diyagramı yardımı ile de oluşturulabilmektedir. Venn Giriş şeması yardımı ile küme elemanlarının gösteriminde
Bir olayın meydana gelip gelmeyeceği ya da bu olaya olduğu gibi, örneklem uzayının noktaları elips, daire vb. ilişkin tahmin yapılacağında olasılık kuramından gibi kapalı bir şekil içinde birer nokta olarak gösterilir. faydalanılmaktadır. Genellikle herhangi bir durumun ya da Ağaç diyagramı gösteriminde ise bir denemenin mümkün olayın gerçekleşme şansını ifade eden bir sayı olarak olan tüm sonuçları birbirine eklenerek ağacın dalları tanımlanan olasılık, aynı zamanda olayların sonuçlarına ait oluşturulmaktadır. Olasılığın hesaplanmasına ilişkin, belirsizliklere dair çıkarımda bulunma aracıdır. Bir olayın nesnel (objektif) ve öznel (subjektif) olasılık olmak üzere ortaya çıkma şansını belirten birer sayı olan olasılık iki yaklaşım bulunur. Nesnel olasılık, klasik olasılık ve değerleri 0 ile 1 arasında değerler almaktadır. Eğer bir deneysel olasılık olmak üzere iki kısımda incelenir. Klasik olayın gerçekleşmesi olanaksız ise olasılığı 0, kesin ise olasılık eşit olasılıklı sonuçlara dayanırken deneysel olasılığı 1’e eşit olacaktır. Olasılık kuramının konusunu olasılık göreli frekanslara dayanır. Öznel olasılık ise elde gerçekleşmesi olanaksız ya da kesin olaylar değil rassal ya yeterli veri bulunmadığı durumlarda kişilerin geçmiş da kesin olmayan olaylar oluşturmaktadır. Gerçekleşmesi deneyim, tecrübe ve sezgilerine dayanarak şansa bağlı olan ve sonucu gözlemlenmeden önce belirleyebileceği değerlerdir. bilinmeyen olaylar rassal olay olarak adlandırılır. Rassal olaylarla ilgilenen olasılık kuramı, rassallığın Klasik Olasılık
matematiğidir. Klasik olasılık, bir denemenin sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu durumlarda uygulanabilir. Klasik olasılık değeri, bir Temel Kavramlar ve Olasılık Tanımları olayın gerçekleşme olasılığı ilgilenilen sonuçların
Bir olayın gelecekte gerçekleşmesi sonucunda ortaya sayısının, olası tüm sonuçların sayısına bölünmesi yoluyla çıkabilecek olası sonuçlarına ait farkında olmadan bazı hesaplanır. İlgilenilen sonuç sayısı n ile ve mümkün olan olasılık değerleri atayabiliriz. Olasılığın, herhangi bir tüm sonuçların sayısı N ile belirtildiğinde, klasik olasılık olayın gerçekleşme şansına ait atanmış sayısal bir değer yaklaşımıyla bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) = olduğunu söyleyebiliriz. Şans, rast gelme ve belirsizlik ile n/N eşitliği yardımıyla hesaplanır. Bir olayın olasılığının yakın bir anlamda kullanılan olasılık kavramı, gelecekte klasik olasılık yaklaşımı ile hesaplanmasında, olayın olması muhtemel olayların sonuçlarına ait çıkarsamalardır. gerçekleşmesi olasılığını belirlemede deneme yapma zorunluluğu yoktur. Deneme yapılmadan önce mümkün Deneme, Sonuç, Örneklem Uzayı ve Olay olan tüm sonuçların sayısı bilindiğinden para atma Deneme, belirli koşullar altında sonsuz defa denemesinde tura gelmesi ya da zar atıldığında dört gelmesi tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilen ve olasılıkları klasik yaklaşımla mantıksal olarak elde olası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir süreçtir. Deneme edilebilir. sonucunda, araştırılan konuya ilişkin sonuçlar elde edilmektedir. Deneme sonuçlarının ortaya çıkması Deneysel Olasılık
