İST201U-İSTATİSTİK I
Ünite 5: Değişkenlik
Giriş
Serilerin incelenmesinde ve karşılaştırılmasında ortalamalar gerekli ölçüler olmakla beraber o serileri tanımlamada yeterli değildir. Seriyi oluşturan gözlem değerlerinin birbirlerinden ve kendi ortalamasından ne derece uzaklaştıklarının, değerler bakımından birbirlerine ne kadar benzer olduklarının belirlenmesi yani değişkenliklerinin belirlenmesi de önemlidir. Değişkenlik az ya da çok vardır. Söz konusu bu farklılıkların belirlenmesinde değişkenlik ölçülerinden yararlanılır.
Değişkenlik
Ortalamalar, tanımlayıcı istatistikler olarak önemli ölçüler olsalar da iki ayrı seriyi karşılaştırmada yetersiz kalabilirler. Gözlem değerlerinin birbirlerine ve bağlı olarak ortalamalarına yakınlığı ya da uzaklığı ilgili seriyi tanımlamada önemlidir. Değişkenlik (dağılma), bir serideki terimlerin değer itibariyle birbirlerinden veya ortalamadan farklıklarını değerce nasıl dağıldıklarını, değiştiklerini ifade eder. Değişkenlikle birimlerin o özelliğe göre birbirlerine ne kadar benzedikleri, homojen bir yapı oluşturup oluşturmadıkları belirlenebilir. Bir veri kümesindeki gözlem değerlerinin birbirlerine yakın değerlerde olması o veri kümesinin benzer/homojen/türdeş bir yapıda olduğunu gösterir. Birbirlerine benzer değerlerde olan bir veri kümesi için o veri kümesine ait ortalama, temsili bir ortalama değer olacaktır. Aksine gözlem değerleri birbirlerinden uzak değerlerdeyse, bu durumda kendi ortalama değerinden de farklılaşarak uzaklaşacaklarından böyle bir veri kümesi heterojen bir yapı oluşturacaktır. Heterojen gözlem değerlerinden oluşan böyle bir veri kümesinin ortalaması da temsili olmayacaktır. Dolayısıyla ortalamanın temsil kabiliyeti ile değişkenlik arasında negatif bir ilişki vardır. Ortalamanın temsil kabiliyeti değişkenlik azaldıkça artar; gözlem değerleri birbirlerine ve bağlı olarak ortalamalarına yakın değerlerde yoğunlaşırlar. Eğer veri kümesinde değişkenlik fazla ise ortalamadan uzaklıklar da artar; ortalamanın temsili olma özelliği azalır.
Değişkenlik Ölçüleri
Toplanan verilerin değişkenliklerini belirlemede ve serileri değişkenlikleri itibariyle karşılaştırmada çeşitli ölçüler vardır. Ortalamalarda olduğu gibi veri kümesinin dağılmasını, ortalamdan ve birbirlerinden değerce farklılıklarını ortaya koyarken farklı değişkenlik ölçüleri kullanılır. Ne tür bir değişkenlik ölçüsünün hesaplanacağı, ortalamalar konusunda da olduğu gibi, değişkenlik ölçüsünün hesaplanmasındaki amaç, verilerin düzenleniş şekli, verilerin ölçme düzeyleri gibi faktörler göz önüne alınarak belirlenir. Değişkenlik ölçüleri; mutlak değişkenlik ölçüleri ve nisbi değişkenlik ölçüleri olarak iki grupta incelenebilir. Özellikle farklı serileri değişkenlikleri itibariyle karşılaştırmada önemli olan bu sınıflandırmada; aynı ölçü birimleri içeren aynı olayların, benzer büyüklükteki veri kümelerinin karşılaştırılmasında mutlak değişkenlik ölçüleri ile değişkenlik incelenirken farklı ölçü
birimi içeren olayların değişkenlikleri nisbi (Oransal) değişkenlik ölçüleri ile incelenir. Mutlak değişkenlik ölçüleri değişim aralığı, kartiller arası fark, ortalama mutlak sapma ve standart sapmadır. Mutlak değişkenlik ölçülerinden en bilineni olan standart sapma, gözlem değerlerinin kendi aritmetik ortalamalarından olan sapmalarının kareli ortalamasıdır. Bir oran olarak hesaplanmaları nedeniyle ölçü biriminden bağımsız olan nisbi değişkenlik ölçüleri; değişkenlik katsayısı ve toplanma oranıdır. Mutlak değişkenlik ölçüleri, verilerin ifade edildiği ölçü birimi cinsinden sonuç verir. Nispî değişkenlik ölçüleri, bir ölçü birimi taşımazlar, oran niteliğindedirler.
