İstatistik I — Ünite 7 Soru-Cevap

Rassal değişken, bir deneyin herhangi bir olası sonucunun sayısal değeri olarak tanımlanabilir. Deney, kontrol altında tutulabilen ve belli koşullarda tekrarlanabilen işlemdir. Bir rassal değişkeni diğer değişkenlerden ayıran özellik, almış olduğu değerleri belli olasılıkla almasıdır.

Kesikli rassal değişken 0, 1, 2, … gibi sonlu ya da sayılabilir sonsuz ve tam sayı özellikli değerler alan değişkendir. Kesikli rassal değişkenin aldığı herhangi iki değeri arasına tam sayı özellikli olması nedeniyle tam sayı özellikli olmayan kesirli bir değer diğer bir deyişle ondalıklı bir değer ya da değerler alamaz.

Kesikli bir rassal değişkenin alabileceği bütün değerler ve bu değerlerin her birine karşılık gelen olasılıklar olasılık fonksiyonu adı verilen bir fonksiyonla gösterilir ve P(X) simgesi ile ifade edilir. Kesikli rassal bir değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıda verilen koşulları sağlamalıdır:
• Kesikli rassal değişkenin her bir değerinin olasılığı 0 ile 1 değerleri arasındadır. 
0 ≤ P(X=x) ≤1
• Kesikli rassal değişkenin her bir değerinin olasılıkları toplamı 1’e eşittir. 
∑_x P(X=x) =1

0.10 + 0.20 + 0.25 + 0.15 + 0.12 = 0.82

P(X=4) = 1-0.82 = 0.18

0.18 olmalıdır.

Kümülatif dağılım fonksiyonu, x’den küçük veya eşit olan ve değişim aralığı içinde bulunan bütün değerlere karşılık gelen olasılıkların toplanacağını gösteren fonksiyondur.

X kesikli rassal değişkeni kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu F(X) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

P(X=2) + P (X=3) + P(X=4)
=0.25 + 0.15 + 0.18
= 0.58

Beklenen değer, tanımlayıcı istatistikteki en önemli kavramlardan biridir ve ana kütle ortalaması olarak bilinmektedir. E(X) veya μ ile gösterilen kesikli rassal değişken X’in beklenen değeri, X’in tüm olası değerlerinin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Aritmetik ortalama, kesikli olasılık dağılımının orta noktasının veya merkezinin bir ölçüsünü verir. Aşağıdaki formülle hesaplanır:

Rassal değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, aritmetik ortalama etrafında kümelenip kümelenmediğini gösteren ölçüye varyans adı verilir. Varyans V(x) veya σ² ile gösterilir. Aşağıdaki formülle hesaplanır:

Varyansın karekök değeri standart sapmaya eşittir ve σ simgesi ile gösterilir

P (X = 0) =0.65

P (X = 1) =0.29

P (X = 2) = 0.06

E(X)= (0)(0.65) + (1)(0.29) + (2)(0.06) = 0.41

Fabrikadan çıkan bir üründeki ortalama (beklenen) hatası sayısı olasılığı 0.41, diğer bir ifadeyle %41 olur.

• Yapılacak n adet deneme, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır.
• Yapılacak her denemenin sonunda var olan iki sonuçtan birisi ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan
birisi ilgilenilen durum, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen durumdur (başarılı-başarısız, var-yok, ölü-sağ, pozitif-negatif  gibi ikili değerler)
• Tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p ve bunun tersi durumunun olasılığı q tüm denemelerde aynı kalmalıdır.
• Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır. Bir denemenin sonucu, diğer bir denemenin sonucunu etkilememelidir.
• X kesikli rassal değişkeni, n bağımsız denemede gözlenen istenen durum sayısını belirtir.

Binom denemesinin özelliklerine göre n denemede x adet istenen durum ortaya çıkması olasılığının hesaplanması için Binom dağılımının olasılık fonksiyonu kullanılır.

