İST201U-İSTATİSTİK I
Ünite 8: Sürekli Olasılık Dağılımları
Giriş
Bir kesikli rastgele değişken tipik olarak bir sayma kavramından oluşur. Diğer yandan sürekli rastgele değişkenler bir aralıktaki tüm sonsuz değerleri temsil eder. Bu nedenle sürekli rastgele değişkenler genellikle sayılmak yerine ölçülerek elde edilir.
Sürekli rassal değişkenler için olasılık dağılımı, sürekli rassal değişkenin beklenen değeri ve varyansı başlıklarına yer verilecek ve istatistikte günlük hayatta sıkça kullanılan sürekli olasılık dağılımları Tekdüze dağılım, Normal dağılım ve Standart Normal dağılım incelenecektir.
Sürekli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Sürekli ve kesikli rassal değişkenler arasındaki en büyük fark, sürekli rassal değişkenin belirli bir aralıkta sayılamayan ve sonsuz sayıda olası sonucu almasıdır. Sürekli rassal değişken için bir sayı aralığı ya da aralıklar kümesi üzerinde herhangi bir sayısal değer alabilen rassal değişkendir tanımı yapılabilir. Belirli bir sayı aralığında X sürekli rassal değişkeninin olasılığının hesaplanmasının nedeni, X sürekli rassal değişkeninin olası her bir değeri için olasılık hesaplanmasının söz konusu olmamasıdır.
Kesikli rassal değişkenlerdeki olasılık fonksiyonu karşılığı sürekli rassal değişkenlerde olasılık yoğunluk fonksiyonudur. X sürekli rassal değişkenini olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) simgesi ile gösterilir. Sürekli rassal değişkenler için olasılık hesaplanırken, rassal değişkenin belli bir aralıkta yer alma olasılığı hesaplandığı için rassal değişkenin tanım bölgesinde yer alan belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun altında kalan alan, X sürekli rassal değişkeninin belirlenen aralıkta bir değer alma olasılığını verir. Bu nedenle tek bir noktada f(x) fonksiyonunun altında kalan alan sıfır olacağı için sürekli rassal değişkenin tek bir değeri alma olasılığı sıfır olacaktır. Bu durum, X sürekli rassal değişkenin herhangi bir aralıkta değer alma olasılığı hesaplanırken aralığın alt ve üst sınır değerlerinin dahil edilip edilmemesinin herhangi bir fark yaratmayacağı anlamını taşır. Diğer taraftan olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), rastgele değişkenin fiziksel özelliklerini tanımlar ve aynı zamanda X sürekli rassal değişkeninin dağılım şeklini de belirler.
X sürekli rassal değişkenine ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır.
• x’in tanım bölgesindeki tüm değerleri için olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) sıfıra eşit ya da daha büyük değerler almalıdır. Bu durum f (x) ≥ 0 ile gösterilir. • x’in tanım bölgesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) altında kalan toplam alan 1’e ! eşittir. Bu durum ∫" ! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 1 ile gösterilir.
• x’in tanım bölgesindeki a ve b noktaları arasındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), a ve b noktaları arasındaki alanı tanımlar ve # 𝑃(a ≤ X ≤ b) = ∫$ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥ile gösterilir.
X sürekli bir rassal değişkeni için herhangi iki a ve b noktası için bu özellik şu şekilde yazılabilir.
P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b)= P (a < X ≤ b) = P (a < X < b)
İkinci koşul olan x’in tanım bölgesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) altında kalan toplam alanının 1’e eşit olması, tüm sürekli olasılık dağılımları için geçerlidir ve kesikli olasılık fonksiyonları için olasılıklar toplamının 1’e eşit olması koşulunun sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu durumundaki karşılığıdır.
X sürekli rassal değişkeninin herhangi a ve b (a ≤ b) gerçel sayıları arasında olması olasılığı eğrinin altında kalan taralı bölgenin alanına eşittir. Bu olasılık 𝑃(a ≤ X ≤ b) = # ∫$ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥integralinin hesaplanmasıyla bulunur.
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
X sürekli rassal değişkeninin kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.
% 𝐹(𝑥) = 𝑃( X ≤ x) = 1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, −∞ < 𝑥 < ∞ "!
Kümülatif dağılım fonksiyonu, x’in özel bir rassal değerine eşit veya daha küçük olan sürekli rassal değişkenler için kümülatif (birikimli) bir olasılık değeri olduğunu gösterir. X sürekli rassal değişkenine ilişkin kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır.
