İST201U-İSTATİSTİK I
Ünite 4: Merkezi Eğilim Ölçüleri
Giriş
Toplanan verilerin tanımlanmasında, eldeki veri setinin başka veri setleriyle karşılaştırılmasında yardımcı olacak tanımlayıcı/betimleyici ölçüler bulunmaktadır. Toplanan verinin tanınmasında yardımcı ölçülerden ilki ortalamalardır.
Toplanan verilerin çeşitli şekillerde düzenlenmesiyle o dağılıma ilişkin bazı bilgiler edinilebilmektedir. Bazı durumlarda, yığın verilerin bütününü temsil edebilecek tek bir rakamla ifade edebilecek özet bir değere ihtiyaç duyulmaktadır. Yığın hakkında bilgi sahibi olmak, başka veri setleriyle karşılaştırmak için serilerin doğru şekilde analizi ve mevcut dağılımın bazı rakamlarla betimlenmesi, özetlenmesi gerekmektedir. Bu amaçla en sık kullanılan istatistik ölçü grubu merkezi eğilim (konum) ölçüleri denilen ortalamalardır.
Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
Veri setleri incelenirken, bazı değerlerin diğerlerine göre çok daha fazla tekrar ettiği, daha fazla görüldüğü, birçok gözlem değerinin belirli değerlere doğru eğilim gösterdiği görülür. Bu genel toplanmayı, eğilimi özetleyen ve toplanan verileri temsil eden tek bir değer ihtiyacı için ortalama değeri hesaplanır ve ortalamalar tanımlayıcı istatistiklerin önemli bir grubunu meydana getirmektedir. Ortalama, merkezi bir sayısal büyüklüktür.
Tek bir veri kümesini temsil eden/betimleyen özet değer olmasının yanı sıra, benzer veri kümelerini karşılaştırmakta da kullanılır. Bu nedenle, temelde ortalama hesaplamanın iki amacı olduğu söylenebilir; seriyi temsil edecek bir değer bulma ve diğer serilerle karşılaştırma yapma. Ortalamanın seriyi temsil edebilmesi, hesaplanan ortalamanın gözlem değerlerine değer bakımından benzemesi, bir başka ifadeyle terimlerin yoğunlaştığı değer etrafında bir değer alması ile ilişkilidir. İncelenen seri hakkında gerçekçi bir fikir verebilen ortalamaların verilerin genel eğilimini ortaya koyduğu söylenebilir.
Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar) Türleri
En çok kullanılan ve bilinen merkezi eğilim ölçüleri aritmetik ortalama, medyan ve mod’dur. Bu ölçüler farklı durumlara yönelik kullanılmakta ve çoğunlukla farklı değerler sunmaktadır. Bu nedenle cevap aranan soruya göre bu ölçülerden en uygun olanı seçilip kullanılmalıdır. Hangi ortalama türünün hesaplanacağının seçiminde dikkate alınması gereken unsurlar; problem/sorun, amaç, ölçek türü, verilerin içeriği/türü ve verilerin düzenlenme şeklidir.
Ortalamalar, hesaplama şekli ve hesaplamada kullanılan veriler bakımından iki ana grupta ele alınabilir.
• Duyarlı Ortalamalar o Aritmetik Ortalama (AO) o Harmonik Ortalama (HO) o Geometrik Ortalama (GO) o Kareli Ortalama (KO)
• Duyarlı Olmayan Ortalamalar o Kantiller § Medyan § Kartiller § Desiller § Santiller o Mod (Tepe Değer)
Hesaplanan ortalama değeri serideki herhangi bir gözlem değerinde meydana gelen değişiklikten etkileniyorsa hesaplanacak ortalama duyarlı bir ortalamadır. Duyarlı ortalamalar serideki değerlerin büyüklüklerine odaklıdır ve hesaplamada her bir gözlem değeri kullanılır. Duyarlı olmayan ortalama türleri ise gözlem değerlerindeki herhangi bir değişiklikten etkilenmez. Serideki gözlem değerlerinin konumuna/yerine odaklı ortalamalardır ve sadece ortalama değerin bulunduğu yerdeki gözlem değerleri hesaplamaya alınır. Bu nedenle aşırı uç değerler duyarlı olmayan ortalama türlerini etkilemez. Hangi grup ortalama olursa olsun bir ortalama; serideki en yüksek değerli terimden daha büyük en küçük değerli terimden de daha küçük olamaz.
Duyarlı Ortalamalar
Veri setindeki tüm değerler hesaplamada dikkate alındığı için, değerlerin herhangi birindeki değişimden etkilenen ortalama değerleridir ve her biri nicel ve en az eşit aralıklı ölçekte ölçülmüş verilerde kullanılabilir. En çok kullanılanı ve en bilineni aritmetik ortalamadır.
