İST202U-İSTATİSTİK II
Ünite 6: Zaman Serileri Analizi
Giriş
İstatistiksel bir olayın, zaman değişkenine göre aldığı değerlerin alt alta sıralanması ile elde edilen verilere “zaman serisi” adı verilir. Zaman serileri genellikle eşit zaman aralıklarında toplanan gözlem değerlerinden oluşur. Bu olayda eşit zaman aralıkları ile alınan değerler Y=f (zaman) fonksiyonu şeklinde değerlendirilir.
Zaman serilerine, bir ticari malın belirli zaman aralıklarındaki toplam satış miktarı, üretim miktarı gibi günlük hayattan birçok örnek vermek mümkündür. Zaman serileri analiz edilirken, belirli bir marka malın üretim ya da satış miktarı söz konusu olabileceği gibi, o ürün grubuna ait tüm markaların verileri de farklı bir zaman serisi olarak incelenebilir.
Zaman serilerinde zaman kavramı, analizin gerekliliği doğrultusunda, bir yıl, yılın alt grupları olan ay, hafta ya da gün, hatta saat dahi olabilir. Aylık elde edilen verilerle oluşturulan zaman serileri “aylık zaman serisi” olarak adlandırıldığı gibi, yıllık verilerle çalışma gerektiren durumlarda veri grubu “yıllık zaman serisi” adını almaktadır.
Bir zaman serisi en az iki sütundan oluşmaktadır ve bu sütunlardan birisi mutlaka zaman değişkenini, diğeri ise gözlem değerlerini göstermektedir.
Zaman serilerine esas oluşturan veri gruplarını etkileyen, seriye düzensiz görünüm veren dalgalanma veya hareketlerin etkileri her zaman mevcuttur. Zaman serileri analizinin amaçlarından bir tanesi, bu etkilerin sebeplerinin bulmak, bileşenlerine ayırmak ve gelecekte alacakları değerler için öngörü oluşturmaktır. Başka bir ifade ile zaman serisi analizi, her bir değişkenin zaman içindeki oluşum sürecinin matematiksel modelinin belirlenmesi olarak da ifade edilebilir. Bu matematiksel model sayesinde gelecekteki davranışlar belirlenebilir.
Zaman serisi değerlerinin, istatistiksel çıkarsama teknikleri olan aralık tahmini ya da hipotez testlerine uygun olmaması sebebi, örneklem yerine sürekli kaydedilen ana kütle verilerinin eksiksiz bir kesitinden oluşmasıdır.
Zaman serileri, zaman serileri grafiği adı verilen ve gözlem değerlerinin ordinat ekseninde, zaman değerlerinin ise apsis eksende gösterildiği kartezyen koordinatlı bir grafikle gösterilir.
Ekonomik, sosyolojik, demografik konuları inceleyen birçok farklı zaman serisi bulunmasına rağmen, iktisatçı ve işletmecilerin asıl ilgilendikleri zaman serileri “ekonomik zaman serileri”’dir. Farklı zaman serileri bazı durumlarda aynı, bazı durumlarda ise birbirinden farklı faktörlerden etkilenmektedirler.
Zaman Serilerini Etkileyen Faktörler
Üretim, tüketim, alış, satış, ithalat, ihracat vb. gibi veri setleri zaman serisi analizine tabii tutulmadan önce büyük bir anlam taşımazlar. Analiz etme sürecinde, zaman serisi
grafiği çizildiğinde de görülebileceği gibi dalgalanmalar söz konusudur. Zaman serilerinde gözlenen dalgalanmalar zaman serisini etkileyen faktörlerin etkisiyle meydana gelebileceği gibi ekonomik, sosyal ve psikolojik etkenlerin birleşiminin bir sonucu da olabilir. Zaman serilerinin değerlerinde görülen bu dalgalanmaların listelenen dört faktörün etkisiyle oluşacağı düşünülmektedir:
T: Trend (Uzun devre eğilimi, ana eğilim) M: Mevsimlik Dalgalanmalar K: Konjonktürel Dalgalanmalar D: Düzensiz (Rassal) Dalgalanmalar
Araştırmacının asıl amacı, zaman serisi analizinde bu faktörlerin etkilerinin hangi yönde ve hangi şiddette olduğunu belirlemektir.