• Kümülatif dağılım fonksiyonu 0 ve 1 değerleri arasında yer alır. 0 ≤ F (x) ≤ 1 • Eğer b, a’ya eşit veya daha büyükse kümülatif yoğunluk fonksiyonlarındaki değerleri de aynı olur. a ≤ b ise F (a) ≤ F (b)
Sürekli Rassal Değişkenin Beklenen Değeri ve Varyansı
X sürekli rassal değişkeni için aritmetik ortalamanın (beklenen değer) ve varyansın hesaplanması işleminde integral kullanılır. X sürekli rassal değişkeninin aritmetik ortalaması (beklenen değeri) aşağıdaki gibi hesaplanır. Beklenen değer E(X) ya da μ ile gösterilir.
! 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 1 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 "!
X sürekli rassal değişkeninin varyansı ise aşağıdaki gibi hesaplanır. Varyans V(x) ya da σ2 ile gösterilir.
" " 𝜎! = 𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑋 − 𝜇)! = + (𝑥 − 𝜇)!𝑓(𝑥)𝑑𝑥= + 𝑥!𝑓(𝑥)𝑑𝑥− 𝜇! #" #"
Varyans eşitliğindeki son kısım aşağıdaki gibi de gösterilebilir.
V (X) = E (X2) – [E (X)]2
Varyansın karekök değeri standart sapmayı verir.
Sürekli Olasılık Dağılımları
Tekdüze Dağılım
Tekdüze dağılım çeşitli kaynaklarda Düzgün dağılım ya da Uniform dağılım adı altında da anlatılmıştır. Sürekli olasılık dağılımlarının en basiti olan Tekdüze dağılım, belirli bir aralık içinde eşit şansa sahip olduğu varsayılan bir rassal değişkenin değerini tanımlar. Diğer bir ifadeyle Tekdüze dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), X sürekli rassal değişkeninin tanımlı aralığı boyunca sabit bir değer alır. Tekdüze dağılıma sahip X rassal değişkeni ile X~U (a, b) ifade edilir. Bu ifadedeki a, X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en küçük değeri gösterirken b, X sürekli rassal değişkeninin alabileceği en büyük değeri gösterir. X sürekli rassal değişkeninin olasılığı ile (a, b) aralığı orantılıysa bu rassal değişken Tekdüze dağılıma sahiptir denilebilir. Tekdüze dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
1 ( ) , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑖ç𝑖𝑛 𝑓 𝑥 = :𝑏 − 𝑎 0 , 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟 𝑖ç𝑖𝑛
Tekdüze dağılıma sahip bir X sürekli rassal değişkenine ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu grafiği kitabınız sayfa 198’de Şekil 8.4’te verilmiştir.
Bu grafikten, Tekdüze dağılıma sahip X sürekli rassal değişkenine ilişkin olasılık yoğunluk fonksiyonu grafiğinde a değerinin en küçük ve b değerinin en büyük değer olduğu, a ve b değerleri dışında kalan x değerleri için Tekdüze dağılıma sahip f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu görülmektedir. Grafikten de anlaşılacağı gibi a ve b’nin farklı değerleri farklı bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna neden olur. Bunlarla beraber Tekdüze dağılım sürekli olasılık dağılımlarına ilişkin daha önce verilen iki özelliği de sağlayan bir olasılık dağılımıdır. Diğer bir deyişle olasılık yoğunluk fonksiyonu tüm x değerleri için pozitif değeler alır (f (x) ≥ 0) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu altında a ve b noktaları arasında kalan alan 1’e eşittir.
Normal Dağılım
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından geliştirilen Normal dağılım, Gauss dağılımı ya da çan eğrisi olarak da adlandırılır. Sürekli olasılık dağılımları içinde en çok kullanılmasının nedeni sosyoloji, iktisat, yönetim, tıp, fizik, biyoloji vb. gibi birçok alanda gerçek yaşam içinde yer alan değişkenlerin birçoğunun dağılımlarının normal ya da normale yaklaşık olarak gözlenmesidir. Bununla beraber istatistik teorisinde de çıkarsama için temel sağlar.