Mutlak Değişkenlik Ölçüleri
Mutlak değişkenlik ölçüleri bir ölçü birimi (ton, kg, T, mil gibi) ifade eden verilerin birbirlerine yakınlığını ya da uzaklığını belirlemede kullanılan değişkenlik ölçüleridir. Değişim aralığı, en basit ve hesaplanması en kolay olan uç değerlere dayalı bir değişkenlik ölçüsü olarak kalite kontrolde kullanılır. Veriler içinde uç değerlerin olması durumunda verilerin değişkenliğinin ölçülmesinde kartiller arası fark değişkenlik ölçüsü uygun olur. Aritmetik ortalamadan mutlak sapmaların ortalaması olan ortalama mutlak sapma da pozitif sapmayı gösterir. Mutlak değişkenlik ölçüleri içinde yaygın kullanımı olan ölçü standart sapmadır. Bir seriyi oluşturan gözlem değerlerinin aritmetik ortalamasından olan sapmalarının kareli ortalaması, standart sapma olarak tanımlanır. Genel olarak seriyi oluşturan gözlem değerleri hesaplanan ortalamaya yakın değerlerden oluşuyorsa standart sapma değeri küçük, uzak değerlerden oluşuyorsa standart sapma değeri büyük olur. Standart sapma, aritmetik ortalamanın hesaplanabilir olduğu veriler için hesaplanabilir.
Değişim Aralığı
Değişkenlik ölçüleri içindeki en basit ölçü olan değişim aralığı (R/DA); dağılımdaki en büyük değerli terim ile en küçük değerli terim arasındaki farktır.
DA = Xenb – Xenk
Değişkenlik hakkında oldukça genel fikir verebilen bu en basit değişkenlik ölçüsü, iki yöndeki uç değerlere odaklı hesaplanması nedeniyle aşırı uç değerlere karşı çok duyarlıdır. Dağılımdaki birimlerin sayısı artarken doğal olarak değişim aralığı da genişleyeceğinden, terim sayısı (ya da toplam frekansları) eşit olmayan serilerin değişkenliklerinin karşılaştırılmasında kullanılmaz. Değişim aralığı mutlak bir ölçü olduğundan farklı ölçü birimlerindeki serilerin değişkenliklerinin karşılaştırılmasında kullanılması da doğru değildir.
Kartiller Arası Fark
Değişim aralığının serinin iki ucunda yer alan aşırı uç değerlerden etkilenmesi sakıncasını gidermek üzere “kartiller arası fark” adıyla anılan diğer bir ölçüden yararlanılır.
KA = Q3/4 – Q1/4
Bu fark, küçükten büyüğe doğru sıralanmış gözlem değerlerinden yarısının (ikinci ve üçüncü çeyrekler toplamının), apsisin ne kadar genişlikteki bir kısmını kapsadığını gösterir. Kartiller arası fark değerinin büyüklüğü değişkenliğin miktarını gösterir. Kartiller arası fark, serideki birimlerin tam ortaya düşen yarısını (%50’sini) dikkate aldığından değişim aralığından daha tutarlıdır. Kartiller arası fark, serinin her iki ucunda %25 olmak üzere birimlerin %50’sini değerlendirmeye almadığından bu birimlerin/değerlerin değişkenliği hakkında da bilgi vermez. Bir serideki uç değerler düzensiz ise ya da açık sınıflar bulunuyorsa kartiller arası fark ile değişkenliğin belirlenmesi daha uygundur. Birden fazla serinin karşılaştırılmasında hangi seride kartiller arası fark sonucu büyükse o seride değişkenliğin daha fazla olduğu sonucuna varılır.
