İST202U-İSTATİSTİK II
Ünite 2: İstatistiksel Tahminleme
İstatistiksel Tahminleme
Bir rassal örneklemden hesaplanan istatistikler yardımı ile ilgili evrenin parametre değerinin araştırılmasına tahminleme denir. Hem örneklem için hem de evren için bilgi üreten istatistiğe ilişkin formülasyona tahminleyici, örneklem gözlem değerlerinin bir tahminleyiciye uygulanması ile hesaplanan değere ise tahmin adı verilir. Tahminleyici, tahminin nasıl hesaplanacağını gösterir.
İstatistiksel Tahminleme Yöntemleri
İstatistiksel tahminleme yöntemleri ikiye ayrılır. Bunlar,
• Nokta tahminlemesi • Aralık tahminlemesidir.
Nokta Tahminlemesi: bir rassal örneklemden hesaplanan istatistiğin değerini, ilgili evren parametre değerine eşit kabul eden tahminleme sürecidir. Nokta tahminlemesi tek bir örneklemden hesaplanan istatistiğin değerine dayanarak değil, bu istatistiğin örnekleme dağılımını inceleyerek yapılır.
Bir 𝜃 istatistiğinin örnekleme dağılımının beklenen değeri tahminlenecek evren parametresine eşit ise 𝜃 istatistiği yani tahminleyici, 𝜃 nın yansız tahminleyicisidir ve aşağıdaki eşitlik ile gözterilir:
𝐸 𝜃 = 𝜃
Bir tahminleyicinin iyi bir tahminleyici olup olmadığını belirlerken kullanılan birinci kriter, yansızlık kriteridir. Tahminleyicinin örnekleme dağılımı tahminlenecek parametrenin yakınında serpilme gösteriyorsa bu tahminleyici yansızdır. Eğer 𝜃 parametresi yanlı bir tahminleyici ise aşağıdaki şekilde gösterilir:
𝐸 𝜃 ≠ 𝜃
Burada yanlılık miktarı yani hata aşağıdaki gibi olur:
𝐻𝑎𝑡𝑎 = 𝐸 𝜃 − 𝜃
Yansız tahminleyicilerde önemli olan tahmin hatalarının cebirsel toplamının dolaysıyla ortalamasının sıfıra eşit olmasıdır.
Bir tahminleyicinin iyi bir tahminleyici olup olmadığını belirlerken kullanılan ikinci kriter, tahminleyicinin etkinliğidir. Bir yansız tahminleyicinin etkinliği, bu tahminleyicinin örnekleme dağılımının standart hatası yani varyansı ile ölçülür Etkinlik, iki yansız tahminleyici arasında tercih yaparken kullanılır. Eğer aynı örneklem hacmi esas alınarak hesaplanan iki tahminleyici yansız tahminleyiciler ise bunlardan standart hatası küçük olan, diğerine göre daha etkin tahminleyicidir.
Tek Evren Parametresine İlişkin Nokta Tahminlemesi: Sürecin uygulanması için aşağıdaki aşamalar izlenir:
• Tanımlanan evrenden, belirlenen 𝑛 birimlik bir basit rassal örneklem seçilir.
• Bu örneklemdeki birimler üzerinden ilgilenilen değişken itibarıyla veriler derlenir. • Bu veriler kullanılarak tahminlenecek parametre 𝜃 için bilgi üretecek 𝜃 istatistiği hesaplanır. • Son olarak, bu istatistiğin değerinden ve dağılımın özelliklerinden yararlanarak 𝜃 parametresi için tahminleme yapılır.