Normal dağılım gösteren X sürekli rassal değişkeni X ~ N(μ, σ) ile ifade edilir. Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
1 "(%"()! 𝑓(𝑥) = 𝑒 &*! , −∞ < 𝑥 < ∞ √2𝜋𝜎&
Normal dağılımın özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Normal dağılımda aritmetik ortalama μ ve standart sapma σ olmak üzere iki adet bilinmeyen parametre bulunur. • Normal dağılımın aritmetik ortalama mod ve medyan değeri dağılım eğrisinin en yüksek noktasına karşılık gelen ve birbirine eşit olan rassal değişkenin istatistik değerleridir. • Dağılımın aritmetik ortalaması, negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir. Kitabınız sayfa 201’de Şekil 8.6’da aynı standart sapmalı ancak farklı aritmetik ortalamalı üç normal dağılım eğrisi görülmektedir. • Normal dağılım eğrisi, aritmetik ortalama, mod ve medyan değerlerine göre simetrik bir görünümdedir. Dağılım eğrisi, merkez değerinden her iki yöne doğru düzgün bir şekilde azalır. Eğrinin kuyrukları yatay eksene gittikçe yaklaşır, ancak teorik olarak hiçbir zaman yatay eksenle kesişmez. Eğri simetrik olduğundan, dağılımın çarpıklık ölçüsü sıfıra eşittir. • Standart sapma eğrinin şeklinin ne kadar sivri ve dar olduğunu belirleyen bir değerdir. Standart sapma değeri küçüldükçe eğri daha sivri ve dar bir görünüm alır. Bu durum verilerdeki değişkenliğin azalması anlamını taşır. Bunun aksi durumda standart sapma değeri büyüdükçe eğri daha yassı ve geniş bir görünüm alır. Bu durum verilerdeki değişkenliğin yüksek olduğunu gösterir. Kitabınız sayfa 202’de yer alan Şekil 8.7 aynı ortalamalı ancak farklı standart sapmalı dağılımların eğrilerini göstermektedir. • Normal dağılıma sahip bir rassal değişkene ilişkin olasılıklar, normal dağılım eğrisi altında kalan alanların büyüklüğünün belirlenmesi yoluyla hesaplanır. Normal dağılım için eğrinin altında kalan toplam alan 1’e eşittir. Dağılım simetrik olduğundan, aritmetik ortalamanın sağında ve solunda kalan yarı alanların büyüklüğü 0,50’ye eşittir. • Normal dağılımda aritmetik ortalama ve standart sapma arasındaki bağlantı kullanılarak ortalama- dan ne kadar uzaklaşılırsa bu değere ilişkin alan büyüklüğü hesaplanabilir. • Aritmetik ortalamadan 1σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar %34,13’tür ve yarı alanların toplamları %68,26 olarak bulunur. • Aritmetik ortalamadan 2σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar %47,72’dir ve yarı alanların toplamları %95,44 olarak bulunur. • Aritmetik ortalamadan 3σ kadar her iki yönde uzaklaşılırsa noktalarla belirlenen yarı alanlar %49,87’dir ve yarı alanların toplamları %99,74 olarak bulunur.
Ortalamadan her iki yönde 1σ, 2σ ve 3σ uzaklaşılması durumunda belirlenen noktalarla sınırlanan alanlar kitabınız sayfa 202’de yer alan Şekil 8.8’de grafik üzerinde gösterilmiştir.
Standart Normal Dağılım
Normal dağılıma sahip X sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alanı hesaplamak, bu olasılık hesaplarını kolayca yapmak ve Normal dağılım eğrisinin altında kalan alanı pratik olarak hesaplamak için Normal dağılımın özel bir durumu olan Standart Normal dağılım kullanılır.
Normal dağılımlı bir X sürekli rassal değişkenin aritmetik ortalaması 0 (sıfır) ve standart sapması 1 ise Standart Normal dağılıma sahiptir denilebilir ve Z~N (0,1) ile ifade edilir.
Standart Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu Normal dağılım için verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunda μ = 0 ve σ = 1 konularak elde edilir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir.
1 "+! 𝑓(𝑧) = 𝑒 & , −∞ < 𝑥 < ∞ √2𝜋
Diğer sürekli rassal değişkenlerde olduğu gibi herhangi bir Normal dağılım için istenen olasılıklar olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanın belirlenmesi yoluyla hesaplanır. Buna göre normal dağılımlı bir X sürekli rassal değişkenin belirli bir aralıkta yer alma olasılığının bulunabilmesi için ilgili aralık için normal dağılım eğrisinin altında kalan alanın hesaplanması gerekir.
Standart Normal dağılım için dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan yararlanılarak oluşturulan tablo yardımıyla eğrinin altında kalan alanlar hesaplanarak istenen olasılıklar hesaplanabilir. Bu tabloya z tablosu adı verilir. Bu tablo Kitabınız sayfa 204’de yer alan Tablo 8.1 olarak verilmiştir.
Tablodan yararlanılarak üç tür olasılık hesaplamak mümkündür
• Standart normal dağılımlı Z rassal değişkene ait z değerinin belirli bir değerden küçük ya da eşit olma olasılığı, • z değerinin belirli iki değer arasında yer alma olasılığı, • z değerinin belirli bir değerden büyük ya da eşit olma olasılığı.
Standart Normal dağılım eğrisi altında kalan alanları integral işlemi yapmadan hesaplayabilmek için bir standardizasyon işlemi gereklidir. Normal dağılımdan Standart Normal dağılma geçiş için standardizasyon işlemi aşağıdaki eşitlik yardımıyla gerçekleştirilir.
𝑥 − 𝜇 𝑧 = 𝜎
Bu eşitlik aracılığıyla Normal dağılımdaki her bir veri noktası bire bir z değerine dönüştürülebilir.