İST203U-İSTATİSTİK
Ünite 5: Olasılık Kuramı
Olasılık Kavramı
Olasılık, herhangi bir durumun ya da olayın gerçekleşme şansını ifade eden bir sayı olarak tanımlanır. Sıfır ile bir kapalı aralığında değerler alır.
Olasılık Tanımları
Olasılık tanımlarına ilişkin, nesnel ve öznel olasılık olmak üzere iki yaklaşım bulunur. Nesnel olasılık, klasik olasılık ve deneysel olasılık olmak üzere iki kısımda incelenir. Formülasyonlarda, herhangi bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ile belirtilecektir.
Klasik Olasılık: Bir denemenin sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu varsayımına dayanır. Klasik bakış açısıyla, bir olayın gerçekleşme olasılığı ilgilenilen sonuçların sayısının, olası tüm sonuçların sayısına bölünmesi yoluyla hesaplanır. Klasik yaklaşıma göre ilgilenilen sonuç sayısı n ile ve olası tüm sonuçların sayısı N ile belirtildiğinde, bir A olayının gerçekleşme olasılığı şu şekilde belirlenir:
𝑛 𝑃 𝐴 = 𝑁
Eğer bir olaylar kümesi bütüne tamamlayan olaylardan oluşuyorsa ve bu olaylar aynı zamanda karşılıklı ayrık olaylar ise olayların gerçekleşme olasılıkları toplamı 1’e eşittir.
Deneysel Olasılık: Bu yaklaşımda bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için, geçmişte benzer olayların gerçekleşme sayısının oranına bakılır. Geçmişte ortaya çıkan olayların sayısı 𝑓 ile ve toplam gözlem sayısı 𝑁 ile belirtildiğinde deneysel olasılık yaklaşımıyla bir A olayının gerçekleşme olasılığı şu şekilde hesaplanır:
𝑓 𝑃 𝐴 = 𝑁
Öznel Olasılık: Olasılığın belirlenmesi için herhangi bir geçmiş deneyim ya da bilginin bulunmadığı durumlarda başvurulan yaklaşımdır. Bu yaklaşımda, mevcut görüşler ve eldeki diğer bilgiler değerlendirilerek olaya ilişkin olasılık tahmin edilir.
Olasılık Hesaplama Kuralları
Olasılık hesaplama kuralları, iki veya daha fazla olayın olasılığını hesaplamada kullanılan kurallardır.
Toplama Kuralları
Özel Toplama Kuralı, yalnızca karşılıklı ayrık olaylar için uygulanabilir. Eğer A ve B karşılıklı ayrık olaylar ise özel toplama kuralına göre bu olaylardan birinin veya diğerinin gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının toplamına eşittir.
𝑃 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
Tümleyen Kuralı, bir olayın gerçekleşme olasılığının, bu olayın gerçekleşmeme olasılığının 1’den çıkarılması yoluyla belirlendiği kuraldır. A olayının gerçekleşmeme
olasılığı 𝑃(𝐴) ise gerçekleşme olasılığı tümleyen kuralına göre şu şekilde hesaplanır:
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
Genel Toplama Kuralı, incelenen olayların karşılıklı ayrık olmadığı durumlarda kullanılan olasılık hesaplama kuralıdır. İki ya da daha fazla olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı olan ortak olasılık kavramı hesaba katılarak genel toplama kuralı şu şekilde hesaplanır:
𝑃 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 𝑣𝑒 𝐵)
Çarpma Kuralları ve Koşullu Olasılık: Olayların aynı anda gerçekleşme olasılığını hesaplamak için kullanılan kurallardır.
Özel Çarpma Kuralı, A ve B bağımsız olayları için A ve B’nin birlikte gerçekleşme olasılığı, bu iki olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir. Şu şekilde hesaplanır:
𝑃 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵)
Burada bahsedilen bağımsızlık kavramı, bir olayın gerçekleşmesinin, bir diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilememesi durumunda bu iki olaya bağımsız olaylardır.