İncelenen durum Binom deneyi özelliklerini sağlıyorsa ve bu deney için n ve p değerleri biliniyorsa, bu n sayıda denemede ilgilenilen durumun x kez ortaya çıkma olasılığının hesaplanabilmesi için Binom olasılık fonksiyonundan yararlanılır.

Binom dağılımında birden fazla deneme aynı koşullarda tekrarlanmaktadır. Eğer deneme yalnızca bir kez yapılıyorsa, bu tek denemede ilgilenilen sonuçlardan birinin ya da diğerinin gerçekleşme olasılığını veren deneye Bernoulli deneyi adı verilir.

Binom denemesi özelliklerinden denemelerin n defa yapılıyor olması koşulu haricinde diğer özellikler sağlanıyorsa bu deneme Bernoulli deneyi olur

P(X = 4) = (5! / 4!.1!).(0.68)⁴.(0.32)¹

=0.342

5 kişiden 4'ü yaklaşık %32 olasılıkla sertifika almaya hak kazanmış olacaktır.

p=7/10=0.70

P(X=4)= (4!/4!.0!)(0.70)⁴(0.30)⁰

=0.2401

Dört müşterinin dördünün de A ürününü tercih etme olasılığı yaklaşık %24'tür.

Beklenen değer n*p formülü ile hesaplanmaktadır: 4*0.70 = 2.8

Varyans n*p*(1-p) ile hesaplanmaktadır: 4*0.70*0.30 = 0.84

Standart sapma ise varyansın kareköküdür: 0.917

Bu sonuçlara göre ilgili mağazadan ortalama 2,8 (≅ 3) kişi A ürününü tercih etmektedir ve müşteri sayısı ortalamadan (pozitif ya da negatif yönde) 0,917 (≅ 1) kişi sapma göstermektedir denilebilir.

• Sonuçların gerçekleşmesi arasında ilişki yoktur. Diğer bir deyişle farklı zaman ya da mekân dilimlerinde gerçekleşen ilgilenilen türden sonuçlar bağımsızdır.
• Verilen çok küçük bir zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun bir defa gerçekleşme olasılığı değişmemekte ve bu olasılığın %5’ten küçük olduğu eşitsizliğine uymaktadır.
• Zamanın ya da mekânın ilgilenilen türden olayın gerçekleşmesine yetecek kadar büyük olmaması
nedeniyle birden fazla olayın gerçekleşmesi mümkün değildir.
• n tane deney sayısı sonsuza yaklaşmalıdır.
• Belirli bir zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı λ
(Lambda) sabittir ve kesirli (ondalıklı) bir sayı olabilir.

X kesikli rassal değişkeni Poisson dağılımına sahip ise bu değişken için olasılık fonksiyonu, belirli bir
zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı sıfırdan büyük (λ > 0) olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır:

λ = 120/60=2

P(X=4)= e^-22⁴ / 4! = 0.090

Bir dakikalık sürede 4 çağrı gelmesi olasılığı 0.090, diğer bir ifade ile %9’dur denilebilir.

• Poisson dağılıma sahip X kesikli rassal değişkeninin beklenen değeri (aritmetik ortalaması) ve varyansı λ (lambda) değerine eşit olduğundan beklenen değer (aritmetik ortalama) ve varyans bu
problem için 2 değerine eşit olacaktır. Diğer taraftan standart sapma varyansın kare kökü olduğu
için bu değer 1.41’e eşit olur.

Binom denemelerin bağımsız olması özelliği ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p'nin her denemede sabit olması gerekliliği vardır. Bu varsayımlarım karşılanamadığı durumlarda tesadüfi değişkene ilişkin olasılık hesaplamalarında Hipergeometrik dağılımdan yararlanılır. Hipergeometrik dağılımda denemelerin bağımsız olmaması ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p’ nin her denemede aynı kalmaması söz konusudur. Bu özellikleri nedeniyle hipergeometrik dağılım, çeşitli gerçek yaşam uygulamalarında, özellikle kalite kontrolde kabul örneklemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır.

p=K/N

=15/30=0.5

Beklenen değer = n*p= 3*0.5=1.5