Bir istatistik serisinde, diğer gözlem değerlerine göre, aşırı Ortalamalar derecede küçük veya aşırı derecede büyük bir değer varsa
İstatistik serileri ve grafikleri ait oldukları olay hakkında buna uç değer denir. bilgi vermekle birlikte bu bilgilerin nesnelliği düşüktür. Bu yüzden gözlem değerlerinin hangi değer etrafında Aritmetik Ortalamanın Özellikleri
toplandığını gösteren ve istatistiksel serinin özelliğini • Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan olan özetleyen daha nesnel bilgiler veren ölçülere ihtiyaç sapmalarının matematiksel toplamı sıfırdır. vardır. Bu ihtiyaca cevap veren seriyi temsil etmeye • Aritmetik ortalamanın, gözlem sayısı ile çarpımı yarayan bir tek sayısal değere ortalama denir. Bu değer, gözlem değerlerinin toplamını verir. serinin en küçük gözlem değeri ile en büyük gözlem • Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan olan değeri arasında yer alan, hesaplanabilir bir değerdir. sapmalarının kareleri toplamı minimumdur. Hesaplanan herhangi bir ortalamanın temsili olabilmesi • Aritmetik ortalama hesaplanırken serideki tüm için, serideki gözlem değerlerinin çoğuna yakın değer gözlem değerleri kullanılır. alması gerekir. Bir seride homojenlik arttıkça hesaplanan • Aritmetik ortalama iki veya daha fazla kütleyi ortalamanın temsil kabiliyeti azalır. Homojenlik, gözlem karşılaştırabilmek için çok yararlı bir ölçüdür. birimlerinden derlenen verilerin değerce birbirine yakın • Alt veya üst limiti belirsiz olan serilerde aritmetik olmasıdır. ortalama hesaplanamaz. Duyarlı Ortalamalar Geometrik Ortalama, ile ilgili iki tanım yapılmaktadır. Ortalama hesaplanırken serinin bütün gözlem değerlerini 1. Serideki gözlem değerlerinin çarpımının gözlem hesaba katan ortalama türüdür. Ancak bu özellik gözlem sayısına eşit dereceden köküne eşit olan değerlerinde meydana gelebilecek değişiklikten hemen ortalamadır. etkilenmelerine neden olur. Örneğin serinin uç değer içermesi duyarlı ortalamaları önemli derecede etkiler. Uç Anakütle geometrik ortalaması: değer, bir istatistik serisinde, diğer gözlem değerlerine göre, aşırı derecede küçük veya aşırı derecede büyük bir 𝐺. 𝑂. = ! 𝑋 . 𝑋 … 𝑋 ! ! ! değer olarak açıklanabilir. Duyarlı (hassas) ortalamalar arasında en çok kullanılan aritmetik ortalama olmakla Örneklem geometrik ortalaması:
birlikte geometrik ortalama ve kareli ortalama da bu grup ! 𝐺. 𝑂. = 𝑋!. 𝑋! … 𝑋! içerisindedir.
Aritmetik Ortalama, ortalaması hesaplanacak serideki 2. Gözlem değerlerinin logaritmalarının aritmetik gözlem değerlerinin önem derecesine göre ikiye ayrılır. ortalamasının anti-logaritmasına eşit ortalamadır.
! log 𝑋 1. Basit Aritmetik Ortalama: Serideki tüm gözlem !!! ! log 𝐺. 𝑂. = değerlerinin eşit önemde olduğu aritmetik ortalama 𝑛
türüdür. Serideki tüm gözlem değerlerinin cebirsel 𝐺. 𝑂. = 𝐴𝑛𝑡𝑖 − log (𝐺. 𝑂. ) toplamının gözlem sayısına bölünmesi ile hesaplanır. Kareli Ortalama, gözlem değerlerinin karelerinin Anakütle aritmetik ortalaması: aritmetik ortalamasının kareköküne eşit olan ortalamadır.
! 𝑋 !!! ! Anakütle kareli ortalaması: 𝜇 = 𝑁 ! 𝑋! Burada, !!! 𝑋!: gözlem değerlerinin(seri değerlerinin) ! 𝐾. 𝑂. = cebirsel toplamını, 𝑁
𝑁: gözlem sayısını(evren hacmini) gösterir. Örneklem kareli ortalaması:
Örneklem aritmetik ortalaması: ! 𝑋! ! 𝑋 𝐾. 𝑂. = !!! ! 𝑛 𝑋 = 𝑛 2. Tartılı Aritmetik Ortalama: Serideki gözlem Duyarlı (Hassas) Olmayan Ortalamalar
değerlerinin önem derecesinin farklılık gösterdiği Duyarlı ortalamalar, serideki gözlem değerlerinde durumda, farklı önem derecelerini hesaba katarak meydana gelen değişimlerden hemen etkilenirken, duyarlı hesaplanan aritmetik ortalama türüdür. olmayan ortalamalar serideki tüm gözlem değerlerini
𝑋𝑡 hesaba katmadığından bu tür değişimlerden etkilenmezler. ! ! 𝑋! = Bu sayede uç değer içeren serilerin ölçümü için duyarlı 𝑡! ortalamalara göre seriyi daha iyi temsil ederler. Duyarlı