Evren Aritmetik Ortalaması 𝛍 ’nün Nokta Tahminlemesi: μ için bilgi üreten istatistik, tahminleyici 𝑋 dir. Tanımlanan evrenden bir rassal örnekleme ile 𝑛 hacimli bir örneklem oluşturulur ve 𝑋 hesaplanır ise hesaplanan 𝑋 bir rassal değişkendir. Evren sonsuz veya evren sonlu fakat örneklem hacmi büyük veya örnekleme oranı 𝑛/𝑁 < 0,05 ise 𝑋 in örnekleme dağılımının ortalaması 𝜇! veya aynı anlama gelen𝑋 in beklenen değeri 𝐸 𝑋 daima evren ortalaması 𝜇 ye eşittir ve onun yansız tahminidir. Bu durumda 𝜇 nün nokta tahminlemesi, aşağıdaki biçiminde yazılır (S:45, Örnek 1):
𝐸 𝑋 = 𝜇
Evren Oranı 𝝅’nin Nokta Tahminlemesi: π için bilgi üreten istatistik örneklem oranı p’dir. Bir rassal örnekleme planında oluşturulan 𝑛 hacimli bir örneklem için, 𝑟 bir ! binom rassal değişkeni olmak üzere, hesaplanan 𝑝 = ! oranının değerini 𝜋 ye eşit alan bir tahminleme sürecine ! evren oranı π’nin nokta tahminlemesi denir. 𝑝 = eşitliği ! tahminleyici, hesaplanacak 𝑝 değeri de tahmindir. Sonsuz evrenden veya sonlu evrenden 𝑛/𝑁 < 0,05 olmak üzere seçilecek rassal bir örneklem için hesaplanan ve bir rassal değişken olan 𝑝 istatistiğinin örnekleme dağılımının beklenen değeri 𝐸 𝑝 , evren oranı 𝜋 ye eşittir. 𝑝 yi 𝜋 nin yansız ve küçük varyanslı nokta tahminlemesi aşağıdaki şekilde yazılır (S:46, Örnek 2):
𝐸 𝑝 = 𝜋
İki Evren Parametresi Arasındaki Farkın Nokta Tahminlemesi: Bu süreç aşağıdaki aşamalarla uygulanır:
• Tanımlanan iki evrenden, 𝑛! ve 𝑛! birimlik basit rassal örneklemler seçilir. • Bu örneklemdeki birimler üzerinden ilgilenilen değişken itibarıyla veriler derlenir. • Bu veriler kullanılarak tahminlenecek parametre 𝜃! − 𝜃! için bilgi üretecek 𝜃! − 𝜃! istatistiği hesaplanır. • Son olarak, bu istatistiğin değerinden ve dağılımın özelliklerinden yararlanarak ilgili parametre için tahminleme yapılır.
İki Evren Ortalaması Arasındaki Fark 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ’in Nokta Tahminlemesi: Dağılımları normal ve ortalamaları μ1 ve μ2 olan iki evrenden n1 ve n2 hacimli veya dağılımları ne olursa olsun birbirinden bağımsız 𝑛! ≥ 30, 𝑛! ≥ 30 birimlik rassal örneklemler seçilirse, μ! − μ! parametresi, bu parametre için bilgi üreten 𝑋! − 𝑋!
istatistiğinin beklenen değeri 𝐸 𝑋! − 𝑋! ne eşittir ve nokta tahminlemesi, aşağıdaki gibi yazılır (S:47, Örnek 3):
𝐸 𝑋! − 𝑋! = μ! − μ!
İki Evren Oranı Arasındaki Fark 𝝅𝟏 − 𝝅𝟐 ’nin Nokta Tahminlemesi: Birbirinden bağımsız 𝑛! ≥ 30, 𝑛! ≥ 30 birimlik rassal örneklemler seçilirse, bu örneklemlerden hesaplanan 𝑝! ve 𝑝! örneklem oranları arasındaki farkı gösteren 𝑝! − 𝑝! istatistiğinin örnekleme dağılımının ortalaması iki evren oranı arasındaki fark parametresine eşittir ve yansız nokta tahminidir. Parametrenin nokta tahmini, aşağıdaki şekilde yazılır (S:48, Örnek 4):
𝐸 𝑝! − 𝑝! = 𝜋! − 𝜋!