Ortalama Mutlak Sapma
Terimlerin aritmetik ortalama veya ortancadan (medyan) birtakım sapmaları söz konusudur. Bu sapmaları bulmak ve bunların da ortalamasını almak mümkündür. Böylece, serideki tüm birimleri ilgilendirecek dağılımın büyüklüğü hakkında genel bilgi verecek bir değişkenlik ölçüsü hesap edilebilir. Bilindiği üzere, terim değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının cebirsel toplamı sıfırdır. Bu nedenle farkların cebirsel toplama ait bu dağılım ölçüsü bulmak mümkün değildir. Çünkü farkların cebirsel toplamı sıfır çıktığı için bunların ortalaması da sıfır çıkar. Bu nedenle terim değerlerinin ortalamadan farklarının işaretlerine bakılmaksızın “mutlak” toplamları ve bu mutlak toplamın ortalaması alınır. Ortalama sapma, terimlerin aritmetik ortalamadan veya medyandan mutlak sapmalarının aritmetik ortalamasıdır.
Basit serilerde ORT.SAPMA =( ∑|( X i − 𝑋" ) |) / n
Frekans serilerinde ORT.SAPMA =(∑ f i | ( X i − 𝑋") | ) / n
Ortalama sapma, aritmetik ortalamadan sapma olarak hesaplanabildiği gibi medyandan sapma olarak da hesaplanabilir. Medyandan sapma durumunda formüllerde mc yer alır. Ortalama sapma, hesaplanmasında bütün verileri dikkate almasıyla değişim aralığı ve kartiller arası fark ölçülerine her ne kadar üstünlük sağlasa da mutlak sapmalara göre hesaplandığından, cebirsel işlemlere uygun değildir.
Standart Sapma
Standart sapma, değişkenlik ölçülerinin en önemlisidir. Kareli Ortalama Sapma olarak da anılan Standart Sapma, terimlerin kendi aritmetik ortalamalarından olan cebirsel sapmalarının kareli ortalamasıdır. Aritmetik ortalamadan sapmaya dayalı olduğu için ortalama mutlak sapmayla benzerlik gösterse de ortalama sapmanın aksine cebirsel sapmaların karelerinin alınması nedeniyle cebirsel işlemlere elverişlidir. Standart sapmanın karesi olan değişkenlik ölçüsü varyanstır. Standart sapma (ve onun karesi olan varyans), normal dağılımın önemli bir parametresi olarak istatistiksel analizlerde temel ölçülerdendir. Evren standart sapması gösteriminde σ
sembolü kullanılır iken, örneklem standart sapmasını belirtmek için ise, s kullanılır. Evren ve örneklem varyansları ise sırasıyla standart sapma gösterimlerinin karesel formları olan σ2 ve s2 ile ifade edilir.
Basit serilerde evren standart sapması;
(𝑋! − μ)" 𝜎 = % 𝑁
eşitliği yardımıyla hesaplanırken, frekans serilerinde;
(𝑋! − μ)"𝑓! 𝜎 = % 𝑁
eşitliği ile hesaplanır. Basit serilerde örneklem standart sapması ve frekans serileri için örneklem standart sapması formülleri sayfa 120’de verilmiştir.
