İST201U-İSTATİSTİK I
Ünite 7: Kesikli Olasılık Dağılımları
Giriş
Karar vericilerin bir durum hakkında sınırlı bilgi ile olası riskleri analiz etmesine ve bu riskleri en aza indirgeyerek karar vermesine olasılık kuramı olanak tanır.
Kesikli olasılık dağılımları ünitesinde öncelikle rassal değişken ve olasılık dağılımı kavramları açıklanacak, kesikli rassal değişenler için olasılık dağılımı, beklenen değer, rassal değişkenin varyansı ve kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu hakkında bilgi verilecek ve önemli kesikli olasılık dağılımlarından Binom dağılımı, Poisson dağılımı ve Hipergeometrik dağılım incelenecektir.
Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Rassal değişken, bir deneyin herhangi bir olası sonucunun sayısal değeri olarak tanımlanabilir. Bu tanımdaki deney, kontrol altında tutulabilen ve belli koşullarda tekrarlanabilen işlemdir. Bir ana kütleden bir örneklem seçmek, bir sınıftaki öğrenciler arasından sınıf başkanı seçmek, bir kahve dükkanında bir gün boyunca Türk Kahvesi içenleri seçmek gibi daha birçok örnek deney tanımı için örneklendirilebilir. Rassal değişken X, Y, Z, ... gibi simgeler ile gösterilir.
Kesikli rassal değişken 0, 1, 2, ... gibi sonlu ya da sayılabilir sonsuz ve tam sayı özellikli değerler alan değişkendir. Kesikli rassal değişkenin aldığı herhangi iki değeri arasına tam sayı özellikli olması nedeniyle tam sayı özellikli olmayan kesirli bir değer diğer bir deyişle ondalıklı bir değer ya da değerler alamaz. Örneğin bakkaldan 3,25 adet yumurta alamazsınız.
Kesikli rasssal değişkenin her bir değerinin olasılığı 0 ile 1 değerleri arasındadır ve her bir değerinin olasılıkları toplamı 1’dir.
Kesikli rassal değişkenler ve olasılık dağılımları ile ilgili örnekleri kitabın 168. sayfasında örnek 7.1 ve 7.2’de bulabilirsiniz.
Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
X kesikli rassal değişkeni kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu F(X) ile gösterilir. Kümülatif dağılım fonksiyonu, x’den küçük veya eşit olan ve değişim aralığı içinde bulunan bütün değerlere karşılık gelen olasılıkların toplanacağını gösterir.
Örneğin kitapta sayfa 169’daki Tablo 7.3’ü incelediğimizde oto galeride herhangi bir ay içinde 4 araç satılması olasılığı, 4 araç satılması olasılığı olan 0,10 ile 5 araç satılması olasılığı olan 0,05 değerlerinin toplanması sonucunda 0,15 olarak bulunur. Diğer bir ifade ile herhangi bir ay içinde 4 ve daha fazla araç satılması olasılığı %15’e eşittir.
Kesikli Rassal Değişkeninin Beklenen Değeri ve Varyansı
Olasılık dağılımlarının analizi rassal değişkenin farklı değerlerine ilişkin çeşitli olasılıkları hesaplamaya yardımcı olur. Ayrıca rassal bir değişken için aritmik ortalama
standart sapma, ve varyans gibi tanımlayıcı (betimleyici) istatistikleri hesaplamaya da yardımcı olur.
Tanımlayıcı istatistikteki en önemli kavramlardan biri olan ve ana kütle ortalaması olarak bilinen beklenen değerdir. E(X) veya μ ile gösterilen kesikli rassal değişken X’in beklenen değeri, X’in tüm olası değerlerinin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Aritmetik ortalama, kesikli olasılık dağılımının orta noktasının veya merkezinin bir ölçüsünü verir. Bununla birlikte rassal değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, aritmetik ortalama etrafında kümelenip kümelenmediğini gösteren ölçü ise varyanstır. Varyans V(x) veya s2 ile gösterilir.
Aritmetik ortalama ve varyans olasılık dağılımlarından ölçüler olmasına rağmen, özellikle bir olasılık dağılımını tanımlamazlar. Diğer bir deyişle, önemli ölçüde farklı iki ayrı olasılık dağılımı aynı aritmetik ortalamaya ve varyansa sahip olabilir.
Varyansın karekök değeri standart sapmaya eşittir ve s simgesi ile gösterilir.
Kitapta sayfa 174’te Tablo 7.6’da varyans değeri 91368,75 olarak hesaplanmıştır. Bununla birlikte standart sapma varyans değerinin karekökü olduğu için 91368,75 değerinin karekökü 302,27 olarak hesaplanır. Diğer bir deyişle özel bankanın adil ve tutarlı bir ödüllendirmeyi teşvik etmek için başlattığı uygulama bankaya aylık ortalama 302,5 TL’lik bir maliyet getirecektir. Bu 302,5 TL’lik maliyet aylık 302,27 TL’lik bir sapma (pozitif veya negatif yönde) gösterecektir denilebilir.
Kesikli Olasılık Dağılımları
Buraya kadar olan bölümde rassal değişken ve olasılık dağılımı kavramları, kesikli rassal değişenler için olasılık dağılımı, beklenen değer, rassal değişkenin varyansı ve kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu hakkında bilgi verilmiştir. Bu bölümde önemli kesikli olasılık dağılımlarından Binom dağılımı, Poisson dağılımı ve Hipergeometrik dağılım incelenecektir.