olmayan ortalamalar medyan ve mod olmak üzere ikiye görünmekle birlikte çok farklı da olabilir. ayrılırlar. Ülkelerden birinde bireyler birbirine yakın gelire sahip iken diğer ülkede bireylerin gelirleri Medyan, gözlem değerlerini küçükten büyüğe doğru arasında uçurum olabilir. Sağlıklı bir kıyaslama sıralayarak, seriyi iki eşit parçaya bölen en ortadaki yapabilmek için yine değişkenlik ölçülerine gözlem değeridir. Medyan hesaplanırken serideki tüm ihtiyaç vardır. gözlem değerleri hesaba katılmadığından duyarlı olmayan bir ortalamadır. Ancak bu durum, uç değerlerden Değişim Aralığı, serinin en büyük ve en küçük gözlem etkilenmemesine neden olur. Uç değerler içeren serilerde değeri arasındaki olarak tanımlanır. tercih edilen basit şekilde hesaplanabilen bir ortalama 𝐷. 𝐴. = 𝑥!"# − 𝑥!"# türüdür. Standart Sapma ve Varyans, bir seriyi oluşturan gözlem Dizilerde medyan hesabı; değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli • Derlenen veriler küçükten büyüğe sıralanır. ortalaması standart sapma olarak tanımlanır. Standart • Hesaplanacak medyan ortalama değerine karşılık sapmanın karesine ise varyans denir. Standart sapma daha gelecek gözlem değeri sırası şöyle belirlenir. çok istatistiksel analizlerde kullanılan bir ölçü olup !!! özellikle normal dağılım fonksiyonunun en önemli Eğer gözlem sayısı (n) tek sayıda ise ( ) ! unsurudur. hesaplanır, bu değer medyan ortalamanın sıra !!! ! Anakütle standart sapması ve varyansı: numarasını gösterir ve inci sıradaki gözlem ! değeri gözlem değeri medyan ortalamadır. ! 𝑋 − 𝜇 ! !!! ! 𝜎 = Mod, seride en çok tekrar eden gözlem değeridir. Mod ve 𝑁 moda sözcüklerinin benzerliği dikkatinizi çekmiştir. Buradan çağrışım yaparak mod kavramını daha iyi ! 𝑋 − 𝜇 ! ! !!! ! anlaşılabilir. Medyan gibi hesaplanırken tüm gözlem 𝜎 = 𝑁 değerleri hesaba katılmadığından dolayı duyarlı olmayan Örneklem standart sapması ve varyansı: bir ortalamadır. Uç değerlerden etkilenmez ve kolaylıkla hesaplanabilir. ! ! !!! 𝑋! − 𝑋 Değişkenlik ve Dağılma Ölçüleri 𝑠 = 𝑛 Ortalamalar bir seriyi özetlemek için bazı durumlarda tek ! 𝑋 − 𝑋 ! başına yetersiz kalabilirler. Bu gibi durumlarda ! !!! ! 𝑠 = değişkenlik ve dağılım ölçüleri seriyi tanımlamak için 𝑛 tamamlayıcı nitelikte ölçüler olurlar. Seriyi oluşturan Değişim Katsayısı, bir serinin standart sapmasının gözlem değerlerinin ortalamadan ne derece aritmetik ortalamaya bölünüp 100 ile çarpılması sonucu uzaklaştıklarını ve ortalama etrafında nasıl bir dağılım elde edilen oransal bir ölçüdür. gösterdiklerini belirlemek amacıyla kullanılırlar. Birçok durumda serinin gözlem değerlerinin değişkenlik Anakütle değişim katsayısı: derecesinin bilinmesi büyük önem taşır. Değişkenlik ve 𝜎 dağılma özelliklerine birçok farklı problemde ihtiyaç 𝐷. 𝐾. = . 100 𝜇 duyulabilir: Örneklem değişim katsayısı: • Bir işletmede çalışanların verimliliğinin 𝑠 değişkenliği düşünülürse verimlilik ortalaması 𝐷. 𝐾. = . 100 artırmak amaç olabileceği gibi, yavaş ve hızlı 𝑋
çalışanları ayırmakta özel amaç olabilir. Bu Değişim katsayısının iki yaygın kullanım alanı vardır: kişisel farklılıkları belirlemek için verimliliğin değişkenlik ölçüsüne ihtiyaç vardır. • Ölçü birimleri farklı olan iki veya daha fazla • Bir yatırımcı, ortalama getirilerin yanında, serinin değişkenliğini karşılaştırmak için değişkenlik ölçülerini bilmesi halinde yatırım kullanılır. seçeneklerinin taşıdığı riski görerek daha sağlıklı • Ölçü birimleri aynı ancak gözlem sayıları ve karar verebilecektir. büyüklükleri farklı olan serilerin değişkenliğini • Bir yönetici, işletmesi için uygulanan pazarlama karşılaştırmak için kullanılır.
stratejilerinden en uygun olanı, değişkenlik İki seri değişim katsayısı ölçüsü ile kıyaslandığında ölçüleri kullanarak seçilebilir. değişim katsayısı küçük olan serinin değişkenliğinin, • İki ayrı ülke, kişi başına düşen milli geliri diğerine göre daha az olduğu söylenir. itibariyle aynı ortalamaya sahip olabilir. Bu durumda iki ülkede refah seviyesi aynı gibi
Asimetri Ölçüleri, bir serinin ortalaması ve değişkenlik ölçüsünün bilinmesi kadar, dağılım şeklinin bilinmesi de önemlidir. Seriler incelendiğinde bazılarının ortalama ortadaki gözlem değeri etrafında toplandıkları, bazılarının yüksek değerlere eğilimli olduğu, bazılarının ise küçük değerlere eğilimli oldukları gözlenebilir. Simetriden uzaklaşarak bir yana çarpık olan serilerin bu özellikleri asimetri ölçüleri ile belirlenebilir.
Ortalamalara Dayalı Asimetri Ölçüleri, serinin simetrik olup olmadığı ortalamaların arasındaki ilişkiden yararlanılarak belirlenebilir.
• Eğer Aritmetik Ortalama=Medyan=Mod ise seri simetriktir. • Eğer Mod<Medyan<Aritmetik Ortalama ise seri asimetriktir.