Gruplandırılmış frekans serilerinde ise aritmetik ortalama hesabında olduğu gibi her sınıfın orta noktası belirlenir ve bu orta noktalar m değerleri olarak ele alınarak frekans serisi formülleri yardımıyla hesaplamalar yürütülür. Standart Sapma, Aritmetik Ortalama ve Kareli Ortalama ilişkisinden faydalanılarak şu formülle de hesaplanabilir:
s2 = (KO) 2 − ( AO) 2
s = ,(KO)" − (AO)"
Standart Sapmanın Özellikleri
• Standart sapma kareli ortalama cinsinden; buna karşılık ortalama sapma aritmetik ortalama cinsinden hesaplanan bir değişkenlik ölçüsüdür. Bu nedenle KO>AO olduğundan standart sapma da ortalama sapmadan büyük değerdedir. • Standart sapmanın alabileceği en küçük değer mutlaka sıfırdan büyüktür (pozitiftir). • Standart sapma seride yer alan tüm gözlem değerlerini hesaplamaya dahil eden duyarlı ve yaygın kullanımı olan bir değişkenlik ölçüsüdür. • Standart sapma, ortalamadan sapma değerlerinin karesi alınarak hesaplanan bir kareli ortalama olduğundan cebirsel işlemlere elverişlidir.
Bir serinin standart sapmasının hesaplanabilmesi için aritmetik ortalamasının hesaplanabiliyor olması gerekir.
Standart sapma, hesaplandığı serinin ölçü birimiyle ifade edilmektedir. Ölçü birimleri farklı olan serilerin değişkenlikleri standart sapma ile karşılaştırılamaz. Ölçü birimi aynı olsa dahi, gözlem değerlerinin rakamsal büyüklüğü fazla olan serilerin standart sapması, küçük olan serilere kıyasla daha büyük çıkar. Ancak ölçü birimi ya da rakamsal büyüklükleri farklı olan serileri karşılaştırmada standart sapma uygun bir değişkenlik ölçüsü değildir. Standart Sapma, aritmetik ortalamanın 1/10’undan daha fazla olduğunda değişkenliğin fazla olduğu ifade edilmektedir.
Nisbi (Oransal) Değişkenlik Ölçüleri
Standart sapma terimlerin ölçü birimini taşıyan bir değişkenlik ölçüsüdür. Bu özelliği sebebiyle de özellikle ölçü birimleri ya da gözlem değerlerinin büyüklükleri farklı olan serilerin değişkenlikleri bakımından karşılaştırılmasında standart sapma yetersiz ve yanıltıcı olabilir. Nispi değişkenlik ölçüleri özellikle böyle durumlarda tercih edilen ve sözü edilen sorunları ortadan kaldıran değişkenlik ölçüleridir. Nisbi değişkenlik ölçüleri olan değişim katsayısı ve toplanma oranı her ikisi de farklı ölçü birimlerindeki verilerin karşılaştırılmasını sağlayan ölçü birimi içermeyen oran (ya da yüzde) şeklindeki ölçülerdir. Değişim katsayı hesaplanırken, standart sapma ve aritmetik ortalama kullanılır. Toplanma oranı ise, özellikle iktisadi olaylarda üretimin, gelirin, arazinin dengeli olup olmadığının, tekelleşme eğiliminin varlığının araştırılmasında yaygın olarak kullanılan bir ölçüdür. TO için ise %50 eşik değer olarak düşünülebilir. TO değerinin %50’den büyük değerleri için değişkenliğin fazla olduğu, özellikle %75’ten büyük TO değeri tekelleşme eğiliminin varlığına yorumlanabilir. İster toplanma oranı olsun ister DK olsun sıfır değeri her ikisi için de değişkenliğin olmadığı bir durumu gösterir ki böyle bir durum istatistiğin konusu içinde değildir.