Aritmetik Ortalama
Duyarlı ortalamalar içerisinde en basit olan ve en yaygın olarak kullanılan ve en hassas/duyarlı olan ortalama çeşididir. Aritmetik ortalama (AO); evren için “μ” sembolü ile, örneklem için “𝑋"” sembolü ile simgelenir. Evren için
hesaplama yapılıyorsa, bu ortalama evren parametre değeri adını alır ve μ sembolü ile gösterilir. Aritmetik ortalama hesabı için kullanılan eşitlikler Sayfa 91’de detaylı olarak verilmiştir.
Aritmetik ortalama duyarlı ortalamalar içerisinde aşırı büyük ve küçük değerlerden en fazla etkilenendir. Ayrıca, açık gruplu serilerde (ilk grubun alt limiti ve/veya son grubun üst limiti bilinmiyorsa) hesaplanamaz.
Tartılı Aritmetik Ortalama
Aritmetik ortalama hesabında gözlenen değerlerin önem dereceleri farklılaşmamaktadır. Ancak bazı durumlarda gözlem değerlerinin önem dereceleri farklı olabilir. Örneğin, öğrencilerin bir dersteki dönem sonu notları hesaplanırken vize ve final notlarının ağırlıklarının/etkilerinin farklı olması istenebilir. Bu durumda bu etki dereceleri birer tartı olarak alınarak tartılı aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir. Vize notu için %40, final notu için %60 birer tartıdır. Tartılı (ağırlıklı) aritmetik ortalama hesabı için kullanılan eşitlikler Sayfa 94 Tablo 4.3’te ayrıntılı olarak sunulmuştur.
Harmonik Ortalama
Harmonik ortalama seri terimlerinin tersinin aritmetik ortalamasının tersidir. Uygulama alanları sınırlı olan harmonik ortalama pay ve paydadaki değerlerin sabit ve değişken olarak yer değiştirebildiği oran/bölüm şeklindeki değerlerin (hız, fiyat, verimlilik vb.) hesaplanmasında kullanılır.
Eğer seride sıfır değerli terim varsa veya seride negatif değerli terimler bulunuyorsa kullanımı anlamlı olmaz. Hesaplanmasında kullanılan eşitlik Sayfa 96’da sunulmuştur.
Geometrik Ortalama
Terimleri yaklaşık olarak aynı oranda değişen dağılımlar için kullanılan geometrik ortalama, logaritmaya dayalı olması nedeniyle duyarlı ortalamalar içerisinde en az hassas olanıdır. Dağılımdaki aşırı büyük/küçük değerlere karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı değildir. Bu nedenle dağılımda uç değerler bulunuyorsa o dağılım için en uygun olan duyarlı ortalama geometrik ortalamadır.
Geometrik ortalama, ölçümler arası değişme oranını belirleme, endeks hesaplama gibi durumlara uygun bir duyarlı ortalama çeşididir. Örneğin; faize yatırılan sermaye, bir işletmenin ihracat artış oranları gibi oldukça değişmez oranlarda artış gösteren dağılımların çeşitli dönemlerdeki değerlerinin ortalaması geometrik usulle belirlenir.
Geometrik ortalama, sıfır değer veya negatif değerler içeren serilerde hesaplanamaz. Hesaplanmasında kullanılan eşitlik Sayfa 97’de sunulmuştur.
Kareli Ortalama
Eğer bir veride pozitif ve negatif değerler birlikte yer alıyorsa (örneğin gerçekleşen ve hedeflenen değerler arasındaki fark gibi), bu tür serilerde her ortalama türünün kullanımı anlamlı ve uygun olmaz. Kareli ortalama yardımıyla negatif değerlerin işareti kareleri alınarak pozitife dönüştürülür ve ortalama hesaplanır. Bu ortalamaya kareli ortalama adı verilir. Kareli Ortalama, özellikle değişkenlik ölçülerinin (standart sapmanın) hesaplanmasında önemli bir ortalamadır. Hesaplanmasına ilişkin detaylı eşitlik Sayfa 99’da sunulmuştur.
Serideki terimlerin birbirlerine eşit olmaması halinde herhangi bir seri için yukarıda bahsedilen dört duyarlı ortalama hesap edilirse büyüklük sırası;
Xenk < HO < GO < AO < KO <Xenb şeklinde olur.
Duyarlı Olmayan Ortalamalar
Duyarlı olmayan ortalamaların hesaplanmasında, dağılımdaki bütün terimler dahil edilmez. Dolayısıyla terimlerin bir veya birkaçında oluşacak değişiklikler ortalamayı etkilemeyebilir. Aşırı uç değerlerden etkilenmeyen ve değerlerin büyüklüğüne değil konumuna odaklı olan ortalamalardır. Bu ortalamalar Kantiller (Bölenler) ve Mod olmak üzere iki temel başlıkta ele alınabilir.