Koşullu Olasılık, B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, A olayının gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. 𝑃(𝐴|𝐵) ifadesi ile gösterilir, B olayının gerçekleşme olasılığı bilindiğinde A olayının koşullu olasılığı olarak ifade edilir.
Genel Çarpma Kuralı, bağımsız olmayan iki olayın ortak olasılığını hesaplamak için kullanılır. Genel çarpma kuralına göre A ve B gibi iki olay için, bu olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, A olayının gerçekleşme olasılığı ile A’nın gerçekleştiği bilindiğine göre B’nin koşullu olasılığının çarpımına eşittir. Şu şekilde hesaplanır:
𝑃 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵|𝐴)
Bayes Teoremi
𝑨𝟏 ve 𝑨𝟐 olayları, karşılıklı ayrık ve bütüne tamamlayan olaylar olsun. Bayes teoremine göre, B
olayının gerçekleştiği bilindiğine göre 𝑨𝒊 ’nin gerçekleşme olasılığı şu şekilde hesaplanır:
𝑃(𝑨𝒊)𝑃(𝐵|𝑨𝒊) 𝑃 𝑨𝒊 𝐵 = 𝑃 𝑨𝟏 𝑃 𝐵 𝑨𝟏 + 𝑃(𝑨𝟐)𝑃(𝐵|𝑨𝟐)
Sayma Kuralları
Bir denemedeki olası sonuçların sayısı küçük olduğunda bunların sayılması bazen işlemleri kolaylaştırır. Sayma işlemlerini kolaylaştırmak amacıyla saymanın temel ilkesi, permütasyon kuralı ve kombinasyon kuralı olmak üzere üç sayma kuralı kullanılır.
Saymanın Temel İlkesi: Eğer bir işlem m farklı yolla, bir başka işlem de n farklı yola gerçekleşebiliyorsa bu iki işlem birlikte mxn farklı yolla gerçekleşir.
Permütasyon Kuralı: n olası nesnenin tek bir grubundan seçilen r adet nesnenin herhangi bir sıralaması permütasyon kuralı ile hesaplanır. Permütasyonda, sıralanan nesnelerin dizildiği sıra önemlidir. Permütasyon kuralı şu şekilde hesaplanır:
𝑛! ! 𝑃! = 𝑛 − 𝑟 !
Kombinasyon Kuralı: Seçilecek nesnelerin diziliş sırası önemli değilse yapılan her bir seçime bir kombinasyon adı verilir. Kombinasyon kuralına göre, n adet nesneden oluşan bir kümeden r nesnelik kombinasyon sayısı şu şekilde hesaplanır:
𝑛! ! 𝐶! = 𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Rassal Değişken: Denemeden denemeye farklı değerler lan ve aldığı bu değerleri belli bir olasılıkla alan değişkenlere rassal değişken denir. Rassal değişkenler genellikle büyük harflerle, aldığı değerler ise küçük harflerle belirtilir. Rassal değişkenler, kesikli ve sürekli rassal değişkenler olmak üzere ikiye ayrılır.
Kesikli Rassal Değişken, sonlu ya da sayılabilir sayıda farklı değerler alabilen rassal değişkenlere kesikli rassal değişken adı verilir. Kesikli rassal değişkenler aldıkları değerleri genellikle incelenen olaya konu olan birimlerin sayılması sonucunda alırlar.
Sürekli Rassal Değişken, sayılamayacak ya da sonsuz sayıda olası değerler alabilen ve bir sayı aralığı ya da aralık kümesi üzerinde tanımlanan rassal değişkendir.
Olasılık Dağılımları: Bir denemedeki olası tüm sonuçların ve bu sonuçların her birine ilişkin olasılıkların yer aldığı listeye olasılık dağılımı denir. Olasılık dağılımlarında, herhangi bir denemede ortaya çıkabilecek tüm değerlerin tanım bölgesi verilir. Olasılık dağılımlarının iki temel özelliği vardır:
• Belli bir sonucun olasılığı 0 ile 1 kapalı aralığında değerler alır. • Tüm karşılıklı ayrık olayların olasılıkları toplamı 1’e eşittir.
Olasılık dağılımları, değişkenin aldığı değere göre kesikli ve sürekli olasılık dağılımları olmak üzere ikiye ayrılır.
