İST202U-İSTATİSTİK II
Ünite 1: Örnekleme ve Örnekleme Dağılımları
Tamsayım ve Örnekleme
Hakkında araştırma yapılacak birimler topluluğu evren olarak adlandırılır ve istatistiksel bir araştırmanın amacı tanımlanan evrenin özellikleri ile ilgili bilgiler oluşturmaktır.
Tamsayım, planlanan bir istatistiksel araştırma için tanımlanan sonlu evrenin bütün birimleri üzerinden araştırmaya konu olan değişkenler itibari ile veri derlenmesi işlemidir. Tamsayım sonucu elde edilen veriler kullanılarak hesaplanan sayısal değerlere ise parametre denir.
Örnekleme, tanımlanan evrenden onu ilgilendiren değişkenler bakımından temsil eden sınırlı sayıda birimin belirli yöntemler kullanılarak seçilmesi işlemidir. Evrenden belirli yöntemlerle seçilmiş olan ve seçildiği evreni temsil ettiği düşünülen birimler kümesine ise örneklem denir.
Bir araştırmada tanımlanan evren sonlu evren ise gerekli bilgilerin üretilebilmesi için tamsayım veya örnekleme yapılabilir. Tamsayım genellikle sonlu ve küçük hacimli evrenlere uygulanır. Tanımlanan evrenin sonsuz olması durumunda tamsayım mümkün olmaz. Bu durumda, evrenin özellikleri ile ilgili bilgiler ve genellemeler örnekleme uygulaması ile elde edilebilir.
Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler
Evrenin Sonsuz Olması, tanımlanan evren sonsuz olursa, bu durumda tam sayım mümkün olmaz. Çünkü incelenecek birimler X rassal değişkeninin teorik olasılık dağılımının ürettiği sonuçlardır.
Maliyet, örnekleme tamsayıma göre daha az maliyetle bilgi üretme olanağı sağlar. Tamsayım yapma maliyeti, elde edilecek bilginin değerinden büyükse örnekleme yapmak uygun olacaktır.
Zaman, bir araştırma sonunda elde edilecek bilgiye duyulan gereksinimin zaman sınırları düşünüldüğünde, örnekleme tamsayıma göre daha kısa zamanda ve yeterli ayrıntıda bilgi elde etme olanağı verir. Örneklemenin bu özelliği bilgiye çok hızlı ihtiyaç duyulduğunda bilhassa önemlidir.
Doğru Veri Elde Etme, tamsayımın yapılabilmesi için gerekli olan veri derleme aracı ve veri hatası yapmayacak görüşmeci bulmak oldukça zordur. Bu nedenle, örnekleme tamsayıma göre daha doğru veri derleme ve bilgi üretme imkânı verir.
İncelenecek Birimlerin Fiziksel Zarara Uğraması, tanımlanan evrende yer alan birimler, veri derlemek veya ölçüm yapmak amacıyla zarara uğratıyorsa örneklemeye başvurmak gerekir.
Evreni Oluşturan Birimlerin Değişkenliği, araştırmaya konu olan değişkenler bakımından evreni oluşturan birimler heterojen olduğunda mümkünse tamsayım yapılmalı, değilse örneklem tercih edilmelidir.
Örneklem İçin Birim Seçme Yöntemleri
Örnekleme girecek birimlerin seçiminde kullanılacak yöntemler iki biçimde sınıflandırılır. Bunlar; keyfi seçim ve rassal seçimdir.
Keyfi Seçim, örneklem oluşturulurken tanımlanan evreni oluşturan birimler arasında fark gözetilerek yapılan birim seçme yöntemidir. Araştırmacı, hangi birimlerin örnekleme seçileceğini bilerek ve isteyerek belirler.
Rassal Seçim, sonlu evrenlerde rassal seçim imkânı veren iki seçim uygulaması bulunmaktadır: Kura seçimi ve sistematik seçim.