Zaman serisi verileri ile bu faktörler arasındaki matematiksel ilişkinin toplamsal ilişki ve çarpımsal ilişki olarak iki şekilde kurulabileceğine ilişkin görüşler mevcuttur.
Toplamsal ilişki; Yi = Ti + Ki + Mi + Di matematiksel formülü ile gösterilebilir.
Çarpımsal ilişki ise;
Aylık zaman serilerinde; Yi = Ti x Ki x Mi x Di , Yıllık zaman serilerinde; Yi = Ti x Ki x Di matematiksel formülü ile gösterilebilir.
Burada; Yi: Zaman serisinin i dönemindeki gerçek gözlem değerini, Ti: Trendin i - dönemindeki etkisini, Ki: Konjonktürün i - dönemindeki etkisini, Mi: Mevsimin i - dönemindeki etkisi, Di: Düzensiz dalgalanmaların i - dönemindeki etkisini simgelemektedir.
Bu formüller aylık zaman serilerine uygun olup, yıllık zaman serisi verilerinde mevsimlik dalgalanmalar dikkate alınmayacaktır.
Zaman serisini etkileyen faktörlerden düzensiz dalgalanmalar rassal hata bileşeni adını alırken, diğerleri ise sistematik bileşenler olarak adlandırılır.
Trend: Bir zaman serisinde uzun dönem içinde görülen artma veya azalma trend (ana eğilim) adını alır. Trend doğrusal ya da eğrisel olabilir. Zaman içinde artış ya da azalış göstermeyen zaman serilerinin trendi yoktur. Verilerdeki uzun dönem etkileri açıklayan trendin sebepleri, nüfus artışları, sermaye birikimdeki artışlar, enerji kaynaklarının genişlemesi, teknik ve teknolojik gelişmeler, tüketici eğilimlerinin değişmesi olabilir.
Konjonktürel Dalgalanmalar: Trend etrafındaki uzun dönem dalgalanmalar, konjonktürel dalgalanmalar olarak adlandırılır. Genel ekonominin iyiye gitmesi ile ortaya çıkan gelişme, takip eden bir kriz ile düşüşe geçer. Daha sonra işlerde tekrar iyileşme görülür. Konjonktürel
dalgalanmalara sebep olan bu aşamalar 3-15 yılda bir tekrarlanır. Konjonktürel dalgalanmalar periyodik değil ancak döngüsel dalgalanmalardır. Konjonktürün artma etkisi trendin artışını hızlandırırken, azalma etkisi artış hızını yavaşlatır ya da artışı durdurabilir.
Mevsimlik Dalgalanmalar: Bir zaman serisinde bir yıllık aralıklarla tekrar eden dalgalanmalara mevsimlik dalgalanmalar denir. Bu tür dalgalanmalarda birbirini izleyen iki maksimum ya da iki minimum nokta arasındaki zaman farkına dalga uzunluğu adı verilir. Zaman serilerinde mevsimlik dalgalanmalar için dalga uzunluğu 12 aydır. Dalga uzunluğunun birbirine eşit olması sebebiyle mevsimlik dalgalanmalar periyodik, tekrarlayarak meydana gelmesi sebebiyle de döngüsel özelliğe sahiptir. Mevsimlik dalgalanmalarda maksimum ve minimum noktalar arsındaki yükseklik dalga şiddeti adını alır.
Düzensiz Dalgalanmalar: Rassal nedenlerle veya geçici olarak ortaya çıkan dalgalanmalara düzensiz dalgalanmalar denir.