Binom Dağılımı
İşletme ve ekonomi problemlerinin birçoğunda problemin ortaya çıkma biçimine, verilerin özelliklerine ve verilerin dağılım şekline göre farklı olasılık dağılımları kullanılmaktadır. Bu olasılık dağılımlarından biri olan Binom dağılımı kesikli olasılık dağılımları kategorisinde yer alır. Binom dağılımına geçmeden önce ilgilenilen problemin bir Bernoulli deneyi için koşulları sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
İstatistik ve olasılıkta deneme sayısının sabit olduğu, her denemede istenen olayın gerçekleşme olasılığının değişmediği ve tüm denemelerin birbirinden bağımsız yapıldığı tekrarlı denemelerin önemli bir yeri vardır. Değerleri sayma yoluyla elde edilen ve sonuçları başarılı- başarısız, var-yok, ölü-sağ, pozitif-negatif gibi ikili biçimde değer alan, nitel değişkenlere ilişkin bir dağılım olan Binom dağılımı, tüm denemelerin aynı koşullarda tekrarlandığı ve
her tekrarda birbirinden bağımsız iki olaydan birinin meydana geldiği denemelerde ortaya çıkar.
Binom denemesi aşağıdaki özellikleri göstermelidir:
• Yapılacak n adet deneme, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır • Yapılacak her denemenin sonunda var olan iki sonuçtan birisi ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan birisi ilgilenilen durum, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilglenilmeyen durumdur. • Tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p ve bunun tersi durumunun olasılığı q tüm denemelerde aynı kalmalıdır. • Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır. Bir denemenin sonucu, diğer bir denemenin sonucunu etkilememelidir. • X kesikli rassal değişkeni, n bağımsız denemede gözlenen istenen durum sayısını belirtir.
Örnek için kitabın 175. Sayfasında örnek 7.8’ inceleyiniz.
Poisson Dağılımı
Kesikli rassal değişkenler için tanımlanabilecek diğer bir olasılık dağılımı olan Poisson dağılımı, adını Fransız matematikçi Simeon Poisson’dan (1781 – 1849) almıştır. Belirli bir zaman ya da mekân (alan ya da bölge olabilir) diliminde rassal olarak gözlemlenen ilgilenilen türden sonuçların özel durumları için oldukça elverişli bir kesikli olasılık dağılımıdır. Belirli bir zaman aralığında ortalama olay meydana gelme sayısının bilindiği ve herhangi bir olayla onu hemen takip eden olay arasındaki zaman farkının önceki zaman farklarından bağımsız oluştuğu kabul edilir. Bununla beraber Poisson dağılımı birim alan, birim uzaklık ya da birim hacim içeren durumlarda da uygulanabilmektedir. Poisson dağılımına 100 metrelik bir kâğıt rulosundaki kusur sayısı, Ege Denizi’nde 10 kilometre kare başına düşen balık sürüsü sayısı, ülkelerarası doğalgaz boru hattının belirli bir bölümündeki sızıntı sayısı, bir boğaz kültüründeki bakteri sayısı, belirli bir zaman diliminde çağrı merkezine gelen arama sayısı örnek olarak verilebilir.
Belirli bir zaman ya da mekân diliminde rassal olarak gözlemlenen X kesikli rassal değişkeninin Poisson dağılımına sahip olması için aşağıdaki özellikleri taşıması gerekir.
• Sonuçların gerçekleşmesi arasında ilişki yoktur. • Verilen çok küçük bir zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun bir defa gerçekleşme olasılığı değişmemekte ve bu olasılığın %5’ten küçük olduğu eşitsizliğine uymaktadır. • Zamanın ya da mekânın ilgilenilen türden olayın gerçekleşmesine yetecek kadar büyük olmaması nedeniyle birden fazla olayın gerçekleşmesi mümkün değildir. • n tane deney sayısı sonsuza yaklaşmalıdır.
Belirli bir zaman ya da mekân diliminde ilgelenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı l (Lambada) sabittir ve kesirli (ondalıklı) bir sayı olabilir.
Kitaptaki 179. sayfada yer alan örnek 7.10’u ve sayfa 180’de yer alan örnek 7.11’i inceleyebilirsiniz.
Hipergeometrik Dağılımı
Hipergeometrik dağılımı, Binom dağılımın özel bir durumu olarak kabul edilebilir. X kesikli rassal değişkeninin Binom dağılımına sahip olabilmesi için birtakım özellikleri sağlaması gerekir. Bu özelliklerden denemelerin bağımsız olması özelliği ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p her denemede sabit olmalıdır. Bu varsayımlarım karşılanamadığı durumlarda tesadüfi değişkene ilişkin olasılık hesaplamalarında Hipergeometrik dağılımdan yararlanılır.
Hipergeometrik dağılımda denemelerin bağımsız olmadığı ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p’nin her denemede aynı kalmaması olarak değişir. Bu özellikleri nedeniyle hipergeometrik dağılım, çeşitli gerçek yaşam uygulamalarında, özellikle kalite kontrolde kabul örneklemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır.
Kitaptaki 181. sayfada yer alan örnek 7.12’yi ve sayfa 182’de yer alan örnek 7.13’ü inceleyebilirsiniz.