Kura seçimi için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Tanımlanan evrenle ilgili oluşturulacak güncel çerçevedeki bütün birimlere birden N’ye kadar verilen numaralar fişlere yazılır ve bir torbaya atılır. 2. Fişler karıştırıldıktan sonra n tane fişin çekilmesine başlanır. Fişler her çekilişten sonra torbaya iade ediliyorsa birim seçimine iadeli, edilmiyorsa iadesiz seçim adı verilir. Birim seçimi iadesiz yapıldığında bağımsızlık koşulu sağlanmamış olur. 3. Seçilen n sayıdaki birim örneklemi oluşturur.
N hacimli sonlu bir evrende rassal iadeli seçimle Nn tane farklı örneklem seçmek mümkünken aynı evrende aynı ! !! hacimli iadesiz seçim uygulandığında 𝐶! = tane !!! !.!! farklı örneklem seçmem mümkün olur.
Sistematik seçim için aşağıdaki adımlar izlenir:
1. Güncel çerçevedeki birimler birden N’ye kadar numaralandırılır. 2. Örneklem hacmi belirlenir. 3. Büyütme faktörü olarak adlandırılan k= N / n oranı hesaplanır. 4. 1,2,...,k adet sayı arasından rassal olarak bir sayı seçilir. Bu sayıya a denirse; a sayısı örnekleme girecek birinci birimin sıra numarasını gösterir. 5. a’ıncı, a+k’ıncı,…, a+(n-1)k’ıncı sıra nolu birimlerin seçilmesi ile n hacimli örneklem oluşturulmuş olur.
Hem kura usulü seçimde hem de sistematik seçimde seçilecek her birimin belirlenen n hacimli örneklemde yer alması olasılıkları (n/N) olmasına rağmen olası örneklemlerden birinin incelenen örneklem olma olasılıkları farklıdır. Rassal örneklemenin üç önemli özelliği vardır: Örneklemden elde edilen verilerden hesaplanan istatistikler evren parametreleri hakkında genelleme yapmak üzere kullanılabilir. Örneklem hatasının büyüklüğü hakkında bilgi elde edilebilir. Keyfi seçimde söz konusu olabilecek sistematik hata giderilmiş olur.
Örnekleme yöntemlerinin etkinlikleri farklılık gösterir. Etkinlik, örnekleme maliyeti ve doğruluğu arasındaki dengeyi yansıtan bir kavramdır. Doğruluk ise ölçülecek özelliğin belirsizliği ile ilgili düzeyi gösterir. Doğruluk ile
örnekleme arasında ters ilişki varken maliyetle aynı yönde ilişki vardır.
Örnekleme Sürecinin Aşamaları
Örnekleme süreci, birbirleriyle ve bir araştırma sürecinin diğer aşamaları ile sıkı sıkıya ilişki içinde olan 5 aşamadan oluşur. Bu aşamalar; evrenin tanımlanması, çerçevenin belirlenmesi, örnekleme yönteminin seçilmesi, örnekleme hacminin belirlenmesi ve örnekleminin uygulanmasıdır.
Evrenin Tanımlanması, örneklemde yer alabilecek ve yer almayacak birimlerin belirlenmesi sürecidir. Evrenin tanımlanması genel olarak örnekleme birimi, gözlem birimi, yer ve zaman kavramlarıyla yapılmaktadır (S:9, Örnek 7). Bir araştırmanın evrenini tanımlarken açıklık, kesinlik, amaca uygunluk ve örnekleme uygulaması için güçlük yaratmaması gibi ilkelerin de göz önünde bulundurulması gerekir.
Çerçevenin Belirlenmesi, çerçeve sonlu bir evrenin bütün birimlerinin kayıtlı olduğu bir listedir, tablodur veya cetveldir. Evren sonlu olduğunda evrenle ilgili güncel bir çerçeve hazırlama veya belirli bir kaynaktan nasıl temin edileceğini belirleme sürecidir. Çerçeve olmadan ne tamsayım ne de örnekleme yapılabilir. Bir çerçeve yoksa yeni bir çerçevenin hazırlanması gerekir. Yeni bir çerçeve hazırlanırken çerçeve maliyeti ve kapsam hatası özellikle göz önünde tutulmalıdır.