rastgeledir (rassaldır) ve hangi sonucun ortaya çıkacağı Herhangi bir denemede elde edilen sonuçların olasılıkları önceden bilinmez. Sonuç, bir denemenin sona erme her zaman eşit olmaz. Bu gibi durumlarda klasik olasılık biçimidir. Bir denemenin örneklem uzayı mümkün olan yaklaşımının kullanılması mümkün olmaz. Bu gibi tüm sonuçlarını kapsayan bir kümedir ve örneklem uzayı S durumlarda olayın bir süre tekrarlanmasıyla birlikte yeni ile gösterilir. S örneklem uzayının birimleri örneklem uzayı veriler elde edilmekte ve bu veriler ile bu olaya ilişkin yeni noktası olarak adlandırılır. Bir denemenin belirli bir şartı göreli frekanslar bulunmaktadır. Yeni bulunan frekanslar sağlayan bir ya da birden fazla sonucundan oluşan kümeye ile olaya ilişkin yeni olasılıklar elde edilmektedir. Bir rassal ise olay denir. Diğer bir ifade ile olay, örneklem uzayının deneme, aynı koşullar altında N defa tekrarlandığında ve bu bir alt kümesidir. Olaylar A, B ve C vb. gibi büyük harfler N denemede herhangi bir A olayı f defa gözlemlenmiş ise ile gösterilir. Örneklem uzayı genellikle içerdiği örneklem göreli frekans tanımına göre A olayının meydana gelme uzayı nokta sayısına göre sonlu ya da sonsuz olarak olasılığı, deneme sayısı N artarken A olayının deneysel sınıflandırılır. Sonsuz elemana sahip örneklem uzaylarını olasılığı (olasılığın göreli frekansı) P(A)=f/N formülü ile da ikiye ayırmak mümkündür. Eğer bir örneklem uzayı hesaplanır. sayılabilir sonsuz sayıda elemandan oluşuyorsa, örneklem Subjektif (Öznel) Olasılık uzayı kesikli örneklem uzayı olarak adlandırılır. Sayılabilir sonsuz sayıda elemana sahip örneklem uzaylarının Subjektif (öznel) olasılık, gelecekte belirli bir sonucun elemanlarının sayısı bir tam sayıya karşılık gelmektedir. Bir ortaya çıkmasıyla ilgili kişisel inançlara, yargılara veya örneklem uzayı sayılamayacak sayıda elemandan oluşuyor deneyimlere dayanan bir olasılık türüdür. Subjektif olasılık ise bir diğer ifade ile örneklem uzayının elemanlarını sıralı konudan konuya farklılık gösterir ve yüksek derecede bir şekilde saymak mümkün değil ise bu örneklem uzayı kişisel önyargı içerebilir. Genellikle gerçek hayat sürekli örneklem uzayı olarak adlandırılır. Sürekli durumlarında uygulanır. Bir kişi belirli bir duruma olasılık örneklem uzayları sıcaklık, ağırlık ve boy ölçümü gibi derecelerini atamak için kendi uzmanlığını, fikrini, geçmiş doğal olayların olduğu denemelerde karşımıza çıkarlar. Bir deneyimlerini veya sezgilerini kullanabilir. Subjektif denemenin örneklem uzayı venn şeması veya ağaç olasılığın bireyin inancı açısından oldukça esnek olduğunu belirtmekte fayda vardır.
Saymanın Temel İlkesi, Permütasyon ve olaylara bağımsız olaylar denir. Bir deneme kaç defa Kombinasyon yapılırsa yapılsın, bağımsız bir olayın meydana gelme olasılığı aynı olacaktır. Sonucu bir önceki sonuçlara bağlı Olasılık hesabı yapabilmek için mümkün olan tüm olan olaylar ise bağımlı olaylar olarak adlandırılır. Bu, sonuçların belirlenmesi ve sayılması gerekmektedir. bağımlı bir olayın meydana gelme olasılığının önceki bazı Ancak bu her zaman kolay bir işlem olmayabilir. Burada sonuçlardan etkileneceği anlamına gelir. Bir olayın tek bir sayma işleminde kolaylık sağlayan üç farklı kurala sonucu varsa bu türden olaylara basit olaylar denir. Birden değinilecektir. Bu kurallar saymanın temel ilkesi ile fazla sonucu olan olaylar bileşik olaylar olarak adlandırılır. permütasyon ve kombinasyon işlemleridir. Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan iki olaya ayrık Saymanın Temel İlkesi olaylar denir. Aynı örneklem uzayında iki olaydan biri, Çok adımlı denemelerde kullanılan saymanın temel diğer olay gerçekleşmediğinde gerçekleşebiliyorsa bu ilkesine göre, k tane adımdan oluşan bir denemenin birinci türden olaylara tamamlayıcı (tümleyen) olaylar denir. Belli adımında n1, ikinci adımında n2 ve k. adımında nk tane olası koşulların her gerçekleşmesinde zorunlu olarak meydana sonuç bulunuyorsa bu denemenin toplam olası sonuç sayısı gelen olaya kesin olay denir. Buna karşılık belli koşulların n1×n2× ... ×nk olmaktadır. gerçekleşmesi durumunda bir olay kesin olarak ortaya çıkmıyorsa bu olaya olanaksız (imkansız) olay denir ve Permütasyon olanaksız olay Ø ile gösterilir.