Aralık Tahminlemesi, bilinmeyen evren parametresini, istenen bir olasılıkla, simetrik bir aralıkta tahminleme sürecidir. Bir tahminleme sürecinde, küçük varyansa sahip olan tahminleyicinin tercih edilmesi önemli bir kriterdir. Güvenilir tahmin, tanımlanan evrenden seçilen aynı hacimli farklı örneklemlerde büyük ölçüde farklılık göstermeyen tahmindir. Nokta tahminlemesi, tahminin parametre değerine ne kadar yakın olduğu bilgisini veremediği için sınırlı bir tahminlemedir. Bu nedenle, tahminlemesi yapılacak parametre değeri ile tahmin değeri arasındaki olası fark için bir olasılık ifadesinin, güven düzeyinin kullanılmasına izin veren aralık tahminlemesi geliştirilmiştir. 𝜃 parametresinin aralık tahminlemesinin gösterimi genel olarak, aşağıdaki şekilde yazılır:
𝐴 < 𝜃 < Ü
Burada, 𝐴 alt sınır, Ü üst sınır olmak üzere güven sınırlarını ifade ederler. Tahminleme sürecinde alt ve üst sınırlar birer rassal değişken, bu sınırların belirlediği aralık da rassal aralık niteliğindedir. Güven aralığının tahmininde parametre değerini kapsayan olasılığa güven düzeyi denir ve 1 − 𝛼 ile gösterilir. Güven düzeyi değeri büyük seçilirse tahminlenen aralığın θ’yı kapsayan aralık olma olasılığı artar fakat tahminin güvenilirliği azalır. Aralık tahminlemesinde güven aralığının mümkün olduğu ölçüde dar tutulması istenir.
Tek Evren Parametresine İlişkin Aralık Tahminlemesi: Tahminleme sürecinde izlenen adımlar:
• Güven düzeyi G.D.= 1 − 𝛼 araştırmacı tarafından belirlenir. • Hacmi 𝑛 olan bir rassal örneklem belirlenir. • Bu örneklem için 𝜃 istatistiği 𝑋, 𝑠, 𝑝 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑘𝑙𝑒𝑟𝑖 hesaplanır. • 𝜃 istatistiğinin standart hatası 𝜎! 𝜎!, 𝑠!, 𝜎!, 𝑆! hesaplanır. • 𝜃 istatistiğinin dağılım şekli ile ilgili bilgilerden yararlanılarak 𝐴 < 𝜃 < Ü güven aralığı tahminlenir.
Evren Aritmetik Ortalaması 𝛍 ’nün Aralık Tahminlemesi: Örneklem hacmi 𝑛, 𝑋 nin dağılım şeklini belirleyen önemli bir belirleyici olduğu için, 𝜇 nün aralık
tahminlemesi, örneklem hacminin büyük olup olmaması durumuna göre iki başlıkta incelenebilir:
Büyük Örneklemlerde 𝝁 ’nün Aralık Tahminlemesi: Büyük örneklem hacmi için yeterli büyüklük, 𝑛 ≥ 30 olarak kabul edilir ve bu durumda 𝑋 ’nın örnekleme dağılımı normal dağılıma uyar. Rassal 𝑋 rassal değişkeninin dağılımı normal dağılım özelliğine sahip olduğunda, 𝜇 nün aralık tahminlemesi,
𝜎 biliniyorsa; 𝑋 − 𝑧. 𝜎! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑧. 𝜎!
𝜎 bilinmiyorsa; 𝑋 − 𝑧. 𝑠! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑧. 𝑠! şeklinde belirlenir.
