İstatistik I — Ünite 8 Soru-Cevap

Sürekli rassal değişkeni, bir aralıktaki tüm gerçek sayıları içeren değişkendir. Sürekli rassal değişken için bir sayı aralığı ya da aralıklar kümesi üzerinde herhangi bir sayısal değer alabilen rassal değişkendir tanımı yapılabilir.

Kesikli rassal değişkenlerdeki olasılık fonksiyonu karşılığı sürekli rassal değişkenlerde olasılık yoğunluk fonksiyonudur. X sürekli rassal değişkenini olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) simgesi ile gösterilir. Sürekli rassal değişkenler için olasılık hesaplanırken, rassal değişkenin belli bir aralıkta yer alma olasılığı hesaplandığı için rassal değişkenin tanım bölgesinde yer alan belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun altında kalan alan, X sürekli rassal değişkeninin belirlenen aralıkta bir değer alma olasılığını verir.

• x’in tanım bölgesindeki tüm değerleri için olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) sıfıra eşit ya da daha
büyük değerler almalıdır. Bu durum f (x) ≥ 0 ile gösterilir.
• x’in tanım bölgesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) altında kalan toplam alan 1’e eşittir. 

= 1

• x’in tanım bölgesindeki a ve b noktaları arasındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), a ve b noktaları arasındaki alanı tanımlar. Bu durum

P(a≤ X ≤b)=  ile gösterilir.

Kümülatif dağılım fonksiyonu, x’in özel bir rassal değerine eşit veya daha küçük olan sürekli rassal değişkenler için kümülatif (birikimli) bir olasılık değeri olduğunu gösterir. X sürekli rassal değişkenine ilişkin kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır.
• Kümülatif dağılım fonksiyonu 0 ve 1 değerleri arasında yer alır. Bu durum 0 ≤ F (x) ≤ 1 ile gösterilir.
• Eğer b, a’ya eşit veya daha büyükse kümülatif yoğunluk fonksiyonlarındaki değerleri de aynı olur.
Burum a ≤ b ise F (a) ≤ F (b) ile gösterilir.

Aşağıdaki şekilde hesaplanır

Verilen bu olasılık yoğunluk fonksiyonun X rassal değişkeni için üç farklı aralıkta kümülatif dağılım fonksiyonu olduğu aşağıdaki gibi değerlendirilebilir.

• x’in sıfırdan küçük olduğu durumlar için (x < 0) olasılık yoğunluk fonksiyonu sıfıra eşit olacaktır (f(x) = 0). Bu, kümülatif dağılım fonksiyonunun da sıfırdan küçük durumlarda sıfıra eşit olduğu anlamındadır (F(x) = 0).

• x’in 0 ile 10 arasında olduğu durumlar için (0 ≤ x ≤ 10) integrali alındığında kümülatif dağılım fonksiyonu 0.2x olacaktır (F(x) = 0.2x).

F(x)= f(t) dt= 0.2dt=0.2x, 0 ≤x≤10

• x’in 10’dan büyük olduğu durumlar için (x > 10) integrali alındığında kümülatif dağılım fonksiyonu 1’e eşit olacaktır

(F(x) = 1). F (x)= f (t) dt= 0.2dt=1, x>10

Bu sonuçlara göre X sürekli rassal değişkeninin kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.

Beklenen değer E(X) ya da μ ile gösterilir.

X sürekli rassal değişkeninin varyansı ise aşağıdaki gibi hesaplanır. Varyans V(x) ya da σ² ile gösterilir.

Beklenen değer: 

Varyans

Çeşitli kaynaklarda Düzgün dağılım ya da Uniform dağılım adı altında da anlatılmıştır. Sürekli olasılık dağılımlarının en basiti olan Tekdüze dağılım, belirli bir aralık içinde eşit şansa sahip olduğu varsayılan bir rassal değişkenin değerini tanımlar. Diğer bir ifadeyle Tekdüze dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), X sürekli rassal değişkeninin tanımlı aralığı boyunca sabit bir değer alır. 

Tekdüze dağılımda olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) belli bir aralıkta sabit bir değer almaktadır.

a, X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en küçük değeri; b, X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en büyük değeri göstermek üzere;

Bu olasılık fonksiyonuna ilişkin grafik ise aşağıdaki gibidir:

P( X ≥10)=

%30 olasılıkla 10 dakika ve daha fazla beklenecek

µ=E(x) = a+b/2 = 8

Standart sapma = Karekök((b-a)²/12))=2.89

Normal dağılım.

Normal dağılımın sürekli olasılık dağılımları içinde en çok kullanılmasının nedeni sosyoloji, iktisat, yönetim, tıp, fizik, biyoloji vb. gibi birçok alanda gerçek yaşam içinde yer alan değişkenlerin birçoğunun dağılımlarının  normal ya da normale yaklaşık olarak gözlenmesidir. Örneğin yeni doğan bir bebeğin kilosu, yatırım yapan bir şirketin bu yatırımında elde ettiği kar oranı, bir hücrenin bölünme hızı, bir otomobil aküsünün ömrü normal dağılma sahip sürekli rassal değişkenler olarak ele alınabilir. Bununla beraber istatistik teorisinde de çıkarsama için temel sağlar

• Normal dağılımda aritmetik ortalama µ ve standart sapma σ olmak üzere iki adet bilinmeyen parametre bulunur.
• Normal dağılımın aritmetik ortalama mod ve medyan değeri dağılım eğrisinin en yüksek noktasına
karşılık gelen ve birbirine eşit olan rassal değişkenin istatistik değerleridir.
• Dağılımın aritmetik ortalaması, negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir.