Örnekleme Yönteminin Seçilmesi, örneklemeye girecek birimlerin seçilmesine imkân veren yöntemi belirleme sürecidir. Temsili bir örneklem oluşturmak amacı ile olasılıklı veya olasılıklı olmayan örnekleme yöntemlerinden hangisinin kullanılacağına karar verilir.
Örneklem Hacminin Belirlenmesi, örnekleme girecek birimlerin sayısına örneklem hacmi denir. Bu süreç için nitel değerlendirme ve nicel yöntemlere başvurulur.
Nitel değerlendirmede Esas Olan Faktörler
Evrenin homojenliği, Nitel değerlendirmede esas olan faktörlerden biri evrenin homojenliğidir. Eğer evrenin bütün birimleri ilgilenilen değişken itibariyle aynı değere sahip ise, bir birimin incelenmesi yeterlidir. Ancak birimlerin özellikler bakımından farklılığı arttıkça örneklem hacminin de giderek büyümesi gerekir.
Araştırmada verilecek kararın önemi, Nitel değerlendirmede esas olan diğer bir faktör ise araştırmada verilecek kararın önemidir. Önemli kararlar için olabildiğince çok veriye ve ayrıntılı bilgiye gereksinim vardır.
Araştırmanın yapısı, Araştırmanın yapısı ise diğer bir faktördür. Araştırmanın doğası örneklem hacmi üzerinde etkilidir. Genellikle nitel araştırmalar için küçük hacimli örneklem, nicel araştırmalar içinse daha büyük hacimli örneklemlerle çalışılır.
Örneklem hacminin belirlenmesinde kullanılan nicel yöntemler ise iki tanedir. Karşılanabilecek maliyeti esas
alan yöntemde C, araştırma bütçesini, 𝑐! araştırmanın sabit maliyetini ve Ct örnekleme birimi için değişken maliyeti !!!! göstermek üzere örneklem hacmi 𝑛 = formülü ile !! hesaplanır.
Kabul edilebilir hata düzeyine, 𝑋 − 𝜇 = 𝑑 olmak üzere !!!! 𝑛 = ! formülü ile hesaplanır. !
Örneklem seçimi: Örnekleme girecek birimler keyfi veya rassal seçim uygulamalarıyla seçilerek, seçilen bu birimlerden gerekli veriler derlenir.
Örnekleme Yöntemleri
Örnekleme yöntemleri evrenden örnekleme birim seçiminde uygulanan usule göre olasılıklı olmayan örnekleme yöntemleri ve olasılıklı örnekleme yöntemleri olarak ikiye ayrılır (S:13, Şekil 1.2).
Olasılıklı Olmayan Örnekleme Yöntemleri, olasılıklı olmayan örnekleme, birim seçiminin keyfi yapıldığı örneklemedir. Olasılıklı olmayan örnekleme uygulandığında örneklemenin evreni temsil etme olasılığı bilinemez. Olasılıklı olmayan örnekleme yöntemlerinin ortak özellikleri: Örneklem için birim seçimi keyfidir. Örneklem hacmi keyfi olarak belirlenir. Örneklemden hazırlanan istatistikler evren parametreleri hakkında genelleme amacı ile kullanılamaz.
Kolayda Örnekleme, araştırma konusu ile ilgili olan ve doğru yerde, doğru zamanda bulunan birimler arasından bir örneklemin oluşturulmasıdır.
Yargısal Örnekleme, evrenden temsili örneklem oluşturacağına inanılan kriterlere dayalı olarak birimlerin seçilmesi işlemidir.
Kota Örneklemesi, tanımlanan sonlu evren heterojen özelliklere sahip birimlerden oluşuyorsa temsili örneklem oluşturmak amacı ile tercih edilen yöntemdir. Bu örnekleme izleyen adımlarla gerçekleştirilir. N evren hacmi ve Nh tabaka hacimleri ve sonrasında keyfi olarak örneklem hacmi n belirlenir. Her tabakanın, evren hacmi içindeki oranı olan Nh/N belirlenir ve keyfi seçimle her tabakada nh=(Nh/N) sayıda birim seçilir ve bu seçilen birimler örneklemi oluşturur.
Kartopu Örneklemesi, özellikle bir çerçevenin mevcut olmaması veya oluşturulamaması durumunda kullanılan bir örneklemedir.
Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri, örneklem için birim seçiminde rassal seçimin uygulandığı yöntemlere olasılıklı örnekleme yöntemleri denir. Bu yöntemde, ilgilenilen evrendeki her örnekleme birimine hesaplanabilir ve sıfırdan farklı bir olasılıkla seçilme imkânı verilir.
Basit Rassal Örnekleme, evrenin sonlu veya sonsuz olması durumuna göre iki gruba ayrılır. Sonlu evrenlerde basit rassal örnekleme, hacmi N olan sonlu bir evrenden birbirinden farklı ve n hacimli oluşturulabilecek 𝐶! !
sayıdaki mümkün örneklemlerin her birine incelenecek örneklem olması bakımından eşit şans tanıyan örnekleme yöntemidir. Sonlu bir evrenden iadesiz seçimle n hacimli bir rassal örneklem oluşturmak için; güncel çerçeve temin edilir ve örneklem hacmi belirlenir. Daha sonra çerçevede yer alan n sayıdaki birime tanımlayıcı numara verilir. Evrendeki her birime eşit seçilme şansı vermek suretiyle örnekleme girecek 1. birim rassal seçimle belirlenir. Geriye kalan (N-1) birime eşit şans verilecek şekilde 2. birim seçilir ve bu birim seçme süreci n hacimli örneklem tamamlanıncaya kadar devam ettirilir. Sonsuz evrenlerde basit rassal örnekleme ise, bir süreç tarafından türetilen birbirinden bağımsız ve benzer olasılık dağılımına sahip 𝑋!, 𝑋!, ⋯ , 𝑋! rassal değişkenlerinin oluşturduğu topluluktur.
Tabakalı Örnekleme, evren birimlerinin tabakalara ayrıldığı ve her tabakadan rassal seçimle örneklemin oluşturulduğu örneklemedir. Tabakalı örnekleme üzerinde araştırma yapılacak evren ilgilenilen değişkenler yönünden heterojen olduğunda evren parametre tahminine ilişkin varyansın olabildiğince küçük olmasını sağlayan örneklemedir. 4 aşamadan oluşur.
• İlk aşama tabakalama kriterinin belirlenmesidir. Bu aşamada araştırmacı önce incelenecek değişkenler açısından önemli farklılıklar gösteren N hacimli evrenin birimlerini homojen birimlerden oluşacak tabakalara ayırmada kullanılacak kriterleri belirler. • İkinci aşama olan tabakaların oluşturulması aşamasında, belirlenen tabakalama kriteri itibariyle N hacimli bir evrenden L sayıda ve hacimleri 𝑁!, 𝑁!, … , 𝑁! olan tabakalara ayrılır. Bu aşamada önemli olan tanımlanan evrendeki her bir birimin yalnız bir tabakaya ait olması ve hiçbir birimin açıkta kalmamasının sağlanmasıdır. • Tabakaların seçilmesi üçüncü aşamadır. Bu adımda her tabakadan basit rassal seçimle sırasıyla 𝑛!, 𝑛!, … , 𝑛! hacimli alt örneklemler oluşturulur. Alt örneklem hacimleri toplamı örneklem hacmine eşittir. • Son aşama verilerin derlenmedir. Oluşturulan alt örneklem birimleri üzerinden veriler derlenir, bu veriler kullanılarak gerekli istatistikler hesaplanır ve gerekli istatistiksel çıkarımlar yapılır (S:21, Örnek 17).
Sistematik Örnekleme, örneklem için birim seçimi belirli bir sistematiğe uygun olarak yapılan örnekleme sürecidir. İlgili evrene ilişkin bir çerçevenin olup olmaması veya birimlerin doğal bir sıraya sahip olup olmaması bu yöntemin sınırlayıcılarıdır. Çerçevenin doğal yapısında tekrarlamalar varsa sistematik örnekleme kullanılmamalıdır. Sistematik örneklemenin uygulanması için öncelikle evrendeki birimler 1’den N’ye kadar numaralandırılır ve örneklem hacmi n belirlenir. Daha sonra örnekleme aralığını gösteren k=N/n büyütme
faktörü hesaplanır. 1 ile k arasında bir tam sayı rassal olarak seçilir ve bu seçilen sayı a ile gösterilirse a örnekleme girecek birinci birimin sıra numarası olur. a’ıncı birimi k aralıklarıyla izleyen a+k’ıncı, a+2k’ıncı,..., a+(n-1)k’ıncı sıra nolu birimler örnekleme seçilir ve n hacimli örneklem oluşturulur (S:22 Örnek 18).