Bir olayın olası sonuçlarını sayma işleminde bazen sıralama Olayların Olasılığı önemli olabilir. Örneğin, birbirinden farklı üç kitabın bir rafa kaç farklı şekilde dizileceğine bakacak olursak, bu A ve B, S örneklem uzayında iki olay olsun. A ve B olayları dizilimin 3×2×1 = 6 farklı biçimde yapılabilecektir. belirli bir denemenin sonuçlarını içeren birer küme Sıralamanın önemli olduğu durumlarda, sonlu sayıdaki olduklarından, matematikte kümeler üzerinde tanımlı olan farklı eleman için yapılacak her bir dizilişe bir permütasyon işlemler olaylar üzerinde de tanımlıdır ve küme işlemleri denir. n tane farklı elemanın kendi arasında dizilişinde yardımı ile olayların olasılıkları hesaplanabilir.
permütasyon sayısının n.(n-1).(n-2) ... (2).(1) olduğu Olaylar üzerindeki işlemlere geçmeden önce bir olayın açıktır. Bu sayıya n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. gerçekleşme olasılığına ait bir diğer ifade ile olasılık Ayrıca 0! = 1 ve 1! =1 olarak tanımlıdır. ölçüsünün özelliklerine değinelim.
n tane farklı elemanın (k ≤ n) birbirinden farklı k tanesinin 1. Bir A olayı için,0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. dizilişine n’nin k’lı permütasyonu denir ve 2. P(S) = 1 ve P(Ø) = 0’dır.
!! 3. Bir denemede örneklem noktaları E1, E2, ..., En 𝑃(𝑛, 𝑘) = (!$%)! olmak üzere, tüm örneklem noktalarının formülü yardımıyla hesaplanır. olasılıkları toplamı 1’dir:
n tane farklı elemanın bir daire etrafındaki dizilişi dairesel P(E1) + P(E2) + ... +P(En) = 1
permütasyon yardımı ile bulunur ve dairesel permütasyon Olayların Kesişimi değeri (n – 1)!’e eşittir. n elemanlı bir kümenin n1 tanesi A ve B olaylarının her ikisine ait örneklem noktalarının birinci türden, n2 tanesi ikinci türden ve nk tanesi k. türden oluşturduğu kümeye A ve B olaylarının kesişimi (arakesiti) n tane elemanın tamamı sıralandığında elde edilen diziliş denir. Hilesiz bir zar atma denemesinde A olayı “üste gelen sayısına tekrarlı permütasyon denir ve n!/(n1!⋅ n2 !⋅⋅⋅ nk !) sayının 5’ten küçük” ve B olayı “üste gelen sayının tek eşitliği ile hesaplanır. Burada, n1 + n2 + ... + nk = n’dir. sayı” olması olarak tanımlanırsa A ve B olaylarının
Kombinasyon kesişimi A = {1,2,3,4} ve B = {1,3,5} olduğuna göre n sayıda eleman arasından k tanesinin (k ≤ n) kaç farklı A∩B = {1,3} olur.