• Normal dağılım eğrisi, aritmetik ortalama, mod ve medyan değerlerine göre simetrik bir görünümdedir. Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru düzgün bir şekilde azalır. Eğrinin
kuyrukları yatay eksene gittikçe yaklaşır, ancak teorik olarak hiçbir zaman yatay eksenle kesişmez.
Eğri simetrik olduğundan, dağılımın çarpıklık ölçüsü sıfıra eşittir.
• Standart sapma eğrinin şeklinin ne kadar sivri ve dar olduğunu belirleyen bir değerdir. Standart
sapma değeri küçüldükçe eğri daha sivri ve dar bir görünüm alır. Bu durum verilerdeki değişkenliğin azalması anlamını taşır. Bunun aksi durumda standart sapma değeri büyüdükçe eğri daha
yassı ve geniş bir görünüm alır. Bu durum verilerdeki değişkenliğin yüksek olduğunu gösterir.

• Normal dağılıma sahip bir rassal değişkene ilişkin olasılıklar, normal dağılım eğrisi altında kalan
alanların büyüklüğünün belirlenmesi yoluyla hesaplanır. Normal dağılım için eğrinin altında kalan
toplam alan 1’e eşittir. Dağılım simetrik olduğundan, aritmetik ortalamanın sağında ve solunda
kalan yarı alanların büyüklüğü 0,50’ye eşittir.
• Normal dağılımda aritmetik ortalama ve standart sapma arasındaki bağlantı kullanılarak ortalamadan ne kadar uzaklaşılırsa bu değere ilişkin alan büyüklüğü hesaplanabilir.
• Aritmetik ortalamadan 1σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar
%34,13’ tür ve yarı alanların toplamları %68,26 olarak bulunur.
• Aritmetik ortalamadan 2σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar
%47,72’ dir ve yarı alanların toplamları %95,44 olarak bulunur.
• Aritmetik ortalamadan 3σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar
%49,87’ dir ve yarı alanların toplamları %99,74 olarak bulunur.

Normal dağılıma sahip X sürekli rassal değişkenin grafiği ise aşağıdaki gibidir:

μ + - 2 σ

45-2.3=39

45+2.3=51

39 ile 51 aralığında

Normal dağılıma sahip X sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alanı
hesaplama Tekdüze dağılımındaki kadar kolay bir işlem değildir. Bu olasılık hesaplarını kolayca yapmak ve Normal dağılım eğrisinin altında kalan alanı pratik olarak hesaplamak için Normal dağılımın özel bir durumu olan Standart Normal dağılım kullanılır.
Normal dağılımlı bir X sürekli rassal değişkenin aritmetik ortalaması 0 (sıfır) ve standart sapması 1 ise Standart Normal dağılıma sahiptir denilebilir ve Z~N (0,1) ile ifade edilir.

Aşağıdaki eşitlik yardımıyla normal dağılımdaki her bir veri noktası bire bir z değerine dönüştürülebilir.

P(-0.55 ≤ z ≤ 2.23)

Sayfa 204'te yer alan Standart Normal Dağılım Eğri Altında Kalan Alanlar tablosu incelenmelidir.

Tablonun nasıl okunacağı sayfa 205'te detaylı olarak açıklanmıştır.

z = -0.55 ile z = 2.23 noktaları arasında kalan taralı bölgenin alanını bulabilmek için z tablosunda ilk olarak z = 0 ile z = 0.55 arasında kalan bölge alanı belirlenmeli, sonrasında z = 0 ile z = 2.23 arasındaki bölgenin alanı belirlenerek iki bölgenin alanı toplanmalıdır.

Normal dağılım eğrisi simetriklik özelliği göstermesi nedeniyle alan dikkate alındığında z değerinin pozitif ya da negatif olması fark yaratmamaktadır. Bu durumda z = -0.55 ile z = 0 arasında kalan alan ile z = 0 ile z = 0.55 arasında kalan alan birbirine eşittir. Buradan hareketle, z =0.55 ile z = 0 arasında kalan bölgenin alanı tablodan z değerinin ilk iki basamağını oluşturan 0.5 satırı ile
bu satırdaki son basamak değeri 0.05 sütununun kesiştiği 0.2088 değeri olarak görülür.

Diğer alan değeri için de aynı işlemi tekrarladığımızda, z = 0 ile z = 2.23 arasında kalan bölgenin alanı tablodan 2.23’ ün ilk iki basamak değeri 2.2 ile aynı satırdaki 0.03 sütununun kesiştiği yerde 0.4871 olarak görülür. z değerinin -0.55 ile 2.23 aralığında yer alma olasılığı bu durumda belirlenen iki alan değerinin toplamıdır.

0.2088+0.4871= 0.6959

P (0 ≤ z ≤ 1.35)

0.4115

Sayfa 204'te yer alan z tablosundan okunan değer 0.4115'tir.

P (58 ≤ x ≤ 60)

z=58-56/4=0.5        z=60-56/4=1

P (0.5 ≤ x ≤ 1)

X sürekli rassal değişkeninin 58 ile 60 arasında bulunma olasılığı Z ‘nin 0.5 ile 1 arasında bulunma
olasılığına eşit olur. Standart Normal dağılım tablosunda z = 0.5 ile z = 1 arasında kalan bölge

0.3413 - 0,1915 =  0.1498 olarak hesaplanır. 

z=(800-750)/25 = 2

p(x>2) = 0.5-0.4772 = 0.0228

800 gr'den daha ağır ürün çıkma olasılığı %2.28 olarak hesaplanmıştır.