Değişim Katsayısı
Mutlak değişkenlik ölçülerinin sakıncalarını ortadan kaldıran, oran şeklinde ifade edilen ve herhangi bir ölçü birimi taşımayan değişkenlik ölçüleri olan nispi değişkenlik ölçüleri içinde yaygın şekilde kullanılan değişim katsayısıdır. Değişim katsayısı, veri kümesinin dağılma derecesini, başka bir deyişle homojen olup olmadığını ortaya koymak üzere geliştirilmiş nispi bir değişkenlik ölçüsüdür. Birden fazla serinin değişkenliklerinin karşılaştırılmasında, standart sapmanın kulllanılamadığı durumlarda değişim katsayısından yararlanılır. Oransal değişkenlik ölçüsü olan değişim katsayısı (DK), herhangi bir serinin standart sapmasının aritmetik ortalamasına bölünmesi ile elde edilir. Yani;
Evren için: Değişim katsayısı= σ/μ
Örneklem için: Değişim katsayısı= s/𝑋"
Değişim katsayısı 100 ile çarpılıp % biçiminde de ifade edilebilir. Değişim katsayısının ölçü birimi yoktur. Değişim katsayısının 0,10’dan küçük değer alması durumunda dağılımın değişkenliği azdır denir. Nispi değişkenlik ölçüleri içinde en yaygın kullanılan değişim katsayısıdır. Basit, frekans ve gruplandırılmış bütün seriler için uygun olan bu ölçü, seriler arasındaki cins ve büyüklük farklılığını ortadan kaldırmaktadır. Çünkü kesrin pay ve paydasında aynı cins veya büyüklükten değerler yer aldığı için kıyaslanan sadece oranlardır. Değişim katsayısı oransal bir değişkenlik ölçüsüdür. Yani terimlerin büyüklüğünden etkilenmez ve ölçü birimi içermez. Değişim katsayısı ile farklı ölçü birimleri içeren veya farklı mevcudu olan frekans serileri değişkenlikleri bakımından karşılaştırabilir.
Toplanma Oranı
Günlük hayatımızda gelirin, sermayenin, toprağın vb. değişkenlerin bireyler arasında adil dağılmadığını iddia eden görüşlerle sık sık karşılaşırız. İktisatta “iktisadi toplanma” adı verilen ve iktisadi faktörlerin az sayıdaki büyük şirketlerde toplanması anlamını taşıyan bu durumun var olup olmadığını belirlemede toplanma oranından yararlanılır. Toplanma oranı (TO), oransal bir değişkenlik ölçüsüdür. Dolayısıyla terimlerin büyüklüğünden etkilenmez ve ölçü birimi taşımaz. Toplanma oranı, bir frekans serisindeki toplanma (değişkenlik) derecesini gösterir.
∑# $%(𝑝 − 𝑞) !&% ! ! 𝑇𝑂 = #$% ∑! &%𝑝!
Eşitlikte k: Farklı değerlerdeki frekans veya grup sayısı,
pi: Kümülatif oransal frekanslar,
qi: Kümülatif oransal değer tutarları (değer tutarları=fiXi).
Toplanma oranının alabileceği en küçük değer “0 (sıfır)”, en büyük değer ise “+1”dir. Toplam değerlerin birimler arasında eşit şekilde dağıldığını gösteren T.O. = 0 durumu ile toplam değerlerin tek bir birimde toplanmasını (tam toplanma) ifade eden TO = +1 durumuna uygulamada rastlanmaz. Toplanma oranının 0’a yaklaşması dağılımın âdil olduğunu gösterir. Diğer bir deyişle; 0,50’den küçük toplanma oranı değeri âdil dağılımı belirtir. İncelenen olayın niteliğine göre “âdil dağılım” ve “âdil olmayan dağılım” yerine sırasıyla “dengeli dağılım” ve “dengesiz dağılım” ifadeleri de kullanılabilir.
pi’lerin apsiste, qi’lerin ise ordinatta yer aldığı grafiğe ekonomide Lorenz Eğrisi denir. Sayfa 126’da yer alan Şekil 5.3. Her iki eksende de maksimum değerler 100’dür. Eşit Dağılım Doğrusu apsis ekseniyle 45o’lik açı yaparak 0
noktasından yükselen bir doğrudur. Tam toplanma durumunda eğri, grafikteki 0AB kırık çizgisi üzerine gelerek onunla çakışır. Bu iki aşırı durum dışında grafik, grafik sola doğru konkav bir eğri verir. Eşit dağılım durumunda ortaya çıkan 45o’lik açılı, doğru ile eğri
arasında kalan gölgeli alana toplanma alanı adı verilir. Eşit dağılımdan uzaklaşıldıkça bu alan genişler. Toplanma alanı küçüldükçe TO sıfıra yaklaşır. pi, qi ve pi-qi değerleri hiçbir zaman negatif olamaz. Toplanma eğrisi de hiçbir zaman köşegenin üstüne çıkmaz.