Tek ve Çok Amaçlı Küme Örneklemesi, evrendeki birimlerin homojen, hacimlerinin çok büyük ve geniş coğrafi alana yayılmış olmaları ya da örnekleme girecek birimlere ilişkin bir çerçeve oluşturmanın mümkün olmadığı durumlarda tercih edilmesi gereken yöntemlerdir. Tek aşamalı küme örneklemesinin uygulanabilmesi için öncelikle ilgili evrendeki birimler genellikle coğrafi kritere göre kümelere ayrılır. Bu, birinci düzey kümelemedir. Kümeler doğal olarak bir mekanda var olan birimlerden oluşur. Küme sayısı M simgesiyle gösterilir. Daha sonra kümeler arasından rassal seçimle m sayıda küme seçilir. Seçilen kümelerdeki birimlerin toplamı tek aşamalı küme hacmini gösterir (S:24, Örnek 19).
Örnekleme Dağılımları
N sonlu bir evrenden rassal olarak n hacimli bir örneklem değil de mümkün aynı hacimli bütün örneklemleri seçtiğimiz ve her örneklem için bir istatistik hesapladığımızda meydana gelen dağılıma örnekleme dağılımı denir.
Ortalamanın (𝑿′ nın) Örnekleme Dağılımı, tanımlanan evrenden 𝑛 hacimli bir rassal örneklem değil de, aynı hacimli 𝐶! sayıdaki mümkün rassal örnekler seçildiği ve ! her mümkün örneklem için 𝑋 hesaplandığı
varsayıldığında 𝑋! dan oluşan frekans dağılımıdır (S:26, Örnek 20).
𝑋 rassal değişkeninin örnekleme dağılımın özellikleri, bu dağılımın ortalaması μ ve standart sapması 𝜎! ile
açıklanır. 𝑋 rassal değişkeninin örnekleme dağılımının
ortalaması 𝐸(𝑋) ile gösterilirse 𝐸 𝑋 = μ yazılabilir.
Örneklem hacmi 𝑛 artıkça 𝑋 nın örnekleme dağılımının ortalaması evren ortalamasına yaklaşır. Örneklem hacmi
artıkça 𝑋nın dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Evrenin dağılım şekli çarpık bir dağılım bile gösterse, örneklem
hacmi arttıkça 𝑋 dağılımı normal dağılıma yaklaşır.
𝑋 nın örnekleme dağılımın standart hatası 𝜎! ile gösterilir. Standart hata evren standart sapması σ ya ve örneklem hacmi 𝑛 ye bağlıdır. Örneklem hacmi arttıkça, örneklem istatistiğinden yararlanarak μ hakkında daha az hatalı, daha güvenilir bilgi üretmek mümkün olur. Örneklem hacminin karekökü ile standart sapma arasında ters yönde ilişki vardır. Evren, sonsuz bir evren ise veya sonlu fakat basit rassal örneklemede birim seçimi iadeli seçimle ! ! yapılıyorsa veya 𝑛 ≥ 30 veya < 0,05 ise 𝜎! = ile ! ! hesaplanır. Evren standart sapması genelde bilinmediğinden 𝜎! hesaplanırken yansız bir tahminleyici olan örneklem standart sapması s kullanılır. 𝑠! ile
! !!!! ! gösterilir ve 𝑠! = 𝑠 = ile hesaplanır. Eğer ! !!! ilgilenilen evren sonlu bir evren ve n/N ≥ 0,05 ise
! !!! standart hata 𝑠! = ile hesaplanır. ! !!!