Kantiller (Bölenler)
Dört grup olan kantiller küçükten büyüğe sıralanmış olan seriyi oransal frekanslar olarak iki kısmi seriye bölen ortalamalardır. En bilineni medyandır ve medyan küçükten büyüğe sıralanmış bir veri kümesini gözlem sayısı bakımından iki eşit kısma bölen değerdir. Kartiller ise 3 tanedir ve üçünün de bir seri için hesaplanması durumunda o seriyi %25’erlik kısımlar olarak 4 eşit parçada incelenmesini sağlayacak ortalama değerleri oluştururlar. Desiller 9 tane olup bir veri setinin %10’arlık dilimler altında incelenmesini sağlayan ortalamalardır. Persantiller ise 99 tanedir ve bir seriyi 100 eşit parçada (%1’erlik dilimler altında) incelememize yardımcı olurlar.
Medyan
Medyan (ortanca) kantiller arasında en bilinenidir ve küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir veri kümesini tam ortadan iki eşit kısma bölen ve gözlem değerlerinin tam ortasında yer alan tek ortalamadır. Anlaşılması kolay bir ortalama türüdür ve hesaplamada tüm gözlem değerleri kullanılmadığı için açık uçlu serilerin ortalama hesabı için uygun olan bir ortalamadır. Hesaplanmasında kullanılan eşitlikler Sayfa 102’de detaylı olarak yer almaktadır.
Mod
Bir diğer adıyla tepe değerdir ve bir seride en çok görülen/tekrar edilen (frekansı en fazla olan) terimdir. Mod, bütün ortalamalar içerisinde en az duyarlı olanıdır, uç değerlerden etkilenmez. Bu nedenle uç değerlerin olduğu dağılımlarda aritmetik ortalama yerine kullanımı daha uygundur.
Bazen bir olayla ilgili yeterli sayıda gözlem yapılmamışsa birden fazla terimde maksimum frekans alınabilir. Bazen de sınıf aralıkları yeterince geniş alınmadığı için terimler farklı noktalarda yoğunlaşabilir. Bu gibi durumlarda o seri için kesin bir mod değeri belirlenemez.
Ölçme düzeyleri dikkate alındığında sınıflayıcı ölçme düzeyindeki veriler için hesaplanabilecek tek ortalama, mod’dur. Mod, gözlem değerlerinin en çok görüldüğü, en fazla yoğunlaştığı değerdir. Frekansların seyrine göre belirlenmesi kolay olsa da hesaplanmasında frekansların tepe değerden sonra tekrar yükselişe geçmemesi gerekir. Birkaç değerde frekansların yüksek değerde oluşması durumunda gruplandırmak suretiyle gözlemlerin tek bir grupta (mod sınıfı) yoğunlaşması sağlanır.
Verilere Uygun Ortalamanın Belirlenmesi
Farklı veri kümeleri için hesaplanacak uygun ortalama türleri farklılık gösterebilmektedir. Bir veri kümesi için hangi ortalamanın kullanılması gerektiğine ilişkin belirli bir kural yoktur. Ancak yapılacak inceleme ve cevap aranan sorunun içeriğine bağlı olarak uygun ortalama türüne karar verilebilir. Uygun ortalama türünün belirlenmesi, bulunacak değerin veri dağılımını temsil edebilmesi ve diğer dağılımlarla karşılaştırma yapılabilmesi anlamında önemlidir.
Eğer bir durumda birden çok ortalama ölçüsü kullanılabiliyorsa, daha güvenilir olan en çok gözlem değeri kullanılarak hesap edilen ortalamadır. Bu bağlamda tercih sırası aritmetik ortalama, medyan ve mod şeklindedir.
Öte yandan, aşırı uç değerlerin bulunduğu veri setlerinde aritmetik ortalama değeri yanıltıcı sonuçlar verebilmektedir. Böyle bir durumda en uygun ölçü Medyan olur.
Veriler için hangi ortalamanın uygun olacağına karar vermede şu durumlar dikkate alınmalıdır:
• Ortalamanın Hesaplanma Amacı: Öncelikle ortalamanın hesaplanma amacı belirlenmelidir. Örneğin, işletmelerin ortalama üretim hızları ya da belirli grup ürün için ortalama fiyat hesaplanacaksa aritmetik ortalama ve harmonik ortalamadan uygun olanı tercih edilmelidir. • Verilerin Yapısı: Özellikle açık sınıflı serilerde duyarlı ortalamalardan herhangi birisi hesaplanamaz. • Değişkenin Özellikleri: Ortalaması hesaplanacak değişken bir ortalama ya da oran şeklinde ise tartılı aritmetik ortalama, değişime ilişkin oranlar halindeyse ya da geometrik olarak değişim gösteriyorsa geometrik ortalama kullanılmalıdır. Oran şeklindeki değişkenlerde paydaki değerin sabit olması durumunda harmonik ortalama, paydadaki değerin sabit olması durumunda ise aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir.