesi: Keyfi ya da rassal olmak üzere ikiye ayrılan bu yöntemler örnekleme birimlerinin belirlenmesini sağlar. • Örnekleme hacminin belirlenmesi: Örnekleme hacmi “n” sembolü ile gösterilir ve örneklemenin sayısını ifade eder. Bu sayının değeri nitel değerlendirmeler ve nicel yöntemler yardımı ile yapılır. Nitel değerlendirmelerde esas olan faktörler, • Evrenin homojenliği, • Araştırmada verilecek kararın önemi, • Araştırmanın yapısıdır. • Örneklemenin Seçimi: Keyfi ya da rassal olan örnekleme yöntemlerinin kullanılmasıyla belirlenen birimlerden veriler derlenir.
Örnekleme Yöntemleri
Olasılıklı ve olasılıklı olmayan yöntemler olmak üzere ikiye ayrılır.
Olasılıklı Olmayan Örnekleme Yöntemleri: Birim seçiminin uygulayıcıların istek ve değer yargılarına bağlı olarak keyfi yapıldığı örnekleme süreçleridir. Olasılıklı olmayan bu yöntemle, tüm birimlere belli olasılıkla seçilme şansının verilmediği söylenebilir ancak bu durum örneklemin evreni temsil edemeyeceği anlamına gelmez.
Bu yöntemlerde örneklem için birim seçimi, örneklemin hacmi keyfi olup bulunan istatistikler evren parametreleri için genellenemez. Dörde ayrılan bu yöntemler kısaca şöyle açıklanabilir:
• Kolayda örnekleme, doğru zaman ve yerde araştırma konusu ile ilişkili gönüllü birimlerle oluşturulan örnekleme yöntemdir. Zaman ve maliyet açısından ekonomikliğinden ancak temsil yönünden yanlılığından söz edilebilir. • Yargısal örnekleme, temsili örneklem oluşturacağı düşünülen birimlerin kriterlere dayalı olarak evrenden seçilmesine dayalı olan bir tür kolayda örnekleme metodudur. Ancak uzman görüşlerinin var olmasıyla kolayda örneklemeden ayrışır. • Kota örneklemesi, sonlu evrenin öncül bilgiler yardımı ile heterojen birimlerden oluştuğu biliniyorsa her tabakadan birim sayıları ile orantılı olarak seçilen birimlerce örneklem oluşturulur. • Kartopu örneklemesi, rassal olarak bir birey belirlenir ve tanıdığı bireye de ulaşılır. Referanslara göre bu süreç örnekleme hacmine ulaşılana kadar devam ettirilir.
Olasılıklı olmayan örnekleme yöntemlerinde birimlerin keyfi olması tek yönlü hatalara sebep olur. Bu aşamada olasılıklı örnekleme yöntemlerinden bahsedilebilir.
Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri: Birimlerin rassal olarak belirlenmesine dayalı örnekleme yöntemleridir. Her
birime sıfırdan farklı bir olasılık değeriyle seçilme şansı tanınır.
Basit rassal örnekleme, sonlu evrenlerde basit rassal örnekleme: “N” hacimli evrende, “n” hacimli örneklemde yer alma şansının her birim için eşit tutulduğu örneklem yöntemidir.
Ancak mümkün tüm “n” hacimli örneklemler oluşturulmaz, oluşturulabileceği varsayılır. Yalnızca mümkün bir örneklem oluşturularak çalışılır.
Sonsuz evrenlerde basit rassal örnekleme: Sonsuz evrende tüm sonuçlar listelenemez. Sonsuz evrenin birimleri kararlı ise x1, x2, …,xn gözlem değerleri X1, X2,…, Xn rassal olan değişkenlerinin birer gerçekleşmesidir. Bu bağımsız ve benzer olasılık dağılımlı rassal değişkenlerin oluşturduğu topluluk örneklemdir.
Tabakalı örnekleme, Heterojen yapılı evrende birimlerin tabakalandırılması ve her tabakadan rassal olarak yapılan seçimlerle oluşturulan örneklemedir. Tabakalama kriterlerinin belirlenmesi, tabakaların oluşturulması, tabakalardan birimlerin seçilmesi ve verilerin derlenmesi ile bu örnekleme gerçekleştirilir.
Tabaka içi homojenlik tabaka içi varyansı; buda evren tahminleyicisinin varyansını düşürecektir.
Sistematik örnekleme, evrendeki birimler numaralandırılır. Örneklem hacmi belirlenir. Evren hacmi ile örneklem hacmi oranlanarak büyütme faktörü hesaplanır ve bu faktörle 1 arasından bir a sayısı belirlenir. a sayısından başlanarak k artışla a+(n-1)k sıra nolu birime kadar n hacimli sistematik örneklem oluşturulur.
Tek aşamalı ve çok aşamalı küme örneklemesi, genellikle coğrafi kriterlere göre oluşturulan kümeler tabakalı örneklemede olduğu gibi evren birimlerinin gruplarıdır. Tüm kümeler arasından rassal olarak seçilen kümelerin tüm birimleri ile örneklem oluşturulur.
Bir kümeleme ile gözlem birimleri elde ediliyorsa tek aşamalı; iki ve üssü kümeleme aşamaları ile elde ediliyorsa çok aşamalı kümeleme yapılmış olur.
Evren hacmi büyük, birimler homojen ve çerçeve oluşturmak güç ise bu örnekleme kullanılabilir.