𝑋 ’nın standart hatası, n/N <0,05 ve örneklem seçimi iadeli yapılmışsa ya da tanımlanan evren sonsuz ise
𝜎 𝜎! = 𝑛
ile hesaplanır. Eğer örneklem iadesiz seçimle yapılmışsa
!!! ya da 𝑛 𝑁 ≥ 0,05 ise yukarıdaki eşitliğe ilave !!! edilerek hesaplanır. Benzer şekilde ortalamanın standart hatası, n/N<0,05 veya tanımlanan evren sonsuz ise
𝑠 𝑠! = 𝑛
ile hesaplanır. Eğer birim seçimi iadesiz yapılmışsa ya da 𝑛 𝑁 ≥ 0,05 ise standart hata,
! !!! 𝑠! = ile hesaplanır. ! !!!
Yukarıdaki formüllerdeki z değeri, araştırmacı tarafından başlangıçta belirlenen güven düzeyine bağlı olarak standart normal eğri alanları tablosundan bulunur. z tablo değeri,
!!! 𝑍 = dönüşümüyle hesaplanır (S:53, Örnek 5). !!
Küçük Örneklemlerde 𝛍 ’nün Aralık Tahminlemesi: Tanımlanan evren normal dağılıyorsa, 𝜇 için 1 − 𝛼 güven aralığı, aşağıdaki şekilde belirlenir:
𝑋 − 𝑡. 𝑠! < 𝜇 < 𝑋 + 𝑡. 𝑠!
t dağılımı ortalaması sıfır olan tek modlu ve simetrik bir dağılımdır. Bu dağılımın şekli normal dağılıma benzer fakat değişkenliği daha fazladır. 𝑡 dağılımı, 1 − 𝛼 güven düzeyinde ve 𝑛 − 1 serbestlik derecesine bağlı olarak 𝑡 değerleri tablosundan bulunur. t değeri için izleyen dönüşüm yapılır.
𝑋 − 𝜇 𝑡 = 𝑠!
Ayrıca örneklem ortalamasının standart hatası, aşağıdaki formül ile hesaplanır (S:55, Örnek 6):
𝑠 𝑠! = 𝑛 − 1
Evren Oranı 𝝅 ’nin Aralık Tahminlemesi: Büyük örneklemler için örneklem oranı, 𝑝 nin örnekleme dağılımı, yaklaşık normal dağılım gösterir. Bu dağılımın ortalaması p, standart hatası, aşağıdaki formül ile hesaplanır
𝑝 1 − 𝑝 𝑠! = 𝑛
Rassal örneklem hacmi yeterli büyüklükte ise, örneklem oranlarının standart değerlerinin,
𝑝 − 𝜋 𝑧 = 𝑠!
standart normal dağılımına sahip olduğu söylenebilir ve evren oranı 𝜋 ye ilişkin aralık tahminlemesi, aşağıdaki şekilde hesaplanır (S:56, Örnek 7):
𝑝 − 𝑧. 𝑠! < 𝜋 < 𝑝 + 𝑧. 𝑠!
İki Evren Parametresi Arasındaki Farkın Aralık Tahminlemesi: Aralık tahminlemesi yapılacak parametreler iki evren ortalaması arasındaki fark 𝜇! − 𝜇! ve iki evren oranı arasındaki fark 𝜋! − 𝜋! olacaktır.
İki Evren Ortalaması Arasındaki Fark 𝛍𝟏 − 𝛍𝟐 ’nin Aralık Tahminlemesi: İki evren ortalaması arasındaki fark 𝜇! − 𝜇! parametresi hakkında tahminleme yapabilmek için bu parametre hakkında bilgi üreten 𝑋! − 𝑋! istatistiğinin örnekleme dağılımı hakkında bilgiye ihtiyaç duyulur.
Tanımlanan iki evrenin araştırmaya konu olan değişken itibariyle dağılımları ne olursa olsun bu evrenlerden birbirinden bağımsız n1>30 ve n2>30 birim olmak üzere rassal örneklemler seçilirse merkezi limit teoremi gereğinde 𝑋! − 𝑋! istatistiklerinin örnekleme dağılımları normal olur.