Kesikli Rassal Değişkenler İçin Olasılık Dağılımları, Eğer X kesikli bir rassal değişken ise X’in olasılık dağılımı, rassal değişkenin alabileceği tüm olası x değerlerine ilişkin olasılıkların yer aldığı listedir.
Kesikli Bir Olasılık Dağılımın Ortalama, Varyans ve Standart Sapması, Verilerin merkezi eğilimini ve değişkenliğini tanımlamak için ortalama standart sapma veya varyans kullanılır. Bir olasılık dağılımı da benzer biçimde betimlenir. Bir olasılık dağılımının ortalaması 𝜇, varyansı 𝜎! ile ve standart sapması 𝜎 ile gösterilir.
Kesikli olasılık dağılımları için ortalama şu şekilde hesaplanır:
𝜇 = 𝑥𝑃(𝑥)
Kesikli olasılık dağılımının varyansı da şu şekilde hesaplanır:
𝜎! = (𝑥 − 𝜇)!𝑃(𝑥)
standart sapması ise varyansın karekökü alınarak elde edilir.
Binom Dağılımı, kesikli olasılık dağılımları arasında uygulamalarda en sık rastlanan olasılık dağılımıdır. Binom dağılımının özellikleri şu şekildedir:
• Denemeler, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır. • Yapılacak her denemenin sonucunda, var olan karşılıklı ayrık iki sonuçtan yalnızca biri ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan biri ilgilenilen sonuç, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen sonuçtur. • Rassal değişken, sabit sayıda denemedeki ilgilenilen durumun sayısını belirtir. • Tek bir denemede ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasılığı, tüm denemelerde aynı kalmalıdır. • Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır.
n deneme sayısı, x denemede ilgilenilen sonuçların sayısı olarak tanımlanan rassal değişken, p tek bir denemede ilgilenilen sonucun gerçekleşme olasığı iken binom olasılık dağılımı şu şekilde ifade edilir:
𝑃 𝑥 = 𝐶 𝑝!(1 − 𝑝)!!! ! !
Sürekli Rassal Değişkenler İçin Olasılık Dağılımları, sürekli rassal değişkenler için deneme sonuçları bir değer aralığı üzerindeki noktalarla belirtilir ve değişkenin aldığı değerler olasılık dağılımları yardımıyla uygun noktalarla ilişkilendirilir.
Normal Dağılım, istatistik teorisinde kullanılan temek olasılık dağılımlarından en önemlisi olan dağılımın günlük yaşamda pek çok uygulaması ile karşılaşılır. Normal olasılık dağılımı şu eşitlik ile gösterilir:
1 ! !!! ! !! ! 𝑃 𝑥 = 𝑒 𝜎 2𝜋
burada X sürekli rassal değişkenin aldığı değeri, 𝜇 evren ortalamasını, 𝜎 evren standart sapmasını gösterir.
Normal dağılımın özellikleri şu şekildedir:
• Şekli çan eğrisi biçimindedir. • Tek bir tepe noktasına sahiptir. • Dağılımın aritmetik ortalaması, mod ve medyan değerleri birbirine eşittir ve dağılımın merkezinde yer alırlar.
• Simetrik bir dağılımdır. • Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru düzgün şekilde azalır. • Asimptotiktir. • Normal dağılım eğrisinin altında kalan alan 1’e eşittir.
Normal dağılımın özel bir durumu olan standart normal dağılım, elde edilebilecek tüm normal dağılımlar için olasılık belirlemede kullanılabilmektedir. Aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal dağılıma standart normal dağılım adı verilir.
Herhangi bir normal dağılım, gözlem değerlerinden aritmetik ortalama değeri çıkarıldıktan sonra, bu farkın standart sapmaya bölünmesi yoluyla standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Bu işlem sonucu elde edilen değerlere z değerleri ya da standart normal değerler adı verilir. Z değerleri standart değerler olduğu için birimleri yoktur. X gözlem değerleri şu eşitlik yardımıyla z değerime dönüştürülür:
𝑋 − 𝜇 𝑧 = 𝜎