Örnekleme Dağılımları
Parametre (θ ) evrene ilişkin sayısal karakteristikleri ifade eder. Tam sayım yapılamadığı durumlarda örnekleme istatistikleri ( θˆ ) kullanılır. Her n hacimli örneklemden
elde edilecek parametre değerleri evren parametresine eşit, evren parametresinden büyük yada küçük olabilir. O halde bir örneklemden hesaplanan istatistiğe değil bu istatistiğin tüm n hacimli örneklemlerde alacağı değerlerin dağılımından yararlanılmalıdır.
Örneklemlerden hesaplanan istatistiklerin olasılık dağılımları örnekleme dağılımıdır. Ancak bunların her biri hesaplanmaz. Bunun yerine rassal bir değişken olan
örneklem istatistiğinin olasılık dağılımı örneklem dağılımı olarak ele alınır.
Burada örneklem istatistiklerinden X ve p’nin örnekleme dağılımları ve özellikleri incelenecektir.
Ortalamanın Örneklem Dağılımı: Rassal bir değişken
olan X , örneklem istatistiklerinden olup örneklem ortalamasıdır. Bu rassal değişkenin olasılık dağılımı ise ortalamanın örnekleme dağılımı olarak adlandırılır. Her
X değerinin elde edilmesi varsayımı ile oluşturulacak {
X i} frekans dağılımı elde edilir ve böylelikle ortalamanın örnekleme dağılımı bulunur.
X ’nın Dağılımının Özellikleri: Ortalamanın örnek dağılımın ortalaması μ = μ Xile standart sapması σ X’tir.
Ayrıca σ 2 standart hatanın karesi olup varyanstır. X
X ’nın dağılımının ortalaması, X ’nın örnekleme
dağılımın ortalaması X ’nın beklenen değeridir.
E( X ) =μ
Burada n arttıkça X ’nın örnekleme dağılımının ortalamasının evren ortalamasına yaklaştığı hatta yeterli
büyüklükten sonra X ’nın örnekleme dağılımının normal dağılıma yaklaştığı söylenebilir.
X ’nın dağılımının standart hatası, X ’nın standart sapması olarak da adlandırılabilir ve σ X ile gösterilir.
Ortalamanın örnekleme dağılımının değişkenliğinin göstergesidir.
Burada evren değişkenliği σ ile örneklem genişliğine
bağlıdır. Örneklem hacmi arttıkça σ X küçülür ve μ
hakkında daha az hatalı sonuçlar elde edilebilir.
Merkezi limit teoremi, örneklem hacmi büyüdükçe evren
dağılımına bakılmaksızın X ’ın örneklem dağılımın normal dağılıma yaklaştığı söylenebilir. Dağılım ortalaması μ ; varyansı σ 2 n olup n≥30 yeterli örneklem
hacmi olarak kabul edilir.
Örnekleme Oranı p’nin Örnekleme Dağılımı: İkili sonuçlar içeren durumlar evrende araştırma konusu ise evrendeki birimlerden araştırılan ikili özellikle ilgili olanların oranları evren oranı olarak isimlendirilir ve ∏ ile gösterilir. İlgilenen özelliğe sahip birim R ile gösterilirse evren oranı;
∏ = R N şeklinde ifade edilir.
İlgilenilmeyen özelliğe sahip birim ise Q ile gösterilirse;
n N ≤ 0.05 olarak elde edilir.
Tam sayıp yapılmadığı zaman hesaplanamayacak olan ∏ örneklem istatistiklerinden yararlanılarak elde edilebilir.
Bu bağlamda ilgilenilen özellik r olmak üzere n hacimli örneklemde örneklem oranı (p);
p = r nşeklinde ifade edilir.
İlgilenilmeyen özelliğe sahip birim ise q ile gösterilirse;
n −r q = = 1− p olarak elde edilir. n
Evrenden yalnızca bir n hacimli örneklem rassal olarak ele alınır ve p oranı hesaplanarak P rassal değişkeninin tüm n hacimli örneklemlerde aldığı değerlerin dağılımına dayalı olarak oranların örneklem dağılımı elde edilir.
Ortalama ve varyans, evren oranı yalnızca n hacimli bir örneklem için bulunan istatistikle değil rassal değişken olan p istatistiğinin örnekleme dağılımının yardımı ile elde edilir.
p oranının beklenen değeri evren oranına eşittir.
E(p)= ∏
Ayrıca sonsuz evrenlerde ve örnekleme oranı n N ≤0.05 ise σ 2’nin bilinmesi halinde varyans;
2 ∏(1 − ∏) σ p = n σ 2’nin bilinmemesi halindeyse varyans;
2 p (1 −p) s p = n
eşitlikleri yardımı ile elde edilir.
Evren sonsuz ve örnekleme oranı n N ≤ 0.05ise σ 2’nin
bilinmesi halinde varyans;
2 ∏(1 − ∏ ) N −n σ p = . n N−1 σ 2’nin bilinmemesi halindeyse varyans;
2 p (1 − p ) N −n s p = . n n eşitlikleri yardımı ile elde edilir.
Dağılım Şekli ve Merkezi Limit Teoremi, örnekleme planındaki basit rassal örneklemen hacmi (n) arttıkça örneklem oranı p’nin örnekleme dağılımı normal dağılıma yakınsar. Bu bağlamda p rassal değişkeninin standartlaştırılması ile evren hakkında bilgi üretilebilir.
Örneklem hacminin belirlenmesinde nicel yöntemler,
• Karşılanabilecek maliyeti esas alan yöntem ve • Kabul edilebilir hata düzeyini esas alan yöntem olmak üzere ikiye ayrılır.