𝑋! − 𝑋! istatistiğinin bilgi ürettiği 𝜇! − 𝜇! parametresinin 1 − 𝛼 güven düzeyinde aralık tahminlemesi, rassal örneklem birbirinden bağımsız ve örneklem hacimleri yeterli büyüklükte ise aşağıdaki şekilde yazılır:
𝑋! − 𝑋! − 𝑧. 𝜎!!!!! < 𝜇! − 𝜇! < 𝑋! − 𝑋! + 𝑧. 𝑠!!!!!
Burada standart hata, aşağıdaki formül ile hesaplanır:
𝜎! 𝜎! ! ! 𝜎!!!!! = + 𝑛! 𝑛!
Evren parametreleri bilinmiyorsa, bunların tahminleyicileri olan örneklem varyansları kullanılır. Bu durumda,
𝑠! 𝑠! ! ! 𝑠!!!!! = + 𝑛! 𝑛!
kullanılarak güven aralıkları, aşağıdaki şekilde yazılır:
𝑋! − 𝑋! − 𝑧. 𝑠!!!!! < 𝜇! − 𝜇! < 𝑋! − 𝑋! + 𝑧. 𝑠!!!!!
Aralıktaki z değeri ise,
!!!!! !!!!! 𝑧 = veya 𝑧 = !!!!!! !!!!!!
ile elde edilir (S:58, Örnek 8).
Küçük Örneklemlerde 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ’nin Aralık Tahmini: Ortalamaları μ1 ve μ2, dağılımları normal veya normale yakın standart sapmaların 𝜎! = 𝜎! = 𝜎 olduğu varsayımı yapılabilen ve n1<30 ve n2<30 birimlik rassal örneklemler seçilirse örneklemlerden yararlanılarak hesaplanan istatistiğin standart hatası,
𝑛 𝑠! + 𝑛 𝑠! 1 1 ! ! ! ! 𝑠!!!!! = + 𝑛! + 𝑛! − 2 𝑛! 𝑛!
ile hesaplanır. Bu durumda 𝑋! − 𝑋! ’nın örnekleme dağılımının standart değerlerinin dağılımı n1+n2-2 serbestlik derecesinde t dağılımı özelliklerini taşır. t istatistiği,
𝑋! − 𝑋! 𝑡 = 𝑠!!!!!
ile hesaplanır.
1-α güven düzeyinde 𝜇! − 𝜇! parametresi için güven aralığı
𝑋! − 𝑋! − 𝑡. 𝑠!!!!! < 𝜇! − 𝜇! < 𝑋! − 𝑋! + 𝑡. 𝑠!!!!!
ile hesaplanır.
İki Evren Oranı Arasındaki Fark 𝝅𝟏 − 𝝅𝟐’nin Aralık Tahminlemesi: Tanımlanan iki evrenden birbirinden bağımsız n1 ≥ 30 ve n2 ≥ 30 birim olmak üzere rassal örneklemler seçilir. Her örneklem için,
!! !! 𝑝! = ve 𝑝! = !! !!
istatistikleriyle iki örneklem arasındaki fark 𝑝! − 𝑝! istatistiği hesaplanır. Merkezi limit teoremine göre iki evrenden birbirinden bağımsız, büyük hacimli örneklemler seçilirse 𝑝! − 𝑝! istatistiğinin örnekleme dağılımı yaklaşık normal dağılım gösterir.
1 − 𝛼 güven düzeyinde 𝜋! − 𝜋! nün güven aralığı,
𝑝! − 𝑝! − 𝑧. 𝑠!!!!! < 𝜋! − 𝜋! < 𝑝! − 𝑝! + 𝑧. 𝑠!!!!!
olarak yazılır. Bu ifadede 𝑠!!!!!
𝑝! 1 − 𝑝! 𝑝! 1 − 𝑝! 𝑠!!!!! = + 𝑛! 𝑛!
ile ve 𝑧 dağılım da,
𝑝! − 𝑝! 𝑧 = 𝑠!!!!!
eşitlikleri ile elde edilir (S:61, Örnek 9).