şekilde seçileceği n’nin k’lı kombinasyonu olarak Olayların Birleşimi tanımlanır ve A veya B olaylarından en az birine ait örneklem
𝑛 𝑛! noktalarının oluşturduğu kümeye A ve B olaylarının 𝐶 * + = birleşimi denir. Hilesiz bir zar atma denemesinde A olayı 𝑘 𝑘!. (𝑛 − 𝑘)! “üste gelen sayının 5’ten küçük” ve B olayı “üste gelen formülü ile hesaplanır. Permütasyonda elemanların sayının tek sayı” olması olarak tanımlanırsa A ve B dizilişleri önemli iken kombinasyonda elemanların olaylarının birleşimi A = {1,2,3,4} ve B = {1,3,5} olduğuna dizilişleri dikkate alınmaz. göre A∪B = {1,2,3,4,5} olur. A ve B olaylarının
Olaylar ve Olayların Olasılığı birleşiminin gerçekleşme olasılığı,
Olasılıkta olay, rassal bir denemenin sonuçlarını içeren bir P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) şeklindedir. kümedir. Örneklem uzayı bir denemenin mümkün olan tüm İki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanırken kullanılan bu sonuçlarını içerdiğinden, olaylar örneklem uzayının alt kurala toplama kuralı denir. kümeleridir. Sonucu önceki sonuçlara bağlı olmayan
Ayrık Olaylar olasılığını hesaplamada kullanılır. A, B ve C bağımsız A ve B olaylarının ortak örneklem noktası bulunmuyorsa, olayları için özel çarpma kuralına ait eşitlik;
A ve B olayları ayrık olaylardır. Ayrık olayların kesişimi P(A∩B∩C) = P(A) . P(B) . P(C) boş kümedir ve A∩B = Ø ile gösterilir. A ve B ayrık olayları için A∩B = Ø ve P(Ø) = 0 olduğundan, ayrık şeklinde yazılır.
olaylar için toplama kuralı;
P(A∪B) = P(A) + P(B)
şeklindedir.
Tamamlayıcı (Tümleyen) Olay
A olayında bulunmayan ancak S örneklem uzayındaki diğer tüm örneklem noktalarının oluşturduğu olaya A olayının tümleyeni denir ve Ā ile gösterilir. A ve Ā olayları ayrık olaylardır. Ortak örneklem noktaları bulunmadığından A∩Ā =Ø’dir. Herhangi bir A olayı için, A’nın tümleyeninin gerçekleşme olasılığı P(Ā) = 1 – P(A)’dır.
Koşullu Olasılık
Koşullu olasılık, bir B olayının gerçekleştiğinin bilinmesi durumunda diğer bir A olayının gerçekleşme olasılığıdır. B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının meydana gelme olasılığı, koşullu olasılık olarak ifade edilir ve P(A|B) ile gösterilir. Koşullu olasılık;
𝑃(𝐴 ⋂ 𝐵 𝑃(𝐴|𝐵) = , (𝑃(𝐵) ≠ 0) 𝑃(𝐵)
eşitliği ile hesaplanır. Koşullu olasılığa ait eşitlikte eşitliğin her iki tarafı P(B) ile çarpılırsa, P(A∩B) = P(B) . P(A|B) eşitliği olasılıkta çarpım kuralı olarak adlandırılır. Çarpım kuralına göre A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı, B olayının gerçekleşme olasılığı ile B olayının sonucu bilindiğinde A olayının koşullu olasılığının çarpımına eşittir.
Bağımsız Olaylar
Hilesiz bir madeni paranın art arda havaya atılması denemesinde, birinci atışta paranın yazı gelmesi ve ikinci atışta paranın tura gelmesi olaylarını göz önüne alalım. İkinci atışta paranın tura gelmesi olasılığı, birinci atışta yazı gelmesi olayından bağımsızdır. Bir olayın gerçekleşmesinin, bir diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilememesi durumunda bu iki olaya bağımsız olaylar denir. A ve B olayları bağımsız olaylar ise;
P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B)
olacaktır.
Dolayısıyla P(A) ≠ 0 ve P(B) ≠ 0 olmak üzere,
P(A∩B) = P(A) . P(B|A) = P(A) . P(B)
eşitliği elde edilir. Bu durum özel çarpma kuralı olarak adlandırılır. Özel çarpma kuralına göre, A ve B bağımsız olayları için A ve B’nin birlikte gerçekleşme olasılığı, bu iki olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir. Özel çarpma kuralı ikiden fazla bağımsız olay içinde genelleştirilebilir. Örneğin, A, B ve C bağımsız olayları için özel çarpma kuralı, bu üç olayın birlikte gerçekleşme