Trend Analizi
Zaman serisinin bir dönemde göstermiş olduğu ana eğilim olarak tanımını yaptığımız trendin bulunması, zaman serisini konjonktürel ve düzensiz dalgalanmalar etkisinden arındırarak sadece uzun dönem eğilimini belirlemek ve serinin öngörüsünü analiz etmek şeklinde iki amaca hizmet etmektedir. Öngörü sayesinde karar verme ve planlama faaliyetleri kolaylaşmaktadır.
Trend analizi için zaman serisinin 10-15 yıllık verisine ihtiyaç vardır. Bu veriler içerisinde aşırı verilerin bulunmaması arzu edilen bir özelliktir. Trend analizinde birçok farklı teknikten faydalanılmakla beraber, en sık kullanılanları Hareketli Ortalamalar Tekniği ve En Küçük Kareler Tekniği (EKKT)’dir.
Hareketli Ortalamalar Tekniği: Zaman serisi grafiği çizildiğinde açıkça görünen konjonktürel ve mevsimlik dalgalanmaların etkisini ortadan kaldırmak amacıyla kullanılan hareketli ortalamalar tekniği, zaman serisinin gözlem değerlerini belirli büyüklükte kümelere halinde toplamak, her küme için aritmetik ortalama hesaplamak ve bu ortalamaları kümede tam ortaya düşen değerin yerine koymak esası ile çalışmaktadır.
Her bir veri kümesi için hesaplanan aritmetik ortalamalar, ilgili kümenin tam ortasına düşen yıla yazılır ve bu işlem serinin sonuna kadar tekrarlanır. Bu sayede asıl zaman serisi verilerinin yerine aritmetik ortalamalardan oluşan bir veri seti geçirilir ve bu yeni serinin, ilgilenilen olayın trendini gösterdiği kabul edilir.
Zaman serisi analizinde bu tekniğin kullanılabilmesi için gerekli şartlar aşağıda listelenmiştir.
Trend doğrusal olmalıdır, Dalga uzunlukları eşit olmalıdır, Dalga şiddetleri aynı olmalıdır.
Hareketli ortalamalar tekniği için kullanılacak hareketli ortalamaların kaç gözlem değeri üzerinden hesaplanacağı yani kaçarlı olacağının belirlenmesi önemlidir. Değerlerin hesaplanan aritmetik ortalamasını, seri kümesinin tam orta değeri olarak belirleyeceğimiz için, tek sayıda gözlem değerinden oluşturulan küme için, küme elemanlarından toplam sayıdan bir eksik sayıda gözlem değeri kaybedilecektir. Üçerli hareketli ortalamada, iki gözlem değeri kaybedilecek, hesaplanan ortalama değeri bir gözlem değerinin yerine yazılacaktır. Dörderli hareketli ortalamada ise iki baştan ve iki sondan olmak üzere dört gözlem değeri kaybedilecektir. Bu teknikte küme gözlem değeri arttıkça, kaybedilen gözlem değeri sayısı artacak fakat trend daha doğrusal çıkacaktır.
Kümenin çift sayıda gözlem değerine sahip olması durumunda tam ortaya bir gözlem değeri düşmez ve böylece hesaplanan verinin hangi yıla ait olduğu belirlenemez. Bu gibi durumlarda küme bir fazla yıl alınarak yeniden oluşturulmakta ancak ilk ve son yıl değerlerinin etkisi yarı oranında azaltılmaktadır.
Hareketli ortalamalar tekniği, trend için bir matematiksel formül vermez. Bu yüzden geleceğe yönelik öngörü yapma imkânı yoktur. Yapılan işlem konjonktürel dalgalanmaların etkisini azaltarak trendin ortaya çıkmasını sağlar.