Merkezi Limit Teoremi, evrenin dağılım şekli ne olursa olsun, basit bir rassal örneklem hacmi büyüdükçe 𝑋’nın örnekleme dağılımının normal dağılıma yaklaştığını ifade eder. Eğer 𝑋, ortalaması μ ve varyansı σ2 olan normal
dağılımlı bir evrenden seçilmiş n hacimli basit bir rassal örneklemin ortalaması ise 𝑋 ’nın örnekleme dağılımı ortalaması μ ve varyansı σ2/n olan bir normal dağılımdır.
Bir rassal değişken olan 𝑋’nın dağılımı normal olduğunda !!! bu değişkenin aldığı 𝑋! değerleri, 𝑧! = ile ! ! standartlaştırılır. Böylece, normal dağılım özellikleri kullanır.
Örnekleme Oranı p’nin Örnekleme Dağılımı, evren oranı, evrenin birimleri içindeki ilgilenilen türden özelliğe sahip olanların oranı biçiminde tanımlanır ve π ile gösterilir. Hacmi n olan bir basit rassal örneklemden, bu örneklemin seçildiği evrenin π parametresi hakkında bilgi sahibi olabilmek için iki örneklem istatistiği vardır. İlki, hacmi n olan bir basit rassal örneklemdeki ilgilenilen türden özelliğe sahip olan birimlerin sayısıdır ve r ile gösterilir. İkincisi, ilgilenilen türden özelliğe sahip olan örneklemdeki birimlerin oranıdır, bu örneklem oranı p ile ! gösterilir ve 𝑝 = eşitliği ile hesaplanır. Örneklemi ! oluşturan birimler arasından ilgilenilen türden sonuca sahip olmayan birimlerin oranı q ile gösterilir ve q=1-p ile hesaplanır. Evren oranına ilişkin varyans, 𝜎! = 𝜋 1 − 𝜋 ile örneklem oranına ilişkin varyans 𝑠! = 𝑝 1 − 𝑝 ile
hesaplanır. Oranların örnekleme dağılımı, bir evrenden seçilebilecek aynı hacimli mümkün bütün örneklemeler için hesaplanan örneklem oranlarının oluşturduğu dağılımdır. Sonsuz bir evrenden seçilen n hacimli basit bir rassal örneklem için hesaplanan p oranının örnekleme dağılımının aritmetik ortalaması μp evren oranı π’ye eşittir. Sonsuz evren ya da n/N<0,05 olan bütün sonlu evrenlere uygulanan basit rassal örnekleme planın örneklem oranı p2nin dağılımının varyansı 𝜎! ile ! ! ! !!! gösterilir. Eğer evren varyansı biliniyorsa 𝜎! = ile, ! ! ! !!! evren varyansı bilinmiyorsa 𝑠! = ile hesaplanır. ! Oranların örnekleme dağılımının şekli eğer 𝐸 𝑝 = 𝜋 < 0,5 ise sağa çarpık, 𝐸 𝑝 = 𝜋 > 0,5 ise sola çarpık ve 𝐸 𝑝 = 𝜋 = 0,5 ise simetrik bir dağılım gösterir. Merkezi limit teoremine göre bir örnekleme planında seçilen basit rassal örneklem hacmi n büyürken örneklem oranı p’nin örnekleme dağılımı normal dağılıma yakınlaşır. Eğer 𝑛𝜋 ≥ 5 ve 𝑛 1 − 𝜋 ≥ 5 ise örneklem büyüklüğü yeterli kabul edilir. Ayrıca 𝑛 ≥ 30 ve π ‘nin 0 ve 1’e yakın değerler almaması durumu oranların örnekleme dağılımını !!! normale yaklaştırır. Bu durumda 𝑍 = dönüşümü ile !! normal dağılımın özelliklerinden yararlanılır.
İki Örneklem İstatistiği Arasındaki Farkın Örnekleme Dağılımı, tanımlanan 𝑁! ve 𝑁! hacimli iki ayrı evrenden birbirinden bağımsız ve rassal sırasıyla 𝑛! ve 𝑛! hacimli farklı mümkün örneklemler seçilir, bu örneklemler için 𝜃!! ve 𝜃!! istatistiklerinden oluşan iki ayrı örneklem istatistiği dağılımı elde edilir ve bu iki dağılımın hesaplanan istatistik değerlerinin ikişerli kombinasyonları için farklar hesaplandığındaki ortaya çıkan dağılımdır.
𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 ’nin Örnekleme Dağılımı, tanımlanan 𝑁! ve 𝑁! hacimli iki ayrı evrenden birbirinden bağımsız ve rassal sırasıyla 𝑛! ve 𝑛! hacimli farklı mümkün
örneklemler seçilir, bu örneklemler için 𝑋!! ve 𝑋!! örnekleme dağılımlarından oluşturulan ortalamaların ikişerli kombinasyonları için farkların hesaplanacağı düşünülürse, bu farkların meydana getireceği teorik dağılıma ortalama farkların örnekleme dağılımı denir.
Farklı evrenlerden birbirinden bağımsız ve rassal olarak
seçilen 𝑛! ve 𝑛! hacimli rassal örneklemlerin 𝑋! 𝑣𝑒 𝑋!
ortalamaları arasındaki 𝑋! − 𝑋! farkın beklenen değeri iki evren ortalaması arasındaki 𝜇! − 𝜇! farkına eşittir.
𝑋! − 𝑋! ’nın standart hatası bu istatistiğin örnekleme dağılımın değişkenliğini gösteren bir ölçüdür ve evrenin standart sapmaları 𝜎! ve 𝜎! biliniyorsa 𝜎!!!!! ile
bilinmiyorsa 𝑠!!!!! simgeleri ile gösterilir. Tanımlanan her iki evrenin ilgilenilen bir değişken itibariyle aldığı değerlerin dağılımı normal ise veya her iki evrenden 𝑛! ≥ 30 VE 𝑛! ≥ 30 olmak üzere birbirinden bağımsız
örneklemler seçilmiş ise 𝑋! − 𝑋! ’nın örnekleme !!! !!! dağılımı normal olur. Standart hatası 𝜎!!!!! = + !! !! !!! !!! veya 𝑠!!!!! = + eşitlikleriyle hesaplanır. !! !!
𝑋! − 𝑋! ’nın dağılımının normal olması durumunda bu !!!!! dağılımın 𝑍 = standart değerlerinin dağılımı olan !!!!!! standart normal dağılım özelliklerine sahip olur. Ortalamaları μ1 ve μ2 olan normal dağılıma sahip evrenlerden sırasıyla n1<30 ve n2<30 birim olmak üzere
bağımsız rassal örneklemler seçilmiş ise 𝑋! − 𝑋! ’nın
örnekleme dağılımının standart hatası 𝑠!!!!! = !!!!!!!!!!! ! ! + ile hesaplanır. !!!!!!! !! !!
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 ’nin Örnekleme Dağılımı, 𝑁! ve 𝑁! hacimli iki ayrı evrenden birbirinden bağımsız ve rassal sırasıyla 𝑛! ve 𝑛! hacimli farklı mümkün örneklemler için hesaplanan istatistiklerin sırasıyla 𝑝!! ve 𝑝!! örnekleme dağılımları oluşturulduğunda, bu iki dağılımın hesaplanan istatistiklerinin ikişerleri kombinasyonları arasındaki farkların teorik dağılımı 𝑝! − 𝑝! ’nin örnekleme dağılımıdır.
𝑝! − 𝑝! ’nin örnekleme dağılımının ortalaması 𝜇!!!!!
ile gösterilir ve 𝐸 𝑝! − 𝑝! = 𝜇!!!!! = 𝜋! − 𝜋! yazılır.
𝑝! − 𝑝!’nin örnekleme dağılımının standart hatası evren !! !!!! !! !!!! oranları bilinmiyorsa 𝑠!!!!! = + ile !! !!
!! !!!! !! !!!! evren oranları biliniyorsa 𝜎!!!!! = + !! !! ile hesaplanır. 𝑝! − 𝑝! ’nin örnekleme dağılımı normal dağılım özelliği taşırsa Z istatistiğinden yararlanılabilir. Bu istatistik
!!!!! 𝑍 = ile hesaplanır. !!!!!!