Simetri ve Asimetri
Serileri tam olarak tanımlamak için sadece ortalama ve değişkenliği incelemek yetmez. Bunların yanında serinin bölünme şeklini ortaya koyan ölçülere de ihtiyaç vardır. Ortalamalar, serilerdeki birimleri tek bir özet değerle tanımlarken değişkenlik ölçüleri de bu ortalama değerden birimlerin ne kadar farklılık gösterdiğini belirleyen ölçülerdir. Serilerdeki birimlerin hangi değerlerde toplandığını gösteren asimetri-çarpıklık ölçüleri ortalamalara ve dağılma ölçülerine ek olarak birimlerin hangi değerlerde toplandığını göstermesiyle, incelenen
dağılımın tanımlanmasında başka dağılımlarla karşılaştırılmasında ortalamalar ve değişkenlik ölçülerinden elde edilen bilgilere önemli katkı yapmaktadır. Bir seri, belli bir değere göre simetrik dağılıyorsa böyle serilere simetrik seriler; dağılımı simetrik olmayan, belli değerlerde yoğunlaşan serilere ise asimetrik seriler denir. Serilerin grafikleri yardımıyla simetrik ya da asimetrik olup olmadıkları görülebilir. Ancak, grafik çiziminde yapılabilecek hatalar nedeniyle bu durumun bazı kurallar çerçevesinde istatistiksel bazı ölçülerle belirlenmesi daha uygundur.
Tek maksimumlu, sürekli bir değişkene göre incelenen bir dağılımın simetrik olup olmadığının araştırılmasında asimetri ölçülerinden faydalanılır. Simetriden uzaklaşarak bir yana eğik olan dağılımların bu özellikleri betimsel ölçüler olan asimetri ölçüleri ile belirlenebilir. Simetrik dağılımlarda mod, medyan ve aritmetik ortalama yaklaşık olarak aynıdır. Sayfa 130’da Şekil 5.6.
Mod = Medyan = Aritmetik Ortalama → Simetrik Seri
Tek maksimumlu ancak simetrik olmayan bir dağılımda, eğer düşük değerlere doğru eğilim varsa, bu tür dağılımlarda aritmetik ortalama diğer iki ortalamadan daha büyük değer alır. Söz konusu düşük değerlere eğilimli bu tür dağılımlara sağa yatık (pozitif asimetrili) dağılımlar denir. Sayfa 130’da Şekil 5.7.
Mod < Medyan < Aritmetik Ortalama →Düşük değerlere eğilimli (Sağa eğik/pozitif simetri)
Buna karşılık, yüksek değerlere eğilimli dağılımlarda AO, ilgili dağılım için en küçük, Mod en büyük değere sahiptir. Sayfa 131’da Şekil 5.8
Mod > Medyan > Aritmetik Ortalama → Yüksek değerlere eğilimli (Sola eğik/negatif asimetri)
Pearson’ın Asimetri Ölçüsü
(X– Mod) asimetri ölçüsü mutlak bir ölçü olduğundan ve Mod karşılaştırılarak serinin asimetrisinin yönü, yani pozitif veya negatif asimetriye sahip olup olmadığı belirlenir. Bu mutlak ölçülerle asimetrinin derecesi (şiddeti) belirlenemediğinden, göreli (nispi) bir asimetri ölçüsü olan Pearson Asimetri Ölçüsü kullanılır.
ASP = ( 𝑋" – Mod ) / s
−1 ≤ ASP ≤ +1
• ASP = 0 → Simetrik • ASP = +1 → Pozitif Asimetri (Sağa Yatık) • ASP = −1 → Negatif Asimetri (Sola Yatık).