En Küçük Kareler Tekniği: Zaman serilerinde gözlem değerleri ile zaman değişkeni arasında bir matematiksel bir formül bulmak istendiğinde faydalanılması gereken teknik, en küçük kareler tekniğidir. Bulunan fonksiyonel ilişki doğrusal ya da eğrisel olabilir. Zaman serisini en iyi temsil edecek fonksiyonun seçilmesinin öneminden dolayı, öncelikle zaman (X) apsis ekseninde, gözlem değerleri (Yi) ordinat ekseninde işaretlenerek serinin serpilme diyagramı çizilir. Bu diyagram sayesinde konjonktürel ve düzensiz dalgalanmalara rağmen serinin uzun devrede doğrusal ya da eğrisel eğilimlerden hangisine uyduğu tespit edilir. Eğriye uyan eğilimlerde ise bükülme noktalarına göre eğrinin derecesine karar verilir. Serpilme diyagramındaki noktaların dağılımına göre trendin uygun fonksiyonu belirlenirken dikkat edilmesi gerekilen noktalar aşağıda yazılmaktadır.
Gelişim yönünü değiştirmeyen, devamlı olarak artışı veya azalışı sabit gibi görünen noktalara doğrusal fonksiyon; Ŷ = a + bX Artış veya azalış oranı sabit gibi görünen noktalara üstel fonksiyon; Ŷ = abX veya Ŷ = aXb
Bükülme noktalarının sayısına göre çeşitli derecelerden parabolik fonksiyonlar; Ŷ = a + bX + cX2 veya Ŷ = a + bX + cX2 + dX3
şeklindeki denklemlerle kullanılır.
Doğrusal trend denklemi Ŷ = a + bX şeklinde yazılır. Gerçek gözlem değerlerinin “Yi“ ile gösterildiği durumlarda “Ŷ” trend değerlerini, “a” trend doğrusunun ordinat eksenini kestiği noktayı, “b” zamanda bir birimlik değişmenin trend değerlerinde meydana getirdiği değişikliği ve doğrunun eğimini, “X” ise bağımsız değişken durumundaki zamanı göstermektedir. a ve b katsayılarını, ∑(Y- Ŷ)2 = Minimum olacak şekilde
belirlemek gereklidir.
Zaman serisi trendini belirlerken uygun fonksiyon türünü belirlemede kararsızlığa düşülen durumlarda, çeşitli fonksiyonlar için standart hatayı hesaplamak ve fonksiyon türünü standart hatayı en küçük tutan şekilde belirlemek gereklidir.
Doğrusal fonksiyon hesaplarken yıllar aynen hesaplamalara katılmak yerine, 0 veya 1 ile başlayan sayısal değerler verilmelidir.
Gözlem değeri tek sayıda yıla eşit olan verilerde orta yıla 0 değer verilerek sonraki yıllar 1,2,… ve önceki yıllar da - 1,-2,… şeklinde belirlenir. Çift sayıdaki yıla eşit gözlem değerlerinde ise ortada bulunan iki yıla -1 ve 1 değerleri verilerek diğer yıllar 3,5,… ve -3,-5,… sayıları ile temsil edilir. Her iki durumda da X’lerin toplamları 0 değerini alır.
Formüllerin hesabıyla doğrusal trend denklemine ulaşılmış olur. Denklem yardımıyla teorik trend değerleri hesaplanabilir ve bu hesaplanan teorik değerler toplamı bazı durumlarda çok ufak farklılıklar olsa da gözlem değerleri toplamına eşittir.
Trend denkleminin bulunmasından sonra gelecek ve geçmiş veriler için öngörü yapılabilir. Değeri öngörülecek yıl zaman serisinin içinde ise yapılan işlem “enterpolasyon”, zaman serisinin öncesinde ve sonrasında bir yıl ise “ekstrapolasyon” adını alır.
Standart Hata: Bir zaman serisinde en küçük kareler yöntemi ile bulunan trend doğrusu, genellikle gözlem değerlerinin arasından geçer. Gözlem değerleri toplamı ile teorik değerler toplamı birbirine eşit olsa da yıllık değerler birbirinden farklılık gösterir. Bu farklılık, yapılan öngörünün hatası olarak da düşünülebilir ve “Öngörü Hataları” adını alır. Öngörü hatalarının ortalama ölçüsü “Öngörülerin Standart Hatası” olarak adlandırılır. Öngörülerin standart hatasının küçük olması, trend fonksiyonunun isabetli karar verildiğini işaret etmektedir.